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北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(函数逻辑)


北京各区二模理科数学分类汇编 函数充要
(2015届西城二模) 3.设命题 p :函数 下列命题中真命题是(D) 在R上为增函数;命题q:函数 为奇函数.则

(2015届西城二模)7.若“ x >1 ”是“不等式 A.a >3 B.a < 3 C.a > 4

成立”的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是( A) D.a <

4

(2015届西城二模)14.如图,正方形ABCD 的边长为2, O 为AD 的中点,射线OP 从OA 出发,绕着点O 顺时针方向 旋转至OD,在旋转的过程中,记 形 ABCD内的区域(阴影部分)的面积S = f ,OP 所经过的在正方

(x),那么对于函数f (x)有以下三个结论:





②任意

,都有

③任意 其中所有正确结论的序号是 (2015 届海淀二模) .答案:①②

答案:(2)D(4)A(7)C (2015 届东城二模) (2)设 a ? log 4 ? , b ? log 1
4

? , c ? ?4 ,则 a , b , c 的大小关系是(D)
c?b?a
(D) c

(A)

a?c?b

(B) b

?c?a

(C)

?a?b

(2015 届东城二模) (5)已知 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (2015 届东城二模) ( 7 )定义在 R 上的函数

p , q 是简单命题,那么“ p ? q 是真命题”是“ ? p 是真命题”的(D)
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) . 当 x ? [?3,?1) 时, f ( x) ? ?( x ? 2) 2 , 当 x ? [?1,3) 时, ? f (2015) ? (A)
(D) 2015

f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?
(A) 336 (B) 355

(C) 1676

(2015 届丰台二模) 2.“a=0”是“复数 z (A) 充分不必要条件 (C) 充分必要条件 “复数 z (A) a=0,b≠0 (2015 届丰台二模) 4.函数

? a ? bi (a,b∈R)为纯虚数”的
(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

? a ? bi (a,b∈R)为纯虚数”成立的充分不必要条件是
(B) a=0 (C) b =0 (D) a=0,b=2

? ? x ? 1, x ? 0, f ( x) ? ? 的所有零点的和等于 ? ?2 cos x ? 1, ?2? ? x ? 0
(B)

(A)

1 ? ??

1?

3? 2 ? 2

(C)

1? ?

(D)

1?

(2015 届昌平二模) 4. “ | b | ? A.充分不必要条件

2 是“直线 y ? 3x ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 相交”的(A)
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

B. 必要不充分条件

(2015 届昌平二模) 7. 已知函数 调性相同的是( D )

y ? f ( x) ( x ?R)是奇函数,其部分图象如图所示,则在 (?2,0) 上与函数 f ( x) 的单

A.

y ? x ?1
2

B.

y ? log2 x

C.

?e x ( x ? 0) ? y ? ? ?x ? ?e ( x ? 0)

D.

y ? cos x

框图
(2015届西城二模)4.执行如图所示的程序框图,若输入的 ,则输出的s属于(A )

A.

{1? 2}

B.{1? 3}

C.{2 ? 3}

D.{1? 3? 9}

(2015 届昌平二模) 5. 在篮球比赛中,某篮球队队员投进三分球的个数如表所示: 队员 i 三分球个 数 ai 右图是统计上述 6 名队员在比赛中投进的三分球 总数 s 的程序框图,则图中的判断框内应填入的条件是(B) 1 2 3 4 5 6 开始

a1

a2

a3

a4

a5

a6

输入a1 , a2 ,

a6

s ? 0, i ? 1

i ? i ?1


A. i ? 6

B. i ? 7

C. i ? 8

D. i ? 9


s ? s ? ai
输出 s 结束

12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是



开始

S ? 0,n ?1

S?S?
否 输出 S 结束

1 n( n ? 1)

n ? 20


n ? n ?1

向量
(2015届西城二模) 2. 已知平面向量 A.4 B.-4 C.8 D.-8 , 则实数k = (D )

(2015 届东城二模) (13)已知非零向量 a , b 满足 | b |? 1 , a 与 b ? a 的夹角为 120 ,则 | a | 的取值范围是 .

