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数学理卷·2014届安徽省安庆一中 安师大附中高三1月联考(2014.01)

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安庆一中、安师大附中高三 2014 年 1 月联考 数学(理)试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? x ? y ? ln x? ,集合 B ? ??2, ?1,1, 2? ,则 A ? B ? A. (1, 2) B. ?1, 2? C. ??1, ?2? D. (0, ??)

2.对于事件 A,P(A)表示事件 A 发生的概率。则下列命题正确的是 A 如果 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ,那么事件 A、B 互斥 B 如果 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 1 ,那么事件 A、B 对立 C D

P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 1 是事件 A、B 对立的充要条件
事件 A、B 互斥是 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) 的充分不必要条件

3. 把函数 f ( x ) ? cos x ? 3 sin x 的图象向左平移 m 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小值为 A.

5? 6

B.

2? 3

C.

? 3

D.

? 6
2 2

4.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.9 B.10 C.11

23 D. 2
正视图

3

侧视图

5.对于平面 ? 和共面的两直线 m 、 n ,下列命题中是真命 题的为 A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n C.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n D.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m // n 6.等比数列 { an } 中 a1 ? 512 ,公比 q ? ?
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1 1 俯视图

第 4 题图

1 ,记 ? n ? a1 ? a 2 ??? an (即 ? n 表示 2

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数列 { an } 的前 n 项之积) , ?8 , ? 9 , ?10 , ?11 中值为正数的个数是 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

7.设 x、y 均是实数,i 是虚数单位,复数

x ? yi +i 的实部大于 0,虚部不小于 0,则复数 1 ? 2i

z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的

8.设集合 S ? ? A0 , A1 , A2 ? ,在 S 上定义运算 ? : Ai ? A j ? Ak ,其中 k 为 i ? j 被 3 除的 余数, i, j ? ?1, 2,3? ,则使关系式 ( Ai ? A j ) ? Ai ? A0 成立的有序数对 (i, j ) 总共有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

9.已知 A,B,C,D,E 为抛物线 y ?

1 2 x 上 不 同 的五点 , 抛 物 线焦 点 为 F ,满 足 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? FA ? FB ? FC ? FD ? FE ? 0 ,则 | FA | ? | FB | ? | FC | ? | FD | ? | FE |?
5 B 10 C

A

5 16

D

85 16

10.一支人数是 5 的倍数且不少于 1000 人的游行队伍,若按每横排 4 人编队,最后差 3 人; 若按每横排 3 人编队,最后差 2 人;若按每横排 2 人编队,最后差 1 人.则这只游行队伍的 最少人数是 A 1025 B 1035 C 1045 D 1055

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
考生注意事项:
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上 作答,在试题 .... . ... 卷上答题无效 . ...... 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答 案填在答题卡的相应位置. 11. 输入正整数 n ( n ? 2 )和数据 a1 , a 2 ,?, a n , 如果执行如图 2 的程序框图,输出的 s 是数据 a1 , a 2 ,?,
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a n 的平均数,则框图的处理框★中应填写的是___________;
12. 已知函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象与直线 y=1 的交点的横坐 标为 x1 , x2 .若 x1 ? x2 的最小值为 p ,则 ? ? ? 的值为___________; 13.设 a ?

?

?

0

1 (sin x ? cos x)dx ,则二项式 (ax ? )6 的展开式中常数项___________; x

14 . 函 数

?| log 2 x |, 0 ? x ? 4 ? f ( x) ? ? 2 2 , 若 a, b, c, d 互 不 相 同 , 且 70 x ? 8 x ? , x ? 4 ? 3 ?3

f (a ) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,则 abcd 的取值范围是___________;
15.有以下四个命题 ① y ? sin x ?
2

3 的最小值是 2 3 sin 2 x
, 则 f (4) ? f (3)

②已知 f ( x ) ?

x ? 11 x ? 10
x

③ y ? log a (2 ? a ) (a ? 0, a ? 1) 在 R 上是增函数 ④函数 y ? 2 sin( 2 x ?

