nbhkdz.com冰点文库

2015-2016学年高中数学 章末综合能力测试3 新人教A版必修5

时间:2016-01-22


章末综合能力测试
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 2 1.不等式 9x +6x+1≤0 的解集是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1 ? ? B.?x?- ≤x≤ ? A.?x?x≠- 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.?
? 1? D.?- ? ? 3?

1 2 2 解析:由 9x +6x+1≤0,得(3x+1) ≤0,可求得其解为 x=- . 3 答案:D 2.已知正三角形 ABC 的两个顶点 A(1,1),B(1,3),且顶点 C 在第一象限,若点(x,y) 在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( ) A.(1- 3,2) B.(0,2) C.( 3-1,2) D.(0,1+ 3) 解析:利用线性规划知识,求解目标函数的取值范围.如下图.根据题意得 C(1+ 3, 2).作直线-x+y=0,并平移,过点 B(1,3)和 C(1+ 3,2)时,z=-x+y 分别取最大值和 最小值,则-(1+ 3)+2<z<-1+3,∴z=-x+y 的取值范围是(1- 3,2).

答案:A 3.某工厂第一年年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平均 增长率为 x,则( ) a+b a+b A.x= B.x≤ 2 2 a+b a+b C.x> D.x≥ 2 2 2 解析:由题意应有,A(1+x) =A(1+a)(1+b), 2+a+b ∴1+x= ?1+a??1+b?≤ , 2 a+b ∴x≤ ,故选 B. 2 答案:B 2 ?a+b? 4.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 的最

cd

小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ?a+b? ?x+y? ?2 xy? 解析:a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则 = ≥ =4,当且
2 2 2

cd

xy

xy

仅当 x=y 时取等号.
-1-

答案:D 5.已知关于 x 的不等式

x+1 <2 的解集为 P.若 1?P,则实数 a 的取值范围为( x+a

)

A.(-∞,0]∪[1,+∞) B.[-1,0] C.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.(-1,0] x+1 解析:∵不等式 <2 的解集为 P,且 1?P, x+a 1+1 2a ∴ ≥2,即 ≤0,∴-1<a≤0. 1+a a+1 答案:D 6.已知 x>1,y>1,且 xy=16,则 log2x·log2y( ) A.有最大值 2 B.等于 4 C.有最小值 3 D.有最大值 4 解析:∵x>1,y>1,且 xy=16,∴log2x>0,log2y>0 且 log2x+log2y=log216=4. ?log2x+log2y?2=4(当且仅当 x=y=4 时取等号). ∴log2x·log2y≤? ? 2 ? ? 答案:D

7.如图,某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车的运营 总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N)为二次函数关系.若使营运的年平均利润最大, 则每辆客车应营运( ) A.3 年 B.4 年 C.5 年 D.6 年 2 解析: 由图象知抛物线顶点坐标为(6,11), 且过点(4,7). 设 y=a(x-6) +11, 将点(4,7) 代入,得 2 7=a(4-6) +11,∴a=-1. 2 2 ∴y=-(x-6) +11=-x +12x-25. y 25 ? 25? ∴年平均利润为 =-x- +12=12-?x+ ?.

x

x

?

x?

25 25 ? ? ∵x+ ≥10?当且仅当x= ,即x=5时,取等号?,

x

?

x

?

∴当 x=5 时, 有最大值 2.故选 C. 答案:C

y x

? 1? 2 8.若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈?0, ?成立,则 a 的最小值为( ? 2? A.0 B.-2 5 C.- D.-3 2 ? 1? 2 解析:∵不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈?0, ?成立, ? 2? x2+1 ? 1? 2 ∴对一切 x∈?0, ?,ax≥-x -1,即 a≥- 成立. x ? 2?

)

-2-

令 g(x)=-

x2+1 ? 1? =-?x+ ?. x ? x?

? 1? ? 1? 易知 g(x)=-?x+ ?在?0, ?内为增函数. ? x? ? 2? 1 5 ∴当 x= 时,g(x)max=- . 2 2 5 5 ∴a 的取值范围是 a≥- ,即 a 的最小值是- . 2 2 故选 C. 答案:C 2 9.已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix) <1(i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是( ? 1? ? 2? A.?0, ? B.?0, ? ? a1? ? a1? ? 1? ? 2? C.?0, ? D.?0, ? ? a3? ? a3?
?1-a1x? <1, ? ? 2 ??1-a2x? <1 ? ??1-a3x?2<1
2

)

解 析: “求 (1 - aix) <1(i = 1,2,3) 都 成立的 x 的 取值 范围 ”实 质上 是求 不等 式组 的解集, 由于这几个不等式结构一样, 则其中解集“最小”的一个不等
2 2 2

2

式的解集即是不等式组的解集.(1-aix) <1 即 aix -2aix<0,aix(aix-2)<0. ? 2? ∵ai>0,∴这个不等式可化为 x?x- ?<0,

?

ai?

