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必修2 2.1.1 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案3个课时

时间:2014-12-23


2.1 《空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案
编写人: 朱其山 审核人:郭小艳 编写时间:2013-05-1

2.1.1 平面
第____周 高一____班 __________合作小组 姓名__________

【学习目标】
1.正确理解平面的概念;掌握平面的基本性质; 2.熟练掌握公理 1、2、3 的三种语言及相互转换; 3.会用三个公理证明简单的共点、共线、共面问题;

【重点难点】
教学重点:公理 1、2、3 教学难点:三个公理的理解

【学法指导】
注意观察教室中的点、线、面,你会有很多的收获!

预习案
阅读课本 P40-43,完成下面预习案

一、知识梳理
1.平面概述 (1)平面的两个特征:① 无限延展 ② 没有厚度 (2)平面的画法: (3)平面的表示: 平面可以看成点的集合,点 A 在平面 ? 内,记作 2.三个公理 公理 1: 用数学符号表示为: 图形语言:

,点 B 不在平面 ? 内,记作

公理 2: 用数学符号表示为: 图形语言:

公理 3: 用数学符号表示为: 图形语言:

3. 公理 2 的三条推论: 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;
1

推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.

二、问题导学
为什么要学习三个公理?三个公理的作用是什么?

三、预习自测
1.下列推断中,错误的是( ). A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? B. A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? AB C. l ? ? , A ? l ? A ? ? D. A, B, C ? ? , A, B, C ? ? ,且 A、B、C 不共线 ? ? , ? 重合 2.下列结论中,错误的是( ) A.经过三点确定一个平面 C.经过两条相交直线确定一个平面

B.经过一条直线和这条直线外一点确定一个平面 D.经过两条平行直线确定一个平面

3.用符号表示下列语句,并画出相应的图形: (1)直线 a 经过平面 ? 外的一点 M; (2)直线 a 既在平面 ? 内,又在平面 ? 内; 4.如图,试根据下列要求,把被遮挡的部分改为虚线: (1)AB 没有被平面 ? 遮挡; (2)AB 被平面 ? 遮挡

【疑惑之处】

探究案
【例 1】 如图,用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.

【探究小结】 【例 2】在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, (1) AA1 与 CC1 是否在 同一平面内?(2)点 B, C1 , D 是否在同一平面内?(3)画出平 面 AC1C 与平面 BC1D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线.

【探究小结】

2

变式:例 2 中, A1 C 与面 BC1 D 相交于点 M,求证: C1 , M , O 三点共线. 分析:要证若干点共线的问题,只需证这些点同在两个相交平面内即可.

【例 3】已知 ?ABC 在平面 ? 外,它的三边所在的直线分别交面 ? 于 P,Q, R ,求证: P,Q, R 在同 一条直线上.
A

C

B R P Q ?

【探究小结】

课堂检测
1.下列说法中正确的是( ). A. 空间不同的三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 2.给出下列说法,其中说法正确的序号依次是 ① 梯形的四个顶点共面; ② 三条平行直线共面; ③ 有三个公共点的两个平面重合; ④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. .

3.已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是 4.下面四个叙述语(其中 A,B 表示点, a 表示直线, ? 表示平面) ① A ? ? , B ? ? ,? AB ? ? ; ② A ? ? , B ? ? ,? AB ? ? ; ③ A ? a, a ? ? ,? A ? ? ; ④ A ?? , a ? ? ,? A ? a . 其中叙述方式和推理都正确的序号是
3

.

5.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 M,N 分别是 AA1,D1C1 的中点,过点 D,M,N 三点 的平面与正方体的下底面 A1B1C1D1 相交于直线 l , (1)画出直线 l ; (2)设 l

A1B1 ? P ,求 PB1 的长;

(3)求 D1 到 l 的距离.

课后检测
1.下列推断中,错误的是( ). A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ?? A. B. A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? AB C. l ? ? , A ? l ? A ? ? D. A, B, C ? ? , A, B, C ? ? ,且 A、B、C 不共线 ? ? , ? 重合 2. E、 F、 G、 H 是三棱锥 A-BCD 棱 AB、 AD、 CD、 CB 上的点, 延长 EF、 HG 交于 P, 则点 P ( ) . A.一定在直线 AC 上 B.一定在直线 BD 上 C.只在平面 BCD 内 D.只在平面 ABD 内 3.用一个平面截一个正方体,其截面是一个多边形,则这个多边形边数最多是( ). A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 4.下列说法中正确的是( ). A. 空间不同的三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 5. 两个平面若有三个公共点,则这两个平面 6.给出下列说法:① 梯形的四个顶点共面;② 三条平行直线共面;③ 有三个公共点的两个平面 重合;④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面 . 其中说法正确的序号依次 是 . 7.已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是

8. 求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线 AB, BC , CA 两两相交,交点分别为 A, B, C ,求证:直线 AB, BC , CA 共面.