? ? ) 的图象的一个对称中心是 ( , 0) 6 12

其中真命题的序号是___________ (把你认为正确命题的序号都填上)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. 16. (本题满分 12 分) (1)证明: sin x ? sin y ? 2 sin

x? y x? y cos 2 2

(2)三角形 ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,若 a,b,C 成等差数列,求证

tan

A C B tan ? tan 2 。 2 2 2

17. (本小题 12 分)某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训,以促进教 师的专业发展,每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.现知全市教 师中,选择心理学培训的教师有 60%,选择计算机培训的教师有 75%,每位教师对培训项目 的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
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(1)任选 1 名教师,求该教师选择只参加一项培训的概率; (2)任选 3 名教师,记 ? 为 3 人中选择不参加培训的人数,求 ? 的分布列和期望.

18. (本小题 12 分)如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径, 点 D 为线段 AB 上一点,

P

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC . 3 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? DB . (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值.
且 AD ? A 19 . ( 本 小 题
2 2

D C

O

B

13

分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x ln x ? a ( x ? 1), a ? R ,
(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

第 18 题图

20. (本小题 13 分)数列 {an } 的各项均为正值, a1 ? 1 ,对任意 n∈N*,

an ?12 ? 1 ? 4an (an ? 1), bn ? log 2 (an ? 1) 都成立.
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)当 k>7 且 k∈N 时,证明:对任意 n∈N 都有
* *

1 1 1 1 3 ? ? ?? ? ? 成立. bn bn ?1 bn ? 2 bnk ?1 2

21(本小题 13 分)过椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 外一点 A(m,0)作一直线 l 交椭圆 a2 b2
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于 P、Q 两点,又 Q 关于 x 轴对称点为 Q 1 ,连结 PQ1 交 x 轴于点 B。 (1) 若 AP ? ? AQ ,求证: PB ? ? BQ1 ; (2)求证:点 B 为一定点 (

a2 , 0) 。 m

安庆一中、安师大附中高三 2014 年 1 月联考 数学(理)答案
答案:1。B 2。D 3。B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C

s?
11. 12.

(i ? 1) ? s ? ai i

?
2

?2

13. ? 160 14. (32,35) , 15.③ ④

x? y x? y x? y x? y ? ) ? sin( ? ) 2 2 2 2 16.解: (1) x? y x? y ? 2sin cos ??????5分 2 2 sin x ? sin y ? sin(
( 2 ) 由 正 弦 定 理 得 sin A ? sin C ? 2 sin B , 又 由 ( 1 ) 可 知

A?C A?C A?C A?C cos ? 2sin B ? 2sin( A ? C ) ? 4sin cos 2 2 2 2 A?C A?C A C A C ? cos ? 2 cos ,? cos cos ? 3sin sin , 2 2 2 2 2 2 A C 1 ? tan tan ? ??????10分 2 2 3 2sin
a ?c ?b ? 由余弦定理得: 2ac ? B 1 ? B ? ,? tan 2 ? 3 2 3 cos B ?
2 2 2

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 3a 2 ? 3c 2 ? 2ac 1 2 ? ? 2ac 8ac 2

所以 tan

A C B tan ? tan 2 。 2 2 2

???12 分

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17. (本小题满分 12 分) 解:任选 1 名教师,记“该教师选择心理学培训”为事件 A , “该教师选择计算机培训”为 事件 B ,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P ( A) ? 0.6 , P ( B ) ? 0.75 . ???1 分 (1)任选 1 名,该教师只选择参加一项培训的概率是

P 1 ? P ( AB ) ? P ( AB ) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45 .
(2)任选 1 名教师,该人选择不参加培训的概率是

????4 分

P0 ? P( AB)=P( A) P( B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 .
因为每个人的选择是相互独立的,