2 2 ∴0<x< .若 取最小值,则 ai 应取最大值,

ai

ai

2 因此 0<x< ,故选 B.

a1

答案:B 10.已知 log2(x+y)=log2x+log2y,则 x+y 的取值范围是( A.(0,1] B.[2,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞) 解析:由题设,得 log2(x+y)=log2(xy), ∴x+y=xy,且 x>0,y>0,∴y= ∴x>1.∴x+y=x+ 当且仅当 x-1= 1

)

x >0, x-1

x 1 =x-1+ +2≥4, x-1 x-1
,即 x=2(负值舍去)时等号成立.即 x+y∈[4,+∞).

x-1

答案:D 11.某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分 别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( ) A.31 200 元 B.36 000 元 C.36 800 元 D.38 400 元 解析:设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,目标函数为 z=1 600x+2 400y,则约束条件为

-3-

36x+60y≥900, ? ?x+y≤21, ?y-x≤7, ? ?x,y∈N, 作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点 P(5,12)时,有最小值 zmin=36 800(元).

答案:C 8 (m>0),l1 与函数 y=|log2x|的图象从左至右 2m+1 相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上 12.已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y= 的投影长度分别为 a,b.当 m 变化时, 的最小值为( A.16 2 B.8 2

b a

)

3 3 C.8 4 D.4 4 解析:在平面直角坐标系下作出函数 y=|log2x|的图象如图所示,不妨设点 A(x1,m), 8 ? ? 8 ? ? B(x2,m),C?x3, ,D?x4, ,则 0<x1<1<x2,0<x3<1<x4,此时有:-log2x1=m,log2x2 ? 2m+1? ? 2m+1? ? ? 8 8 ?1?m ?1? m =m,-log2x3= ,log2x4= ,得 x1=? ? ,x2=2 ,x3=? ? 2 m ?1 ,x4=2 2 m ?1 ,线段 2 2m+1 2m+1 ? ? ?2?
8 8

AC 与 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a=|x1-x3|=

,b=

|x2 - x4| = |2 - 2

m

8 2 m ?1

b | ,则 = a

=2

m+

8 2 m ?1

,令 t = m +

8 4 4 1 1 7 3 ? 1? ? 1?2 (m>0),则 t=m+ =?m+ ?+ - ≥4- = ,当且仅当?m+ ? =4,即 m= 时, 2? 2 2m+1 1 ? 1 2 2 2 2 ? ? m+ m+ 2 2 7 b t 取最小值为 ,此时 的最小值为 8 2. 2 a

答案:B 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13.若函数 f(x)=(2-a )x+a 在区间[0,1]上恒为正,则实数 a 的取值范围是________.
-4-

解析:当 2-a =0 时,a=± 2. 由题意知 a= 2时符合题意. 2 当 2-a ≠0,即 a≠± 2时,f(x)是一次函数,在[0,1]上是单调的, ? ? ?f?0?>0, ?a>0, ∴? 即? 2 ?f?1?>0, ?-a +a+2>0. ? ? 解得 0<a<2 且 a≠± 2.综上可知 0<a<2. 答案:(0,2) 14.在 R 上定义运算?,a?b=ab+2a+b,则满足 x?(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为 ________. 2 2 解析:∵x?(x-2)=x·(x-2)+2x+x-2=x +x-2,∴x?(x-2)<0,即 x +x-2<0, 即(x+2)(x-1)<0,∴实数 x 的取值范围为-2<x<1. 答案:(-2,1) 2 15.实系数一元二次方程 x +ax+2b=0 有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在 b-2 区间(1,2)内,则 的取值范围为________. a-1 2 解析:设 f(x)=x +ax+2b,由题意可知 f(x)的图象如图 1 所示,

2

f?0?>0, ? ? 则有?f?1?<0, ? ?f?2?>0

b>0, ? ? ??a+2b+1<0, ? ?a+b+2>0.

图1

图2

点(a, b)对应区域如图 2 所示阴影部分(不含边界), 其中 A(-3,1), B(-2,0), C(-1,0), b-2 的几何意义是点(a,b)和点 D(1,2)连线的斜率. a-1 2-1 1 2-0 ∵kAD= = ,kCD= =1, 1+3 4 1+1 b-2 1 b-2 b-2 ?1 ? 由图可知 kAD< <kCD,∴ < <1,即 ∈? ,1?. a-1 4 a-1 a-1 ?4 ? ?1 ? 答案:? ,1? ?4 ?