答案: (0,

2 3 ] 3
的夹角是

(2015 届丰台二模)6.平面向量 a 与 b

? ,且 a ? 1 , b ? 2 ,如果 AB ? a ? b , AC ? a ? 3b , 3

D 是 BC 的中点,那么 AD ?
(A)

3

(B)

2 3

(C) 3

(D) 6

(2015 届昌平二模) 12.如图,在菱形

ABCD 中, AB ?1 , ?DAB ? 60
. 答案:1

,
D E C

E 为 CD 的中点,则 AB ? AE 的值是

A

B

不等式线性规划
(2015届西城二模)5.某生产厂商更新设备,已知在未来x 年内,此设备所花费的各种费用总和y(万元)与x满足函数关

系 A.3

,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为(B) B.4 C.5 D.6

(2015 届东城二模) (10)已知正数 x , (2015 届东城二模)

y 满足 x ? y ? xy ,那么 x ? y 的最小值为

.答案:4

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (6)若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是(D) ? y ? ?1, ?
(A) [?1,3] (B) [1,11] (C) [1,3] (D) [?1,11 ]

(2015 届丰台二模)7.某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 5 天计算) 生产 A,B,C 三种产品共 15 吨(同一时间段内只能生产一种产品) ,已知生产这些产品每吨所需天数 和每吨产值如下表: 产品名称 天 产值(单位:万元) 则每周最高产值是
(A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5

A

B

C

1 2
4

1 3
3.5

1 4
2

某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 5 天计算)生产 A,B,C 三种产 品共 15 吨(同一时间段内只能生产一种产品) ,且 C 种产品至少生产 5 吨,已知生产这些产品每吨所需 天数和每吨产值如下表: 产品名称 天 产值(单位:万元) 则每周最高产值是
(A) 40 问题应如何思考。 (2015 届丰台二模) 9.已知正实数 x , (B) 42.5 (C) 45 (D) 50 说明:这两个题没有本质区别,主要差一句话(且 C 种产品至少生产 5 吨),这句话意味着什么?考题希望交给学生遇到

A

B

C

1 2
4

1 3
3

1 4
2

y 满足 xy ? 3 ,则 2 x ? y 的最小值是



数列
(2015届西城二模) 6.数列 A. B.21 为等差数列,满足 D.84 ,则数列 前21 项的和等于( B)

C.42

(2015 届东城二模) (3)已知 {an } 为各项都是正数的等比数列,若 a4 ? a8

? 4 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? (B)

(A) 4

(B) 8 (C) 16

(D) 64

(2015 届昌平二模) 3. 已知等差数列

?an ? 的公差是 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则
C. ?8 D. ?10
几何证明

a1 等于

A. ? 4

B. ? 6

(2015届西城二模)12.如图,P 为

O 外一点,PA是切线, A为切点,割线PBC 与 O 于点 E .若PB =

O 相交于点B 、C ,且 PC = ;AD·DE

2PA , D 为线段 PC 的中点, AD 的延长线交

3 4

,则PA =



.答案:

3 9 , 2 8

A N

(2015 届昌平二模) 10. 如图, ⊙O 中的弦 AB 与直径 CD 相交于点 P,
M C O

P

M 为 DC 延长
D

线上一点,MN 与⊙O 相切于点 N,若 AP=8, PB=6, PD=4, MC=2,则 CP

? _______, MN ?

.

B

答案:12,6

P

(2015 届丰台二模)13.如图所示,△

ABC 内接于⊙ O , PA 是⊙ O 的切线, A BE ? PE ? 2 PD ? 4 ,则 PA ? _____, AC ? .

D C E

PB ? PA
B



O

极坐标与参数方程积分

(2015 届东城二模)

(11)若直线 ? 则a ?

? x ? ?1 ? 2t, ? x ? 4 ? a cos ?, (t 为参数 ) 与曲线 ? (? 为参数, a ? 0 ) 有且只有一个公共点, ? y ? 3 ? 2t ? y ? a sin ?
.答案:

2

(2015届丰台二模) 3.直线 面积为

y ? x ? 4 与曲线 y ? x 2 ? x ? 1 所围成的封闭图形的

(A)

22 3

(B)

28 3 34 3


(C)

32 3

(D)

原题:如图所示,直线

y ? x ? 1 与曲线 y ? x 3 ? x 2 ? x ? 1与 x 轴所围成的封闭图形的面积是

(2015 届丰台二模)10.直线 l 的斜率是 ? 1 ,且过曲线 ?