????5 分

0.1) , 所以 3 人中选择不参加培训的人数 ? 服从二项分布 B (3,


????6 分

P(? ? k ) ? C3k ? 0.1k ? 0.93? k , k ? 0, 1, 2, 3,

????8 分

即 ? 的分布列是

?
P
??10 分

0 0.729

1 0. 243

2 0.027

3 0.001

所以, ? 的期望是 E? ? 1? 0.243 ? 2 ? 0.027 ? 3 ? 0.001 ? 0.3 . (或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.1 ? 0.3 . )

???12 分

18.解析: (Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3 AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,
? 由 3 AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,

P

∴ ?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD ,-----------------5 分

A C

D O

B

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由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD . -----------------6 分

(注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. ) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,

BC ? 2 3 , DB ? 3 ,AB ? 4 , 在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 , 由 3 AD ? DB , 3 AC ? BC 得,
BD BC 3 ? ? AB 2 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ∴ BC
∴ ?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO . ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD . 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,
? 在 Rt?ABC 中由 3 AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,

-----------------3 分

---------5 分

-----------------6 分

设 AD ? 1 ,由 3 AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2 DB ? BC cos 30 ? 3 ,
2 2 2 ? 2 2 2 ∴ CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .

-----------------3 分

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD , -----------------5 分

由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB ,
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又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ? CD . -----------------6 分 P

(Ⅱ)法 1: (综合法)过点 D 作 DE ? PB ,垂足为 E ,连接 CE . -----------7 分 由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ CD ? PB ,又 DE ? CD ? D , ∴ PB ? 平面 CDE ,又 CE ? 平面 CDE , ∴ CE ? PB ,-----------------9 分 ∴ ?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. -----------------10 分 由(Ⅰ)可知 CD ? A C D O B E

3 , PD ? DB ? 3 ,
PD ? DB 9 3 2 ? ? PB 2 , 3 2
CD 3 6 ? ? DE 3 2 3 2 ,

(注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分. )

∴ PB ? 3 2 ,则

DE ?

tan ?DEC ?
∴在 Rt?CDE 中,

15 15 5 ,即二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 5 . ---------------12 分 ∴ ???? ??? ? ??? ? DC DB DP D 法 2: (坐标法)以 为原点, 、 和 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向, cos ?DEC ?
建立如图所示的空间直角坐标系. -----------------8 分 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 CD ? AB ,酌情给分. ) 设 AD ? 1 ,由 3 AD ? DB , 3 AC ? BC 得, PD ? DB ? 3 , CD ? ∴ D (0, 0, 0) , C ( 3, 0, 0) , B (0,3, 0) , P (0, 0,3) ,

3,

??? ? ??? ? ??? ? PC ? ( 3, 0, ? 3) PB ? (0,3, ? 3) CD ? (? 3, 0, 0) , ∴ , , ??? ? CD ? (? 3, 0, 0) . CD ? PAB PAB 由 平面 ,知平面 的一个法向量为
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
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z P

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A

D O B y

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??? ? ? ?n ? PC ? 0 ? ? ??? ? ?n ? PB ? 0
? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ? ?3 y ? 3 z ? 0

,即

,令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 ,

∴ n ? ( 3,1,1) ,-----------------10 分 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? cos ? ? ?? 5 , | n | ? | CD | 5? 3 则
15 ∴二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 5 .-----------------12 分
19.解: a ? 0 时, f ( x) ? x ln x, f ( x) ? x(2 ln x ? 1),
2 '

??????2 分

x ? (0, e ) 时, f ( x) 单调减, x ? (e , ??) 时, f ( x) 单调增, ??????4 分
1 所以当 x ? e 时, f ( x) 有最小值 2e
? 1 2

?

1 2

?

1 2

?

??????5 分 ??????6 分 ??????8 分

(2)由已知,即 x ? 1 时,

f ( x) min ? 0

f ' ( x) ? x(2 ln x ? 1 ? 2a), x ? 1
a? 1 ' 2 时, f ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) 单调增 a? 1 2 时满足 f ( x) ? 0 恒成立;
1

当 1 ? 2a ? 0, 即

? f ( x) min ? f (1) ? 0 ,即

??????10 分

a? ' 1 2 ? 1, 当 1 ? 2a ? 0 即 a ? 时,由 f ( x) ? 0 得 x ? e 2

所以 x ? (1, e 即a ?

a?

