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江苏省海州高级中学、灌南高级中学、海头高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


高二数学(文科)期中考试试卷
满分:160 分 时间:120 分钟 一、填空题(每题 5 分) : 1、设 M ? ?1, 2? , N ? ?a, b? , a, b ? R ,若 M ? N ,则 2a ? b ? 2、命题“ ?x ??1, ?1,0? ,2x ?1 ? 0 ”的否定是 3、已知 A, B 为不相等的非空集合,则“ x ? A ? B ”是“ x

? A ? B ”的 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或 “既不充分也不必要”) 4、设 U ? R, A ? x x ? 1 , B ? x x ? m ,若 CU A ? B ,则实数 m 的范围是 5、 用反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个不大于 60 ? ” 时, “假设命题结论不成立” 的正确叙述是 (填序号) (2)假设三个内角至多有两个大于 60 ? 条件(填

?

?

?

?

(1)假设三个内角都不大于 60 ?

(3)假设三个内角至多有一个大于 60 ? (4)假设三个内角都大于 60 ? 6、若直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b 的值是 3

7、已知 z ? z ? 1 ? 5i ,则复数 z ? 8、已知函数 y ? f? x ? 的 图 象 在 点 M 1, f

?

?

?

?1 ?? 处 的 切 线 方 程 是 y ? 2 x ? 2 , 那 么

1

f ?1? ? f '? 1 ??
9、若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为虚数,则 a 的范围是 z2
2 2

10、已知复数 z ? x ? yi, x, y ? R ,且 z ? 3 ? 1 ,则 x ? y ? 4x ? 1 的最大值为_____ 11、若函数 f ? x ? ? mx ? ln x ? 2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是
2

12、凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? x2,?,xn,有 ≤f? ?,已知函数 y=sin x n n ? ?
在 区 间 (0 , π ) 上 是 凸 函 数 , 则 在 △ ABC 中 , sin A + sin B + sin C 的 最 大 值 为 ____________________ 13、 若不等式 2xln x≥-x +ax-3 对 x∈(0, +∞)恒成立, 则实数 a 的取值范围是_ 14、已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是________ 二、 (满分 90 分) 1 5、 (本小题满分 14 分)
1
2

_

已知集合 A ? x x ? a ? 4 , B ? x x ? 2 ? 3 (1)若 a ? 1 ,求 A ? B (2)若 A ? B ? R ,求实数 a 的范围。

?

?

?

?

16、 (本小题满分 14 分) 已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数 单位),且复数(z+ai) 在复平面上对应 2-i 的点在第一象限,求实数 a 的取值范围。

z

2

17. (本小题满分 15 分)
x 已知 c ? 0 且 c ? 1 ,设命题 p : “函数 y ? ? 2c ?1? ? c 在 R 上为减函数” ,命题 q : “不

等式 x ? ? x ? 2c ? ? 1 的解集为 ? ” ,若“ p ? q ”为真命题,求实数 c 的范围。
2

2

18. (本小题满分 15 分) 设 a>0,函数 f(x)= e . x +a
2

x

5 (1)若 a= ,求函数 f(x)的单调区间; 9 1 ?1 3? (2)若当 x= 时,函数 f(x)取得极值,试证明:对于任意的 x1,x2∈? , ?, 2 ?2 2? 3-e |f(x1)-f(x2)|≤ e。 3

19. (本小题满分 16 分) 如图,现在要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛” ,以正方形的四个 顶点为圆心,在四个角分别建半径为 xm ( x 不小于 9 )的扇形花坛,以正方形的中心 为圆心建一个半径为

1 2 x m 的圆形草地,为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60m ,绕 5

岛行驶的路宽均不小于 10m ,

3

(1)求 x 的取值范围(注: 2 取 1.4 ) (2)若中间草地的造价为 a 元 / m ,四个花坛的造价为
2

4 ax 元 / m2 ,其余区域的造价为 33

12 a 元 / m2 ,当 x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低? 11

岛口
D花坛 B

花坛C

岛口

草地

岛口

A花坛

花坛B 岛口

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ln x- . (1)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 在 ? e, ?? ? 上的最小值; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上 的最小值为 ,求实数 a 的值; 2 (3)若 f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围。
2

a x

4

高二数学(文科)期中考试试卷 参考答案 1、 4 或 5 2、 ?x ??1, ?1,0? ,2x ?1 ? 0 3、必要不充分 4、 m ? 1

5、 (4) 6、 ln 3 ? 1 7、 12 ? 5i 8、3

9、 a ? ?