? x ? 2 ? 2cos ? , ( ? 为参数)的对称中心,则直线 ? y ? 3 ? 2sin ?

l 的方程是



(2015 届昌平二模)2. A. ?

? (2 x
0

1

3

? 1)dx等于

1 2

B.

2 3

C. 1

D. 6

(2015 届昌平二模)9.已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin ?

2 ? 2? cos ? ? 3 ? 0 ,则直线 l 的斜率是___________.答案:

排列组合二项式
(2015届西城二模)13.现有6 人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有 种.(用数字作答)答案:288

(2015 届东城二模) (9)若 为

1 ( x ? )n x

的二项展开式中各项的二项式系数的和是

64

,则

n?

,展开式中的常数项

.(用数字作答)答案:6,15

(2015 届昌平二模) 13. 某班举行联欢会由 5 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须和节目乙相邻,且节目 甲不能排在第一个和最后一个,则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.(用数字作答)答案:36

三角
(2015届西城二模)11.已知角 ? 的终边经过点(-3,4),则cos ? = ;cos 2 ? = .答案:

3 7 ? ,? 5 25
(2015届西城二模)15.(本小题满分13 分)

在锐角△ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为a,b ,c ,已知a =

7

,b =3,

7 sin B ? sin A ? 2 3
(Ⅰ) 求角A 的大小; (Ⅱ) 求△ABC 的面积.



(2015 届东城二模) (1) sin( ?

23? ) ? (C) 6
1 2
(C)

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(D)

3 2

(2015 届东城二模) (15)(本小题共 13 分)已知函数 (Ⅰ)求

sin 2 x ? 2sin 2 x f ( x) ? . sin x

f ( x) 的定义域及其最大值;(Ⅱ)求 f ( x) 在 (0, ?? 上的单调递增区间.

(2015 届昌平二模) 11. 在 ?ABC 中,若 a ? 3 , b ?

7 , ?B ?

5π ,则边 c ? __________. 6

答案:1

(2015 届昌平二模) 15. (本小题满分 13 分) 已知函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?
f ( x) 的解析式;

? , x ? R ) 的部分图象如图所示. 2
y 2

(I)求函数

(II)求函数 g ( x ) 的单调递增区间.

? f (x ?

? ? ) ? f (x ? ) 12 3

O

π 3

13π 12

x

解:(I)由题意可知,

A?2,

-2
解得 ?

3T 9 ? 2? ? ? ?, ,得 T ? ? , T ? 4 12 ? ? ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 , 3 3 2? ? ? ? ? ? ? 2k ?? k ? Z , | ? |? , 即 3 2 2 ? ? 所以 ? ? ? ,故 f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) . 6 6
(II)

?2.

……………7 分

g ( x) ? 2sin(2( x +

π π π π ) - ) - 2sin(2( x + ) - ) 12 6 3 6

π ? 2sin2 x - 2sin(2 x + ) 2 = 2sin2 x - 2cos2 x ? = 2 2 sin(2 x ? ) 4


?

?

? ? ? ? 2k ? ,k ? Z, 2 4 2 ? ?? ? ? k? ? x ? ? k ?, k ? Z. 8 8 ? 2k ? ? 2 x?

故 g ( x)的单调递增区间是

[?

? ?? ? k ?, ? k ?], k ? Z. 8 8 .

……………13 分

(2015 届丰台二模)15.(本小题共 13 分) 在△

ABC 中, A ? 30? , BC ? 2 5 ,点 D 在 AB 边上,且 ?BCD 为锐角, CD ? 2 ,△ BCD 的面积为 4.

(Ⅰ)求 cos ?BCD 的值; (Ⅱ)求边 AC 的长.

立几
(2015届西城二模) 8.在长方体 ,点M 为AB1 的中点,点P 为

对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD上的动点(点P ,Q可以重合),则MP+PQ 的最小值为( )

(2015届西城二模) 17.(本小题满分14 分) 如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 折起到△A1DE的位置,使A1D⊥DC ,如图 2. ⑴ 求证:A1E⊥平面BCDE ;⑵ 求二面角E—A1B—C的余弦值; ⑶ 判断在线段EB上是否存在一点P ,使平面A1DP⊥A1BC ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
0

, DE ? AB 于点 E

,将△ADE 沿 DE

A1 D C

E

B

C

(2015 届东城二模) (17)(本小题共 14 分) 如图,三棱柱

ABC ? DEF 的侧面 BEFC 是边长为 1 的正方形,侧面 BEFC ? 侧面

ADEB , AB ? 4 , ?DEB ? 60
(Ⅰ)求证: CE ∥平面 (Ⅱ)求证: GB

, G 是 DE 的中点.
C F

AGF ;

? 平面 BEFC ;

(Ⅲ) 在线段 BC 上是否存在一点 P , 使二面角 P ? GE ? B 为 45 , 长;若不存在,说明理由.
B E

若存在,求

BP



G A D

(2015 届昌平二模) 6 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

A.

