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江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:导数及其应用

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江苏省 12 市 2015 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 导数及其应用
一、填空题
?p p ? 1、 (常州市 2015 届高三)曲线 y ? x ? cos x 在点 ? , ? 处的切线方程为 ▲ ?2 2?

二、解答题 1、 (常州市 2015 届高三)已知 a,b 为实数,函数 f ( x) ?

1

? b ,函数 g ( x) ? ln x . x?a

(1)当 a ? b ? 0 时,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值; (2)当 a ? ?1 时,令 G ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,是否存在实数 b ,使得对于函数 y ? G( x) 定义域中的任意实数 x1 ,均存在实数 x2 ? [1, ??) ,有 G( x1 ) ? x2 ? 0 成立,若存在, 求出实数 b 的取值集合;若不存在,请说明理由. 2、 (连云港、 徐州、 淮安、 宿迁四市 2015 届高三) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值; (3)若 a ? ?2 , x1 , x 2 是两个不相等的正数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1x2 ? 0 , 求证: x1 ? x2 ≥

1 2 ax ? x ,a ? R . 2

5 ?1 . 2

3、 (南京市、盐城市 2015 届高三)已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? mx ? n . (1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ① 若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值; ② 当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围; (2)设函数 r ( x) ?

1 nx ? ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . f ( x) g ( x)

4、 (南通市 2015 届高三)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函 数 y ? f ( x) 的极值点. 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ln x ?1(a ? R).
3

?1? 当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; ? 2 ? 若 f ( x) 在区间 (e, e ) 上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围.
1

5、 (苏州市 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? e x ? a( x ? 1) ,其中 a ? R, e 为自然对数 底数. (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性,并写出相应的单调区间; (3)已知 b ? R ,若函数 f ( x) ? b 对任意 x ? R 都成立,求 ab 的最大值.

6、 (泰州市 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 , g ( x) ? ax ? b . x

(1)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2) 若直线 g ( x) ? ax ? b 是函数 f ( x) ? ln x ?

1 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x
2

(3)当 b ? 0 时,若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,求证: x1 x2 ? 2e . (取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )

7、 (无锡市 2015 届高三上期末)设函数 f (x) = x 2 ln x- ax 2+ b 在点 x 0, f (x 0 ) 处的切 线方程为 y = - x + b . (1)求实数 a 及 x0 的值; (2)求证:对任意实数 ,函数 f (x ) 有且仅有两个零点.
x 2

(

)

8、 (扬州市 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? ax ? bx ? c 。 (1)若 f(x)的图象与 g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上,且在该点处两 条曲线的切线互相垂直,求 b 和 c 的值。 (2)若 a=c=1,b=0,试比较 f(x)与 g(x)的大小,并说明理由; (3)若 b=c=0,证明:对任意给定的正数 a,总存在正数 m,使得当 x ? (m, ??) 时, 恒有 f(x)>g(x)成立。

9、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)如图,有一个长方形地块 ABCD ,边 AB 为 2 km , AD 为 4 km .地块的一角是草坪(图中阴影部分) ,其边缘线 AC 是以直线 AD 为 对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔 离带 EF , E , F 分别在边 AB , BC 上(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略不计) , 将隔离出的△BEF 作为健身场所.设点 P 到边 AD 的距离为 t (单位: km ) ,△BEF 的面积 2 为 S (单位: km ) . (1)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P ,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3 km 2 ?并说明理由. D C F

P

A

E
(第 17 题)

B

参考答案
一、填空题 1、 2x ? y ? 二、解答题 1、解: (1) F ( x) ?

p ?0 2 1 ? ln x , x
………………………1 分

F ?( x) ?
列表:

x ?1 ,令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x2

x

(0,1)

1

(1, ??)

F ?( x ) F ( x)

?

0 极小值

+ ↗ ………………………4 分



所以 F ( x) 的极小值为 F (1) ? 1 ,无极大值. (2)当 a ? ?1 时,假设存在实数 b 满足条件,则 G( x) ? ( 上恒成立. 1)当 x ? (0,1) 时, G( x) ? (

1 ? b)ln x ≥1 在 x ? (0,1) x ?1

(1, ??)