3 2

10、33

11、 m ?

1 2

12、

3 3 2

13、(-∞,4]

1 1 4、0<a< . 2

15、 (14 分) (1) ? ?3, ?1? (2) 1 ? a ? 3 16、 (14 分)2<a<6 17、 (15 分)

5 ? c ?1 8

4 x 2 e [?x-1? - ] 9 18、 (15 分)(1)解 由题意得 f′(x)= . 5 ?x2+ ?2 ? 9? ? ? 4 2 令 f′(x)>0,即(x-1) - >0, 9 1 5 解得 x< 或 x> . 3 3 1? ?5 ? ? 所以函数 f(x)在?-∞, ?,? ,+∞?上单调递增. 3 3 ? ? ? ? 1 5 同理,由 f′(x)<0,得 <x< . 3 3

?1 5? 所以函数 f(x)在? , ?上单调递减. ?3 3?
1 ?1? (2)证明 当 x= 时,函数 f(x)取得极值,即 f′? ?=0, 2 ?2? 1? ?3 1 3 ?1?2 ? ? ∴? ? +a-2× =0,∴a= .同(1)易知,f(x)在?-∞, ?,? ,+∞? 上单调递增, 2? ?2 2 4 ?2? ? ?

?1 3? 在? , ?上单调递减. ?2 2?
1 3 ?1? ?3? e e, ?1 3? ∴当 x= 时, f(x)取得极大值 f? ?= e, 当 x= 时, f(x)取得极小值 f? ?= ∴在? , ? 2 2 2 2 ? ? ? ? 3 ?2 2? ?1? ?3? e e.∴对于任意的 x ,x ∈?1,3?,|f(x ) 上,f(x)的最大值是 f? ?= e,最小值是 f? ?= 1 2 ?2 2? 1 ?2? ?2? 3 ? ? e 3-e 3-e -f(x2)|≤ e- e= e,即|f(x1)-f(x2)| ≤ e. 3 3 3
5

? ? x?9 ? 19、 (16 分)解(1)由题意知 ? 得 9 ? x ? 15 ; 100 ? 2 x ? 60 ? 1 ?100 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 2 ?10 5 ?
(2)记环岛整体造价为 y 元,则由题意知
2 2 ? 4 12a ? 4 ?1 2? ?1 2? 2 y ? a ? ? ? ? x ? ? ax ? ? x ? ? ?10 ? ? ? ? x ? ? ? x 2 ? 11 ? ? 5 ? 33 ?5 ? ? ? ?

得y?

a? ? 1 4 4 3 ? ? ? ? ? x ? x ? 12 x 2 ? ? 12 ?104 ? ? 11 ? ? 25 3 ? ?
1 4 4 3 ? 1 ? x ? x ? 12 x 2 则 f ' ? x ? ? ?4 x ? x 2 ? x ? 6 ? 25 3 ? 25 ?

令 f ? x? ? ?

令 f ' ? x ? ? 0 得 x1 ? 10, x2 ? 15 分析单调性知 当 x ? 10 时 y 取最小值 答:当 x ? 10 时,环岛造价最低。 20、 (16 分) (1) 1 ?

a e
x x x

1 a x+a (2)由题意可知,f′(x)= + 2= 2 . ①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为增 函数, 3 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a ≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为 减函数,

a 3 e ∴f(x)min=f(e)=1- = ,∴a=- (舍去). e 2 2
③若-e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-a,e)上为增函数, 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= , 2
6

∴a=- e.综上所 述,a =- e. (3)∵f(x)<x ,∴a>xln x-x 在(1,+∞)上恒成立. 令 g(x)=xln x-x ,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x ,
3 2 2 3

h′(x)= -6x= x

1

1-6x

2

x

.

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数. ∴g(x)<g(1)=-1, 当 a≥-1 时,f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立.
2

7


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