4 3 3π ? 3 6 4 3 4 3π ? 3 3

B.

8 3 3π ? 3 3

3
1 正视图 2 2 侧视图 则其左视
3

C.

D.

4 3 ? 3?

(2015 届丰台二模) 5.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示, 图面积为 (A) 6

(B)

9 2
3 2

俯视图
3 正视图

1

(C) 3

(D)

2

2

俯视图

(2015 届丰台二模)17.(本小题共 14 分)

ABCD ? A1 B1C1 D1 AA1 ? OC ? 2OA ? 4 ,点 M 是棱 CC1 上一点.
如 图 所 示 , 在 四 棱 柱 (Ⅰ)如果过

中 ,

AA1 ?

底 面

ABCD , BD ? AC



O

, 且

A1 , B1 , O 的平面与底面 ABCD 交于直线 l ,求证: l / / AB ;

AO ? DM ; 1 (Ⅲ)设二面角 A 1 ? BD ? M 的平面角为 ? ,当
(Ⅱ)当 M 是棱 CC1 中点时,求证:

A1 B1 D1

cos ? ?

2 5 时,求 CM 25

的长.

(Ⅲ)原题:设二面角 求 CM 的长. (要舍一解)

A1 ? BD ? M

的余弦值为

2 5 , 25
A B O

C1 M D

(2015 届昌平二模) 17. (本小题满分 14 分)如图,已知等腰梯 形

C

ABCD 中, AD / / BC , AB ? AD ?

1 BC ? 2, E 是 BC 的中点, AE 2

BD ? M

,将 ?BAE 沿着

AE 翻折成

?B1 AE ,使平面 B1 AE ? 平面 AECD .
(I) 求证: CD ? 平面B 1 DM ;(II)求二面角 D ? AB1 ? E 的余弦值;

(III)在线段 B1C 上是否存在点 P,使得 MP / / 平面 B1 AD ,若存在,求出

B1 P 的值;若不存在,说明理由. B1C

17. (本小题满分 14 分) ( I ) 由题意可知四边形

ABED 是平行四边形,所以

AM ? ME

, 故

B1 M ? AE .
又因为

AB ? BE, M 为AE的中点,所以 BM ? AE ,
? AE.

即 DM

又因为AD / / BC , AD ? CE ? 2.
ADCE 是平行四边形. 所以 AE / / CD. 故 CD ? DM .
所以四边形 因为平面 B1 AE 所以 B1 M 因为 CD

? 平面 AECD ,

平面 B1 AE ? 平面

AECD ? AE , B1M ? 平面 AECD

? 平面 AECD . B1M ? AE.
所以 B1 M

? 平面 AECD ,

? CD .

因为 MD ? B1 M 所以 CD

? M , MD 、 B1 M ? 平面 B1 MD ,
……………5 分 轴,

? 平面 B1 MD .
MD


(II) 以 ME 为 x 轴,

y

MB1 为 z 轴建立空间直角坐标系,则 C (2, 3,0) , B1 (0,0, 3) , A(?1,0,0) ,

D(0, 3,0) .
z

平面

AB1 E 的法向量为 MD ? (0, 3 ,0) .
设平面

?

B1

DB1 A 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
?

?

因为
y

AB1 ? (1,0, 3 ) , AD ? (1, 3,0) ,

?

A M

D E x

? ? x ? 3z ? 0 ? ? ?x ? 3 y ? 0
m ? (? 3 ,1,1) .
?

,



z ?1



,

C

所以 cos ?

m, MD ??

?

?

5 , 5

因为二面角 D ?

AB1 ? E 为锐角,

所以二面角 D ?

AB1 ? E 的余弦值为

5 . 5
……………11 分

……………10 分

(III) 存在点 P,使得 MP / / 平面 B1 AD .