1 2

) 时, f ( x) 单调减,即 x ? (1, e

a?

1 2

) 时? f ( x) ? f (1) ? 0 与题设矛盾,
??????12 分

1 时,不能满足 f ( x) ? 0 恒成立。 2 a? 1 2。

综上,所求 a 的取值范围是

??????13 分

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20. 解 : ( 1 ) 由 a n + 1 ? 1 = 4 a n ( a n +1) ,
得 ( a n + 1 +2a n +1 ) ( a n + 1 -2a n -1 ) =0 , 数 列 {a n } 的 各 项 为 正 值 , a n + 1 +2a n +1 > 0 , ∴ a n + 1 =2a n +1 , ∴ a n + 1 +1=2 ( a n +1 ) , ∵ a 1 +1=2 ≠ 0 , ∴ 数 列 {a n +1} 为 等 比 数 列 . ∴ a n +1 = ( a 1 +1)?2 ∵ b n =log 2 ( a n +1 ) , ∴ b n = log 2 (2 ? 1+1) = n .
n n?1 2

= 2n, an= 2n?1,

即 为 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 .

??????6 分
*

(2)求证的的问题即:当 k>7 且 k∈N*时,对任意 n ? N ,

1 1 1 1 3 ? ? ?? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

1 1 1 1 ,则 ? ? ?? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 1 1 1 1 S? ? ?? ? ? nk ? 1 nk ? 2 n ?1 n 1 1 1 1 1 1 ? 2S ? ( ? )?( ? ) ??? ( ? ) n nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 nk ? 1 n
方法一:令 S ?

1 1 4 ? x ? 0, y ? 0, 时有 ? ? (当且仅当x ? y时等号成立) x y x? y
4 4 4 4n( k ? 1) ? ?? ? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 nk ? 1 ? n n ? nk ? 1 2(k ? 1) 2(k ? 1) 2 2 3 ?S ? ? ? 2(1 ? ) ? 2(1 ? )? 1 1? k k ?1 7 ?1 2 1? k ? n ? 2S ?
方法二:

??????13 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ?( ? ? ??? ) ? ( ? ?? ) ?? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 n n ? 1 n ? 2 2n 2n ? 1 2n ? 2 3n 1 1 1 1 1 1 ?( ? ?? ) ? ( ? ?? ) 6n ? 1 6n ? 2 7n 7n ? 1 7n ? 2 8n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? ? ?? ) ? ( ? ?? ) ?? n n ?1 n ? 2 2n 2n ? 1 2n ? 2 3n 1 1 1 1 1 1 ?( ? ?? ) ? n ? ? n ? ?? ? n ? 6n ? 1 6n ? 2 7n 2n 3n 7n 1 1 1 1 223 3 ? ? ? ?? ? ? ? ??????13分 2 3 4 7 140 2
方法三(利用定积分放缩同样给分。要作出 f ( x) ? ln x 大致图象并指出小矩形面积之和大于曲 边梯形面积)
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nk 1 1 1 1 1 3 ? ? ?? ? ? dx ? ln x |n nk ? ln k ? ln 7 ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 n x 2

??????13 分

21.证明: (1)连结 AQ1 ,因为 Q 与 Q1 关于 x 轴对称,而 A 在 x 轴上, 则在 ?APQ1 中,AB 平分 ?PAQ1 , 由内角平分线定理可知: AP : AQ1 ? PB : BQ1 , 而 AP ? ? AQ ,∵ AP与 AQ 同向,故 ? ? 0 且 | AQ1 |?| AQ | , 则 | PB | : | BQ1 |? ? ,又 P、B、 Q1 在同一直线上且 PB 与 BQ1 同向, 于是有: PB = ? BQ1 。 ??(6 分)

??? ? ???? ?