9. 空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点, 已知 EF 和 GH 交 于 P 点,求证: EF 、 GH 、 AC 三线共点.

4

2.1.2 空间中直线与直线间的位置关系
第____周 高一____班 __________合作小组 姓名__________

【学习目标】
1. 直线与直线之间的位置关系. 2. 异面直线的定义、异面直线所成的角;

【重点难点】
教学重点:异面直线的定义;直线与直线之间的位置关系; 教学难点:异面直线的定义

【学法指导】
多观察生活中事物,如建筑物、电线杆、马路、桥梁等并思考直线与直线的位置关系

预习案
阅读教材 P44-50,完成下面填空

一、知识梳理
1.空间两直线的位置关系 ? ?相交直线: ?共面直线 ? ? ?平行直线: ? ?异面直线: 2. 异面直线的概念与画法 (1)异面直线的画法

; ; .

(注意:常用平面衬托法画两条异面直线) (2) 异面直线所成的角: 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作直线 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的角(或夹角). , 把 a?, b?

注意:①a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上; ② 异面直线所成的角的范围为 ,

③ 如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作 a ? b . (3)空间等角定理:

二、问题导学
空间两条直线位置关系有几种?其中,哪一种关系是平面几何中没有学过?

三、预习自测
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( A. 异面 B. 平行 C. 相交 ). D. 以上都有可能

5

2.直线 l 与平面 ? 不平行,则( ). l l A. 与 ? 相交 B. ? ? C. l 与 ? 相交或 l ? ? D. 以上结论都不对 3.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数( A. 有限个 B. 无限个 C. 没有 D. 没有或无限个 4.如果 OA ∥O A , OB ∥O B ,那么 ?AOB 与 ?AO B
' ' ' '
' ' '

).

(大小关系).

探究案
【例 1】空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点, 求证:四边形 EFGH 是平行四边形. A
H E D G B F C

进一步探究 1:若 AC=BD,四边形 EFGH 是什么图形? 探究 2:在什么条件下,四边形 EFGH 是正方形? 【探究小结】

EF 所 【例 2】正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别为 A 1与 1B 1, B 1C1 的中点,求异面直线 DB
成角的大小.

【探究小结】

6

【例 3】如图,已知长方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中, AB ? 3 , AD ? 3 , AA ? 1.
'

(1) BC 和 AC 所成的角是多少度? (2) AA 和 BC 所成的角是多少度?
'

'

'

'

【探究小结】

课堂检测
1. 两条异面直线指: A. 空间中不相交的两条直线; C. 分别在不同平面内的两条直线; E. 不同在任一平面内的两条直线; B. 某平面内的一条直线和这平面外的直线; D. 不在同一平面内的两条直线; F. 分别在两个不同平面内的两条直线;

G. 某一平面内的一条直线和这个平面外 的一条直线; H. 空间没有公共点的两条直线;I. 既不相交,又不平行的两条直线. 2.下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系? ①CA1 和 BD1 是 ③BD1 和 DC 是 直线 直线 条?
C A

②BD 和 B1D1 是

直线

(2)与棱 AB 所在直线异面的棱共有

(3)与对角线 DB1 成异面直线的棱共有几条?

G (4)思考:这个长方体的棱中共有多少对异面直线? B D 3.如图是一个正方体的展开图,如果将它 H E 还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 对? 4.在平面内我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”在空间, 这一结论是否一定成立?

注:不是所有的平面中的定理都可以推广到 空间 ,若推广需证明其正确性. 5.“ 若直线 a 与直线 b 异面,直线 b 与直线 c 异面。 则 a 与 c 也异面”。这一命题对吗?为什么? ( 即:异面直线是否具有传递性) 6. 判断:(1) a ? c , b ? c ? a ? b ( )(2) a / /b, c ? a ? c ? b ( )

7

7.已知 a , b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a 那么 a 与 b (



A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 8.已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,则 l A 与 m, n 都相交 C.与 m, n 都不相交 B.与 m, n 中至少一条相交 D.与 m, n 中的一条直线相交

课后检测
1.两条直线 a,b 分别和异面直线 c, d 都相交,则直线 a,b 的位置关系是( ). A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线,也可能是相交直线 2.E、F、G、H 是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)EFGH 是 形; (2)若空间四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 垂直,则 EFGH 是 形; (3)若空间四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相等,则 EFGH 是 形. 3.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是 4.正方体各面所在平面将空间分成( )个部分.

.

A. 7

B. 15

C. 21 D. 平行或相交

D. 27
).

5.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面( A. 平行 B. 相交

C. 平行或垂合

EF 所成角的大小. 6.正方体 AC1 中, E , F 分别是 A 1B 1、B 1C1 的中点,求异面直线 DB 1与

7. 三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 的侧棱垂直底面, ?BCA ? 90 ,点 D 1F 1 分别是 A 1B 1 、 AC 1 1 的中点 . 若

?

BC ? CA ? CC1 ,求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.