法一: 取线段 B1C 中点 P, B1D 中点 Q,连结 MP, PQ, AQ . 则 PQ //CD ,且 PQ = 又因为四边形 因为 M 为 所以四边形

1 CD . 2

AECD 是平行四边形,所以 AE //CD .

AE 的中点,则 AM //PQ .

AMPQ 是平行四边形,则 MP // AQ .

又因为 AQ ? 平面 AB1 D ,所以 MP // 平面 AB1 D .

所以在线段 B1C 上存在点 P ,使得 MP // 平面 B1 AD ,

B1 P 1 ? . B1C 2

……………14 分

法二:设在线段 B1C 上存在点 P ,使得 MP // 平面 B1 AD , 设 B1 P ? ? B1C ,( 0 所以 MP ? (2?,

? ? ? 1 ), C (2, 3, 0) ,因为 MP ? MB1 ? B1P .

3?, 3 ? 3? ) .

因为 MP // 平面 B1 AD , 所以 MP ? m ? 0 , 所以 ? 2

3? ? 3? ? 3 ? 3? ? 0 ,

解得 ?

?

1 , 2

又因为 MP ? 平面 B1 AD ,

所以在线段 B1C 上存在点 P ,使得 MP // 平面 B1 AD ,

B1 P 1 ? .……………14 分 B1C 2

概率
(2015届西城二模)16.(本小题满分13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量(单位:台),并根据这 10 个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”. (Ⅰ)当a = b = 3时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ,乙型号电视机的“星级 卖场”数量为n ,比较m , n 的大小关系; (Ⅱ)在这10 个卖场中,随机选取2 个卖场,记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场” 的个数,求X 的分布列和数学期望. (Ⅲ)若a =1,记乙型号电视机销售量的方差为s2,根据茎叶图推断b为何值时,s2达 到最小值.(只需写出结论)

(2015 届东城二模) (4)甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成 绩的平均数, s1 , s2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩的标准差,则有(B) (A) x1 (B) x1 (C) x1 (D) x1

? x2 , s1 ? s2 ? x2 , s1 ? s2 ? x2 , s1 ? s2 ? x2 , s1 ? s2
6 2 8 4 95 1 5 甲 7 8 8 9 7 3 7 3 2 5 5 乙

(2015 届东城二模) (16)(本小题共 13 分) 某校高一年级开设

A , B , C , D , E 五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选 A 课程,

不选 B 课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程. (Ⅰ)求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率;(Ⅱ)用

X

表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和,求

X

的分布列和数学期望.

(2015 届昌平二模) 5. 在篮球比赛中,某篮球队队员投进三分球的个数如表所示: 队员 i 三分 球个数 a i 右图是统计上述 6 名队员在比赛中投进的三分球 总数 s 的程序框图,则图中的判断框内应填入的条件是 1 2 3 4 5 6 开始

a1

a2

a3

a4

a5

a6

输入a1 , a2 ,

a6

s ? 0, i ? 1
i ? i ?1


A. i ? 6

B. i ? 7

C. i ? 8

D. i ? 9

(2015 届丰台二模) 16.(本小题共 13 分)

s ? s ? ai

否 长时间用手机上网严重影响着学生的健康,某校为了解 A,B 两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取 6 名同学进行调查,将他们平均每周手机上网时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个 输出 s 位数字).如果学生平均每周手机上网的时长超过 21 小时,则称为“过度用网”. (Ⅰ)请根据样本数据,估计 A,B 两班的学生平均每周上网时长的平 (Ⅱ)从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,求恰有 1 个数据为 网”的概率; (Ⅲ)从 A 班、B 班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据,记“过度用 人数为 ? ,写出 ? 的分布列和数学期望 E? . 3 4 结束 A班 9 1 0 7 0 1 2 3 1 1 6 2 5 7 网”的学生 均值; B班 “过度用

(2015 届昌平二模) 16. (本小题满分 13 分) 某大学志愿者协会有 10 名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚,只知道从这 10 名同学中随机抽取一位, 抽到该名同学为“数学 专业 ”的概率为 .. .. 专 业 性别 男 女 中文 英语 数学 体育

2 5

.

n
1

1 1

m
1

1 1

现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同).