??? ? ???? ?

x2 y2 ? 2 ? 1交于P( x1 , y1 ) , Q( x 2 , y 2 ) 2 b (2)设过 A(m,0)的直线 l 与椭圆 C: a

Q1 与 Q 关于 x 轴对称,则 Q1 ( x 2 , ? y 2 ) ,

x1 y x2 y ? 12 ? 1 ? 22 ? 1 2 2 b b 由a 及 a 相减得

2

2

2

2

y1 ? y 2 b 2 x1 ? x 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) k ? ? 2? ? ?0 PQ x ? x a y1 ? y 2 , 1 2 a2 b2 ,∴ y ? y1 ? ?
PQ 直线方程:

b 2 ( x1 ? x 2 ) ( x ? x1 ) a 2 ( x1 ? x 2 ) ,而 PQ 过 A(m,0) ,则有:

m ? x1 ?

a 2 y1 ( y1 ? y 2 ) a 2 b 2 ? b 2 x1 x 2 ? a 2 y1 y 2 ? b 2 ( x1 ? x 2 ) b 2 ( x1 ? x 2 ) , xB ? a 2 b 2 ? b 2 x1 x 2 ? a 2 y1 y 2 b 2 ( x1 ? x 2 ) 。

而 PQ1过B ( x B , 0) ,同理可求得: 下面利用分析法证明: mx B ? a 。
2

(a 2 b 2 ? bx1 x 2 ) 2 ? (a 2 y1 y 2 ) 2 ? a2 2 2 [b ( x1 ? x 2 )] 即证:
2 2 2 2 2

??①
2 2 2 2 2

只需证: [a b ? b x1 x 2 ? ab ( x1 ? x 2 )][a b ? b x1 x 2 ? ab ( x1 ? x 2 )] ? (a y1 y 2 ) 只需证: b [a ? a ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ] ? b [a ? a ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ] ? (a y1 y 2 ) ,
2 2 2 2 2 2

即证: b (a ? x1 )(a ? x 2 )(a ? x1 )(a ? x 2 ) ? (a y1 y 2 )
4 2

2

??②

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而( x1 , y1 )在椭圆上,则 b (a ? x1 ) ? a y1
2 2 2
2 2 同理 b 2 (a 2 ? x2 ) ? a 2 y2

2

2

??③

??④

由③×④可知②成立,从而①式得证。因此 mx B ? a 成立。∴
2

xB ?

a2 m 。

a2 ∴点 B 为一定点( m ,0) 。 ??(13 分)
另法:证(1)设直线 l 过 A(m,0)与椭圆交于 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,而 Q1 与 Q 关于 x 轴对称,则 Q1 ( x 2 , ? y 2 ) ,由 AP ? ? AQ ,则 y1 ? 0 ? ? ( y 2 ? 0) , ∴ 0 ? y1 ? ? (0 ? y 2 ) ∴ PB = ? BQ1 。 ??(6 分) (2)由 AP ? ? AQ ,则

m?

x1 ? ?x 2 1? ?

??①

由 PB = ? BQ1 ,则

xB ?

x1 ? ?x 2 1? ?

??②

由①×②得
2 2

mx B ?

2 x12 ? ?2 x 2 1 ? ?2

??③

x1 y ? 12 ? 1 2 b 又a ??④ x2 y ? 22 ? 1 2 a b ??⑤
2 ∵ y1 ? ?y 2 ,由④-⑤· ? 得

2

2

2 x12 ?2 x 2 ? ? 1 ? ?2 a2 a2 ,

2 x12 ? ?2 x 2 ? a 2 (1 ? ?2 ) ,
2 x12 ? ?2 x 2 ? a2 2 1? ?

??⑥

由③⑥可知
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mx B ? a 2 。 ∴

xB ?

a2 m 。
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a2 ∴点 B 为一定点( m ,0) 。

??(13 分)

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