………………………5 分

1 ? b)ln x ≥1 可化为 (bx ? 1 ? b) ln x ? x ? 1 ≤ 0 , x ?1

令 H ( x) ? (bx ? 1 ? b) ln x ? x ? 1, x ? (0,1) , 问题转化为:H ( x) ≤ 0 对任意 x ? (0,1) 恒成立; (*) 则 H (1) ? 0 , H ?( x) ? b ln x ? 令 Q( x) ? b ln x ? ①b≤

1? b ? b ? 1 , H ?(1) ? 0 . x

1? b b( x ? 1) ? 1 . ? b ? 1 ,则 Q?( x) ? x x2

1 1 1 时,因为 b( x ? 1) ? 1 ≤ ( x ? 1) ? 1 ? ? 2 ? 1 ? 0 , 2 2 2

故 Q?( x) ? 0 ,所以函数 y ? Q( x) 在 x ? (0,1) 时单调递减, Q( x) ? Q(1) ? 0 , 即 H ?( x) ? 0 ,从而函数 y ? H ( x) 在 x ? (0,1) 时单调递增,故 H ( x) ? H (1) ? 0 ,所以(*) 成立,满足题意;
b( x ? 1) ? 1 1 ? ②当 b ? 时, Q?( x) ? x2 2 1 b[ x ? ( ? 1)] b , x2

………………………7 分

因为 b ?

1 1 1 1 ,所以 ? 1 ? 1,记 I ? ,则当 x ? I 时, x ? ( ? 1) ? 0 , ( ? 11 , )(0,1 ) 2 b b b

故 Q?( x) ? 0 ,所以函数 y ? Q( x) 在 x ? I 时单调递增, Q( x) ? Q(1) ? 0 , 即 H ?( x) ? 0 ,从而函数 y ? H ( x) 在 x ? I 时单调递减,所以 H ( x) ? H (1) ? 0 ,此时(*) 不成立; 所以当 x ? (0,1) , G( x) ? (

1 1 ? b)ln x ≥1 恒成立时, b ≤ ; x ?1 2

………………9 分

2)当 x ? (1, ??) 时, G( x) ? (

1 ? b)ln x ≥1 可化为 (bx ? 1 ? b) ln x ? x ? 1≥ 0 , x ?1

令 H ( x) ? (bx ? 1 ? b) ln x ? x ? 1, x ? (1, ??) , 问题转化为:H ( x) ≥ 0 对任意的 x ? (1, ??) 恒 成立; (**) 则 H (1) ? 0 , H ?( x) ? b ln x ? 令 Q( x) ? b ln x ?

1? b ? b ? 1 , H ?(1) ? 0 . x

1? b b( x ? 1) ? 1 . ? b ? 1 ,则 Q?( x) ? x x2

1 1 ① b ≥ 时, b( x ? 1) ? 1 ? 2b ? 1≥ ? 2 ? 1 ? 0 , 2 2
故 Q?( x) ? 0 ,所以函数 y ? Q( x) 在 x ? (1, ??) 时单调递增, Q( x) ? Q(1) ? 0 , 即 H ?( x) ? 0 , 从而函数 y ? H ( x) 在 x ? (1, ??) 时单调递增, 所以 H ( x) ? H (1) ? 0 , 此时 (**) 成立;11 分 ②当 b ?

1 时, 2

ⅰ ) 若 b ≤ 0 , 必 有 Q?( x ) ? 0, 故 函 数 y ? Q( x) 在 x ? (1, ??) 上 单 调 递 减 , 所 以
Q( x) ? Q(1) ? 0 , 即 H ?( x )? 0, 从 而 函 数 y ? H ( x) 在 x ? (1, ??) 时 单 调 递 减 , 所 以 H ( x) ? H (1) ? 0 ,此时(**)不成立;

………………………13 分

ⅱ)若 0 ? b ?

1 1 1 ,则 ? 1 ? 1 ,所以当 x ? 时, ( 1, ? 1) 2 b b
1 b[ x ? ( ? 1)] b ? 0, x2

b( x ? 1) ? 1 Q?( x) ? ? x2

1 故函数 y ? Q( x) 在 x ? 上单调递减, Q( x) ? Q(1) ? 0 ,即 H ?( x ) ? 0 ,所以函数 ( 1, ? 1) b 1 y ? H ( x) 在 x ? 时单调递减,所以 H ( x) ? H (1) ? 0 ,此时(**)不成立; ( 1, ? 1) b
所以当 x ? (1, ??) , G( x) ? ( 综上所述,当 x ? (0,1)
b 的取值集合为 { } .