(I) 求 m, n 的值;(II)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生 的概率;(III)设 ? 为选出的 3 名同学中“女生 .. .. 或数学专业 ”的学生的人数,求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . ..... 解:(I)设事件

A :从 10 位学生中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”.

由题意可知,“数学专业”的学生共有 (1 ? m) 人. 则 P ( A) 解得

?

1? m 2 ? . 10 5

m ?3. ? 1.
…………… 4 分

所以 n

(II)设事件 B :从这 10 名同学中随机选取 3 名同学为专业互不相同的男生.
1 2 C3 C3 ? 1 1 则 P( B) ? ? . 3 12 C10

……………7 分

(III)由题意, ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3 . 由题意可知,“女生或数学专业”的学生共有 7 人. 所以 P(?

? 0) ?

3 C3 1 , ? 3 C10 120

1 2 C7 C 21 7 , P(? ? 1) ? 3 3 ? ? 120 40 C10

P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?
所以 ? 的分布列为

2 1 C7 C3 63 21 , ? ? 3 120 40 C10 3 C7 35 7 . ? ? 3 C10 120 24

?
X

0

1

2

3





P

P

1 120

7 40

21 40

7 24

E? ? 0 ?

1 7 21 7 21 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 120 40 40 24 10

……………13 分

导数
(2015届西城二模)18.(本小题满分13 分)已知函数则

f ( x) ?

1 ? x ,其中a ? 1 ? ax 2

R .

⑴ 当a

??

1 时,求 4

f (x)的单调区间;

⑵ 当a> 0时,证明:存在实数m > 0,使得对于任意的实数x,都有| f (x)|≤m成立.

(2015 届东城二模)(18)(本小题共 13 分) 已知函数

f ( x) ? x ? a ? e? x .
2

(Ⅰ)当 a ? e 时,求

f ( x) 在区间 [1,3] 上的最小值;

(Ⅱ)求证:存在实数 x0 ? [?3,3] ,有

f ( x0 ) ? a .

(2015 届昌平二模) 18.(本小题满分 13 分)已知函数 (I)若函数

f ( x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R.

f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; f ( x) 的单调区间;

(II) 在(I)的条件下,求函数

(III) 若 x ? 1时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 13 分) 解:(I)

f ( x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R. 定义域为 (0, ??)

1 f ' ( x) ? 2 x ? a ? , a ? R. x
依题意, 所以 (II) a

f ' (1) ? 0 .
……………4 分

f ' (1) ? 3 ? a ? 0 ,解得 a ? 3

? 3 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? 3x ,定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ?
当0 当

1 1 ? 2 x 2 ? 3x ? 2x ? 3 ? x x
1 或 x ? 1 时, f ?( x ) ? 0 , 2

?x?

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 2 1 1 故 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) .----8 分 2 2
(III)解法一:由

f ( x) ? 0 ,得 a ?

ln x ? x 2 x

在x

? 1 时恒成立,

ln x ? x 2 令 g ( x) ? x
令 h( x) ? 1 ? x
2

,则 g ?( x) ?

1 ? x 2 ? ln x x2

? ln x ,则 h?( x) ? 2 x ?

1 2 x2 ?1 ? ?0 x x

所以h( x) 在 (1, ??) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 2 ? 0 .
故 g ?( x) 所以

? 0 ,故 g ( x) 在 (1, ??) 为增函数. g ( x) ? g (1) ? 1 ,
……………13 分

a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 (??,1] .

解法二:

f ?( x) ?

1 1 ? 2 x 2 ? ax ? 2x ? a ? x x

令 g ( x) ? 2 x (i)当 ?

2

? ax ? 1,则 ? ? a 2 ? 8 ,

? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立,

因为x ? 1, 所以f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,
f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? (?2 2,1] ;
(ii)当 ?

? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立,

因为x ? 1, 所以f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,
f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? ?2 2 ;
(iii)当 ?

? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时,

方程 g ( x) ? 0 有两个实数根 x1 若 a ? ?2 当x

?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 4 4

2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 ,

? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,



f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? ?2 2 ;

若a

? 2 2 , g ( x) ? 0 的两个根 0 ? x1 ? x2 ,

因为f ( x) ? 1 ? a ? 0 ,且 f ( x) 在 (1, ??) 是连续不断的函数
所以总存在 x0

? 1 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,不满足题意.
……………13 分

综上,实数 a 的取值范围为 ( ??,1] .