8

2.1.3 直线与平面、平面与平面的位置关系
第____周 高一____班 __________合作小组 姓名__________

【学习目标】
掌握直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.

【重点难点】
教学重点:直线与平面的位置关系;平面与平面之间的位置关系。 教学难点:直线与平面; 平面与平面之间位置关系的判断和相交平面的画法。

【学法指导】
动手操作、观察猜想、合作探究、共同进步

预习案
阅读教材 P48-50,完成下面填空

一、知识梳理
1.空间直线和平面的位置关系 (1)直线与平面相交: 直线在平面内: 直线与平面平行: 直线与平面位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 (2)直线在平面外——直线和平面相交或平行,记作 a ? ? 包括 a 如图: 公共点个数 ; ; . 图形表示 符号表示

? ? A 和 a / /?

2.空间平面与平面的位置关系 平面与平面平行: 平面与平面位置关系 相交 平行 公共点情况

;平面与平面相交: 图形表示 符号表示

.

二、问题导学
直线在平面外指的是什么?平面过直线 l 是怎样的?

9

三、预习自测 1.已知直线 l1 、 l2 , 平面 ? , l1 ∥l2 , l1 ∥ α, 那么 l2 与平面 ? 的关系是(
A. l1 ∥ α B. l2 ? α C. l2 ∥ α 或 l2 ? α

).

D. l2 与 α 相交

2.以下说法(其中 a , b 表示直线,?表示平面) ① 若 a / / b , b ? ? ,则 a ∥? ③ 若 a / / b , b / /? ,则 a∥ ? 其中正确说法的个数是( ). A. 0 个 B. 1 个 ② 若 a ∥? ,b∥ ?,则 a / / b ④ 若 a∥ ?, b ? ? ,则 a / / b C. 2 个 D. 3 个

3.下列说法正确的是( ). A. 一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任一条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行

D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行
4.在下列条件中,可判断平面 α 与 β 平行的是( ). A. α、β 都平行于直线 l B. α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等 C. l、m 是 α 内两条直线,且 l∥ β,m∥ β D. l、m 是两条异面直线,且 l∥ α,m∥ α,l∥ β,m∥ β

探究案 【例 1】 (1)直线 l // 直线 m , l 与平面 ? 相交,则 m 与平面 ? 的位置关系是( ) A m 与平面 ? 相交 B m // ? C m ? ? D m 在平面 ? 外 (2) l ? ? ? A , b ? ? ,则 l 与 b 的位置关系 . (3) l ? ? ? A , l 与 b 相交或异面,则 b 与平面 ? 的位置关系 .

【探究小结】

【例 2】 如图,在长方体 ABCD ? A B C D 中,指出
' ' ' '

B'C , D' B 所在的直线与六个表面所在平面的位

置关系。

【探究小结】

10

【例 3】 (1)画出两种不同位置的两个相交平面,并判断两个平面将空间分成几部分。 (2)如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形并判断三个平面将空间分成 几部分

【探究小结】

课堂检测 1.已知 a , b 是两条相交直线, a ? ?? ,则 b 与 ? 的位置关系是( ). A. b / /? B. b 与 ? 相交 C. b ? ? D. b / /? 或 b 与 ? 相交
2.如果平面 ? 外有两点 A、B,它们到平面 ? 的距离都是 a ,则直线 AB 和平面 ? 的位置关系一定 是( ). A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB ? ? 3.如果点 M 是两条异面直线外的一点,则过点 M 且与 a,b 都平行的平面( ). A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有,或只有一个 D. 有无数个 4.已知 a、b、c 是三条不重合直线, ?、?、? 是三个不重合的平面,下列说法中: ⑴a∥ c,b∥ c ? a∥ b; ⑵a∥ ?,b∥ ? ? a∥ b; ⑶c∥ ?,c∥ ? ? ?∥ ?; ⑷?∥ ?,?∥ ? ? ?∥ ? ; ⑸ a∥ c,?∥ c ? a∥ ?; ⑹a∥ ?,?∥ ? ? a∥ ?.其中正确的说法依次 是 .

课后检测
1.下列命题中正确的个数是( ) (1)若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥ α。 (2)若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行。 (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行。 (4)若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点。 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.下列命题是真命题的个数( ) (1)直线 a 平行于平面 α 内的无数条直线,则 a∥ α (2)若直线 a 在平面 α 外,则 a∥ α (3)若直线 a∥ b,直线 b ? α,则 a∥ α (4)若直线 a∥ b,b ? α,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线 A 1 B 2 C 3 D 4 3.下列命题是假命题的 (1)平面 α 内有无数条直线与平面 ? 平行,那么 α∥? (2)与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行 (3)两个平面相互平行,则分别在两个平行平面内的直线平行或异面 (4)若直线 l 不平行平面 α,且 l ? α,则 α 内不存在与 l 平行的直线 (5) 平面 α∥? ,直线 a∥ α,则 a∥? (6)平行于同一直线的两个平面平行 (7)过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。
11


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