1 1 ? b)ln x ≥1 恒成立时, b ≥ ; ………………15 分 x ?1 2 1 1 ? b)ln x ≥1 恒成立时, b ? ,从而实数 x ?1 2
………………………16 分

(1, ??) , G( x) ? (

1 2

2、 (1)因为 f (1) ? 1 ?

a ? 0 ,所以 a ? 2 ,……………………………………………1 分 2 1 ?2 x 2 ? x ? 1 此时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0 , f ?( x) ? ? 2 x ? 1 ? ( x ? 0) ,…2 分 x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,又 x ? 0 ,所以 x ? 1 . 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (1, ??) . ………………………………………… 4 分

(2)方法一:令 g ( x) ? f ( x) -(ax ? 1) ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a ) x ? 1 , 2

所以 g ?( x) ?

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a) ? x x

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 .所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,

又因为 g (1) ? ln1 ?

1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 , 2 2

所以关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 不能恒成立.……………………………………6 分

1 1 a( x ? )( x ? 1) ?ax ? (1 ? a) x ? 1 当 a ? 0 时, ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? . a ? g ( x) ? ?? a x x
2

所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,

1 a

1 a

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 上是增函数,在 x ? ( , ??) 上是减函数.

1 a

1 a

故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a .…8 分 a 2 a a 2a

令 h( a ) ?

1 1 1 ? ln a , 因为 h(1) ? ? 0 ,h(2) ? ? ln 2 ? 0 , 又 h(a) 在 a ? (0, ??) 是 2a 2 4

减函数.故当 a ≥ 2 时, h(a) ? 0 .所以整数 a 的最小值为 2.………………10 分 方法二:由 f ( x) ≤ ax ? 1 恒成立,得 ln x ?

1 2 ax ? x ≤ ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立, 2

ln x ? x ? 1 问题等价于 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2 ln x ? x ? 1 g ( x) ? 令 ,只要 a ≥ g ( x)max .………………………………………… 6 分 1 2 x ?x 2 1 ( x ? 1)(? x ? ln x) 1 2 因为 g ?( x) ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ln x ? 0 . 1 2 ( x 2 ? x) 2 2 a≥
设 h( x ) ? ?

1 1 1 x ? ln x ,因为 h?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调减, 2 x 2

不妨设 ?

1 x ? ln x ? 0 的根为 x0 .当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x ) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ?? ) 时, 2

g ?( x ) ? 0,所以 g ( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.

所以 g ( x) max

1 1 ? x0 ln x0 ? x0 ? 1 1 2 ? g ( x0 ) ? ? ? .………………………8 分 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2
1 1 1 1 ? 0 , h(1) ? ? ? 0 , 所 以 ? x0 ? 1 , 此 时 1 ? ? 2 , 即 x0 4 2 2

因 为 h( ) ? ln 2 ?

1 2

g ( x )m a x? (1, 2 ) a ≥ 2 ,即整数 a 的最小值为 2.………………………… 10 分 .所以 ? ( 3 ) 当 a ? ?2 时 , f ( x)? l nx? 2 x ? x, x ?, 0由 f ( x 1 )
ln x1 ? x12 ? x1 ? ln x2 ? x22 ? x2 ? x1x2 ? 0 ,
从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 ) , ………………………………… 13 分
2

f ( 2x ? )

1

x 2x ? , 0 即

令 t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

t ?1 , t

可知, ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调减,在区间 (1, ??) 上单调增. 所以 ? (t ) ≥? (1) ? 1 , ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥1 ,故 x1 ? x2 ≥
2

5 ?1 成立.…16 分 2
…………2 分

3、解: (1)由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e x ? mx ? n)? ? e x ? m , 所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m , 将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2 . 又 h(0) ? 1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , ……………4 分
x

x x (2)方法一:当 n ? 0 ,可得 h?( x) ? (e ? mx)? ? e ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 e ?

1 , e

①当 m ?

h(0) ? 1,

1 x 时, h?( x) ? e ? m ? 0 ,函数 h( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 e 1 1 1 1 ? m ? 0, 解得 m ? ? , 从而 ? ? m ? . e e e e
…………

所以只需 h( ?1) ? 6分

1 时,由 h?( x) ? e x ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ??) , e h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减; h?( x) ? 0 , 当 x ? (?1,ln m) 时, 当 x ? (ln m, ??) 时,
②当 m ?

h( x) 单调递增.
所以函数 h( x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? m ln m , 令 m ? m ln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以 综上所述, m ? [? , e) . 方法二:当 n ? 0 , e ? mx ①当 x ? 0 时,显然不成立;
x