-5-

3x-y-6≤0, ? ? 16.设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0, 1 2 值为 6,则 + 的最小值为________.

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大

a b

解析:作出可行域如图所示的阴影部分,平移直线 l:ax+by=0,由于 a>0,b>0,∴直 线 l 的斜率为- <0,∴当直线 l 经过点 A 时,z=ax+by 取得最大值 6.

a b

?3x-y-6=0, ? 由? ? ?x-y+2=0,

解得?

?x=4, ? ? ?y=6,

∴A(4,6).

2 ∴4a+6b=6.∴ a+b=1 且 a>0,b>0. 3 1 2 ?1 2??2 ? 8 b 4a 8 ∴ + =? + ?? a+b?= + + ≥ +2 a b ?a b??3 ? 3 a 3b 3 3 b 时取等号) 2

b 4a 8+4 3 b 4a × = .(当且仅当 = ,即 a= a 3b 3 a 3b

8+4 3 答案: 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) x4+3x2+3 求函数 y= 的最小值. x2+1 2 2 解析:令 t=x +1,则 t≥1,且 x =t-1. x4+3x2+3 ?t-1?2+3?t-1?+3 t2+t+1 1 ∴y= = = =t+ +1. 2 x +1 t t t 1 ∵t≥1,∴t+ ≥2

t

t· =2,当且仅当 t= ,即 t=1 时,等号成立. t t

1

1

? 1? ∴当 t=1 时,?t+ ?min=2, ?
t?
1 此时 x=0,ymin=t+ +1=3.

t 故当 x=0 时,函数 y 取最小值,ymin=3.
18.(本小题满分 12 分) 2 已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,使不等式 x +mx+4>2m +4x 恒成立,求 x 的取值范围.

-6-

?1 ? 2 解析: ∵t∈[ 2, 8], f(t)∈? ,3?.对于 f(t)值域内的所有实数 m, 不等式 x +mx+4>2m ?2 ? 2 +4x 恒成立,即 m(x-2)+(x-2) >0 恒成立. 当 x=2 时,不等式不成立,∴x≠2. 2 令 g(m)=m(x-2)+(x-2) ,为 m 的一次函数.
1? ? ?g? ?2?>0, 1 ? 1 ? ? ? m∈? ,3?,问题转化为 g(m)在 m∈? ,3?上恒大于 0,则? ? ? ?2 ? ?2 ? ? ?g?3?>0, 解得 x>2 或

x<-1.
19.(本小题满分 12 分) 2 已知函数 f(x)=ax -(2a+1)x+a+1. (1)若 a=2,解关于 x 的不等式 f(x)≥0; (2)若对于 a∈[-2,2],f(x)<0 恒成立,求实数 x 的取值范围. 2 解析:(1)若 a=2,则不等式 f(x)≥0 化为 2x -5x+3≥0, ? ? ? ? ? 3 ∴不等式 f(x)≥0 的解集为?x?x≥ 或x≤1 ?. 2 ? ? ? ? ? (2)∵ax -(2a+1)x+a+1=a(x-1) -(x-1), 2 2 令 g(a)=a(x-1) -(x-1), 则 g(a)是关于 a 的一次函数, 且一次项的系数为(x-1) ≥0, ∴当 x-1=0 时,f(x)=0 不合题意; 当 x≠1 时,g(a)为[-2,2]上的增函数. ∵f(x)<0 恒成立, ∴只要使 g(a)的最大值 g(2)<0 即可, 3 2 即 g(2)=2(x-1) -(x-1)<0,解得 1<x< . 2 ? 3? 综上,x 的取值范围是?1, ?. ? 2? 20.(本小题满分 12 分) 某投资公司计划投资 A,B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润 y1 与投资 180 x 金额 x 的函数关系为 y1=18- ,B 产品的利润 y2 与投资金额 x 的函数关系为 y2= (注: x+10 5 利润与投资金额单位:万元). (1)该公司已有 100 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品,其中 x 万元资金投入 A 产品, 试把 A,B 两种产品利润总和表示为 x 的函数,并写出定义域; (2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这 100 万元资金,才能使公司获得最大利润?其最 大利润为多少万元? 解析:(1)若 x 万元资金投入 A 产品,则剩余的(100-x)万元资金投入 B 产品,利润总和 180 100-x 180 x f(x)=18- + =38- - ,x∈[0,100]. x+10 5 x+10 5 ? 180 +x+10?,x∈[0,100], (2)∵f(x)=40-? 5 ? ?x+10 ? 180 x+10 ∴f(x)≤40-2 36=28,当且仅当 = 时取等号,即 x=20. x+10 5 故分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A,B 两种金融产品,可以使公司获得最大利润,最 大利润为 28 万元. 21.(本小题满分 12 分) 1 2 已知函数 f(x)=ax +bx+c 满足 f(-1)=0, 是否存在常数 a, b, c 使不等式 x≤f(x)≤ 2 2 (x +1)对一切实数 x 都成立. 解析:由 f(-1)=0,得 a-b+c=0. ①
-72 2