解析
(2015届西城二模)10.双曲线C : 的离心率为 ;渐近线的方程为 .

答案:

6 2 ,y ?? x 2 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点A a 2 b2


(2015届西城二模)19.(本小题满分14 分)设F1、F2分别为椭圆E: 椭圆E 的左顶点,点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB|=2.

⑴ 若椭圆 E 的离心率为

6 2

,求椭圆 E 的方程;⑵ 设 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,直线

与 y 轴相交

于点 Q ,若以 PQ 为直径的圆经过点 F1,证明:|OP|>则

2

(2015 届东城二模)

x2 y 2 2 (12) 若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 截抛物线 y ? 4 x 的准线所得线段长为 b , 则a ? a b
(2015 届东城二模) (19)(本小题共 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 上的点到两个焦点的距离之和为 4 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 于点 M ,与

. 答案:

2 5 5

3 2

,且椭圆 C

A 为椭圆 C 的左顶点,过点 A 的直线 l 与椭圆交

y 轴交于点 N

,过原点与 l 平行的直线与椭圆交于点 P .证明: |

AM | ? | AN |? 2 | OP |2 .

(2015 届丰台二模)19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦距为 2 ,其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点. a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

? 4 与 x 轴交于点 N, PM ? l 于点 M ( M , N 不重合),试问在 x 轴上 是否存在定点 T ,使得 ?PTN 的平分线过 PM 中点,如果存在,求定点 T 的坐标;如果不存在,说明理由.
(Ⅱ)动点 P 在椭圆 C 上,直线 l : x (2015 届昌平二模) 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点 F ( 2,0) ,点 D( 2,1) 在椭圆上. a 2 b2

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II) 已知直线 l

: y ? kx 与椭圆 C 交于 A, B 两点, P 为椭圆 C 上异于 A, B 的动点.
?? 1 ; 2
与椭圆 C 相交

(i)若直线 PA, PB 的斜率都存在,证明: k PA ? k PB (ii) 若 k ? 0 ,直线 PA, PB 分别与直线 x 于点 Q (异于点 B ), 求证:

? 3 相交于点 M , N ,直线 BM
三点共线.

A ,Q , N

解:(Ⅰ)依题意,椭圆的焦点为 F 1 (?

2,0), F2 ( 2,0) ,则 | DF1 | ? | DF2 |? 2a ,

解得

?

a?2 2 2 2 ,所以 b ? a ? c ? 2 . c? 2

故椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

……………5 分

(Ⅱ)(i)证明:设 P( x0 , y0 ), A( x1 , y1 ), B(? x1 , ? y1 ) ,则
2 2 x0 ? x12 y0 ? y12 ? ? 0. 两式作差得 4 2

2 x2 y 2 x0 y2 ? 0 ? 1, 1 ? 1 ? 1. 4 2 4 2

因为直线 PA, PB 的斜率都存在,所以 x0

2

? x12 ? 0 .

所以

2 y0 ? y12 y ?y y ?y 1 1 ? ? ,即 0 1 ? 0 1 ? ? . 2 2 x0 ? x1 x0 ? x1 2 2 x0 ? x1

所以,当 PA, PB 的斜率都存在时, k PA ? k PB (ii) 证明: k ? 0 时,

??

1 2

.

……………9 分

P( x0 , y0 ), A(?2,0), B(2,0) .
1 , 2n

设 PA 的斜率为 n ,则 PB 的斜率为 ? 直线 PA : 直线 PB :

y ? n( x ? 2) , M (3,5n) ,

y??

1 1 ( x ? 2) , N (3, ? ) , 2n 2n 1 ( x ? 2) , 10n

所以直线 BM

: y ? 5n( x ? 2) ,直线 AN : y ? ?

2(50n 2 ? 1) ?20n , ). 联立,可得交点 Q( 50n 2 ? 1 50n 2 ? 1
因为 [

2(50n2 ? 1) 2 ?20n 2 ] ? 2( ) ? 4, 2 50n ? 1 50n 2 ? 1 2(50n 2 ? 1) ?20n x2 y 2 , ) ? ? 1 上. 在椭圆 4 2 50n 2 ? 1 50n 2 ? 1
A ,Q , N
三点共线. ……………14 分

所以点 Q(

即直线 MB 与直线 NA 的交点 Q 在椭圆上,即


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