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数学奥林匹克高中训练题(07)及答案


数学奥林匹克高中训练题(07)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题12)在数 38 , 47 ,56 ,65 中,最大的一个是(B). (A) 3
8

(B) 4

7

(C) 5

6

(D) 6

/>5

2.(训练题12)设 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? i, z3 ? 3 ? i .则 arg(?10 3 ? z1z2 z3 ) 等于(D). (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

5? 6

3.(训练题12)甲命题:平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ,则平面 ? //平面 ? . 乙命题:平面 ? 上不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则平面 ? //平面 ? . 则(D). (A) 甲是真命题,乙是真命题 (C) 甲是假命题,乙是真命题 4.(训练题12)若 an ? [(

(B) 甲是真命题,乙是假命题 (D) 甲是假命题,乙是假命题

3 ? 17 n ) ](n ? 1,2,3,?) ,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则是数列 {an } (C). 2
(B) 各项均为偶数 (D) 奇数项是偶数,偶数项是奇数

(A) 各项均为奇数 (C) 奇数项是奇数,偶数项是偶数 5.(训练题12)方程 x ? x ? 1 ? xe
2 x 2 ?1

? ( x 2 ? 1)e x 的解集为 A (其中, e 是无理数, e ? 2.71828? ).则
(C)2
100

A 中的所有元素的平方和等于(C).
(A)0 (B)1 (D)4

6.(训练题12)在平面直角坐标系中,由不等式 y 形的面积等于(A). (A) 50π (B) 40π (C) 30π 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

?

1 1 ? x100 ? 100 , x 2 ? y 2 ? 100所限定的图 100 y x

(D) 20π

1.(训练题12)若 a, b, c 均为整数,且使得 9 ? 8 sin 50? ? a ? b sin C ? .则

a?b ? c

1 2



2 . ( 训 练 题12) 如果 关 于 x 的 不 等 式 x ? a ? x ? x ? 的 解 集为 一 切实 数 , 那么 a 的 取 值 范 围是 1

?1 ? a ? 0



3.(训练题12)已知棱长为1的正方体 ABCD ? A B1C1D1 ,则异面直线 AC1 与 B1C 之间的距离等于 1

6 . 6
4.(训练题12)数 2 x,1, y ? 1 按指出的顺序成等差数列,并且 y ? 3, x ?1 ? x ?1 ,cos(arccos x) 按指出 的顺序成等比数列.则 x ? y ? xy ? 3 .

5. (训练题12)在年龄彼此不等的30个人中选出两组, 第一组12个人,第二组15个人,使得第一组中年龄 最长的人比第二组中年龄最小的人的年龄要小.那么,选取方法数共有 4060 种. 6. (训练题12)若 x 是实数, 则方程 x ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? ? ? [ 表示不超过 x 的最大整数).

x 2

x 3

x 4

x x ]?[ ] 的解集是 ?0,4,5? (其中 [ x] 1993 1994

第二试
一、(训练题12)(本题满分30分)设 f ( x) ? x2 ? (4a ? 2) x ? 6a 2 在区间 [0,1] 上的最小值为 m .试写出 用 a 表示 m 的表达式 m ? F (a) .并回答:当 a 为何值时, m 取得最大值?这个最大值是多少?

(a ? 0, m ? 0)
二、 (训练题12)(本题满分30分)在三棱锥 A ? BCD 中 ?DAB ??BAC ??DAC ? 90? , ?ADB ? ?BDC ? ?ADC ? 90?. 又知 DB ? a, DC ? b .试求在三棱锥 A ? BCD 内所容体积最大的球的半径.( r ?

ab ) 2(a ? b)

, } 三、(训练题12)(本题满分30分) 已知集合 M ? {2,3,4,5,6 ?,19931994 .证明: M 中任意取出15
个两两互素的元素,其中至少有一个是质数. 四、(训练题12)(本题满分30分)用 m? n 个非负实数排成如下一个 m 行 n 列的矩形数表:

a11 ,

a12 ,
a22 ,


a13 ,
a23 ,


……, ……,

a1n , a2 n ,

G1 G1


a21 ,


……, … ……,

am1 ,

am 2 ,

a m3 ,

amn ,

Gm

A1 ,

A2 ,

A3 ,

……,

An

分别写出各行诸数的集合平均数 G1 , G2 ,?, Gm ,在写出各列诸数的算术平均值 A1 , A2 ,?, An .令

A(G1 , G2 ,? , Gm ) ?

1 (G1 ? G2 ? ? ? Gm ) , G( A1 , A2 ,?, An ) ? n A1 ? A2 ??? An . m

求证: G( A1 , A2 ,? An ) ? A(G1 , G2 ,?, Gm ) .


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