1 2 又对 x∈R,不等式 x≤f(x)≤ (x +1)成立,取 x=1, 2 有 1≤f(1)≤1, ∴f(1)=1,故 a+b+c=1. ② 1 1 由①②可得 b= ,c= -a, 2 2 1 2 将其代入 x≤f(x)≤ (x +1), 2 1 1 1 2 2 得 x≤ax + x+ -a≤ (x +1)对 x∈R 恒成立, 2 2 2 1 1 ax - x+ -a≥0, ? ? 2 2 即? ?a-1?x +1x-a≤0 ? ? ?? 2 ? 2?
2 2

③ 对 x∈R 恒成立. ④

由③得?

? ?a>0, ?Δ ≤0 ?

1 ? a= . 4 1 ? a= . 4

1 ? ?a- <0, 由④得? 2 ? ?Δ ≤0

1 1 1 综合可知,存在常数 a= ,b= ,c= 满足题意. 4 2 4 22.(本小题满分 12 分) 4 是否存在实数 k,使得关于 x 的不等式 4 3-kx- ≤0 在 x>0 时恒成立?若存在,求出 k

x

的取值范围;若不存在,请说明理由. 4 4 4 解析:存在.将不等式 4 3-kx- ≤0 变形,即- ≤kx-4 3(x>0).可设 f1(x)=- ,

x

x

x

f2(x)=kx-4 3. 故 f2(x)中参数 k 的几何意义是直线 y=kx-4 3的斜率.
4 4 由下图知当直线 y=kx-4 3与曲线 y=- 相切时,关于 x 的方程- =kx-4 3有唯一

x

x

大于 0 的解,将方程整理成关于 x 的一元二次方程 kx -4 3x+4=0.

2

由 Δ =(-4 3) -4×4×k=0,可得 k=3. 又直线 y=kx-4 3过定点(0,-4 3),故要使 f1(x)≤f2(x)(x>0)恒成立,只需 k≥3 即 可. 综上,存在实数 k∈[3,+∞)使不等式恒成立.

2

-8-


2015-2016学年高中数学 本册综合能力测试 新人教A版必修4

2015-2016学年高中数学 本册综合能力测试 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育...3,-4? 3 →→→ 因为AB=(3,-4),|AB|=5,所以与向量AB同向的单位向量...

2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人...

2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人教A版必修5_数学_高中...b= 3,c=3,B=30°,则 a 的值为( A. 3 C. 3或 2 3 [答案] C ...

2015-2016学年高中数学 第1次月考综合能力测试 新人教A...

2015-2016学年高中数学 第1次月考综合能力测试 新人教A版必修4_数学_高中教育...3.若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180°,且|b|=3 5,则 b ...

2015-2016学年高中数学 第2次月考综合能力测试 新人教A...

2015-2016学年高中数学 第2次月考综合能力测试 新人教A版必修4_数学_高中教育...(a-b)=a -b 2 2 1 5 C. 3 [答案] A 3 D. 2 3 [解析] 因为 ...

2015-2016学年高中数学 1.1第3课时 正、余弦定理的综合...

2015-2016学年高中数学 1.1第3课时 正、余弦定理的综合应用练习 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 1.1 第 3 课时 正、余弦...

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 综合测...

【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 综合测试新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。必修 5 综合测试 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择...

2015-2016学年高中数学 3.3第3课时 线性规划的应用练习...

2015-2016学年高中数学 3.33课时 线性规划的应用练习 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 3.33 课时 线性规划的应用...

2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数单元综合测试 ...

2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数单元综合测试 新人教A版必修4_数学_...? 12 ? ? 12 1 2 5 解析:由图形可得 T= π-π, 4 3 12 3 ?5 ?...

2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末过关检...

2015-2016学年高中数学三章 三角恒等变换章末过关检测卷 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。章末过关检测卷(三) 第三章 三角恒等变换 (测试时间:120...

2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量单元综合测试 ...

2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量单元综合测试 新人教A版必修4_数学_...OB=(1,1)?(3,1)=3+1=4. 答案:A →→→ 5.在四边形 ABCD 中,AB=...