1 ?m?e. e
……………10 分

1 e

x ex ex e x x ? e x e ? x ? 1? ,令 y ? ,则 y? ? , ? x x x2 x2 ex ex 当 ?1 ? x ? 0 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减, 0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调 x x 1 ex 递减,当 x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递增,又 y x ??1 ? ? , y x?1 ? e ,由题意知 e x 1 m ? [? , e) . e n x 1 nx 1 1 4x m (3)由题意, r ( x) ? , ? ? x? ? x? n f ( x) g ( x) e e x?4 x? m 1 4x ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 , 而 r ( x) ? x ? e x?4 令 F ( x) ? e x (3x ? 4) ? x ? 4 , …………12 分 x 则 F (0) ? 0 ,且 F ?( x) ? e (3x ?1) ? 1 , F ?(0) ? 0 , 令 G( x) ? F ?( x) ,则 G?( x) ? e x (3x ? 2) , 因 x ? 0 , 所以 G?( x) ? 0 , ……………14 分 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 , 从而函数 F ( x ) 在 [0, ??) 上单调递增,即 F ( x) ? F (0) ? 0 . ……………16 分

②当 x ? ?1 且 x ? 0 时, m ?

4、

5 、解: (1)当 a ? ?1 时, f ' ? x ? ? e ? 1, f ' ?1? ? e ? 1, f ?1? ? e ,
x

………………2

分 ∴函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? e ? ? e ?1?? x ?1? , 即 y ? ? e ?1? x ?1 . (2)∵ f ' ? x ? ? e ? a ,
x

?

?

……………………………………………………………………4 分

①当 a ≤ 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增;………………………………6 分 ②当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? e ? a ? 0 得 x ? ln a ,
x

∴ x ? ? ??,ln a ? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; x ? ? ln a, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单 调递增区间为 ? ln a, ??? ,单调递减区间为 ? ??,ln a ? . ……………………………………9 分 (3)由(2)知,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增, ∴ f ? x ? ≥ b 不可能恒成立; ………………………………………………………………10 分 当 a ? 0 时, b ≤ 0 ,此时 ab ? 0 ; ………………………………………………………11 分 当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? ≥ b 对任意 x ? R 都成立,得 b ≤ fmin ? x ? , ∵ fmin ? x ? ? f ? ln a ? ? 2a ? a ln a ,∴ b ≤ 2a ? a ln a ∴ ab ≤ 2a 2 ? a 2 ln a , ………………………………13 分

设 g ? a ? ? 2a ? a ln a ? a ? 0? ,∴ g ' ? a ? ? 4a ? ? 2a ln a ? a ? ? 3a ? 2a ln a ,
2 2

由于 a ? 0 ,令 g ' ? a ? ? 0 ,得 ln a ?

3 3 , a ? e2 , 2

? 3 ? ? 3 ? 2 当 a ? ? 0, e ? 时, g ' ? a ? ? 0 , g ? a ? 单调递增; a ? ? e 2 , ?? ? 时, g ' ? a ? ? 0 , g ? a ? 单调递 ? ? ? ?
减. ∴ g max ? a ? ?
3

e3 e3 ,即 ab 的最大值为 , 2 2 1 3 e2 . 2
………………………………………………………………… 16 分

此时 a ? e 2 , b ?

1 1 1 ? ax ? b ,则 h?( x ) ? ? 2 ? a , x x x 1 1 ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x) ? ? 2 ? a ? 0 , x x 1 1 1 1 即对 ?x ? 0 ,都有 a ? ? 2 ,∵ ? 2 ? 0 ,∴ a ? 0 , x x x x
6、解: (1) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 故实数 a 的取值范围是 ( ??, 0] . (2) 设切点 ( x0 , ln x0 ? ………………4 分

1 1 1 1 ) ,则切线方程为 y ? (ln x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) , x0 x0 x0 x0

即y?(

1 1 2 1 1 1 1 1 ? 2 ) x ? ( ? 2 ) x0 ? (ln x0 ? ) ,亦即 y ? ( ? 2 ) x ? (ln x0 ? ? 1) , x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0



1 1 1 2 ? t ? 0 ,由题意得 a ? ? 2 ? t ? t 2 , b ? ln x0 ? ? 1 ? ? ln t ? 2t ? 1 ,……7分 x0 x0 x0 x0
1 t (2t ? 1)(t ? 1) , t

2 令 a ? b ? ? (t ) ? ? ln t ? t ? t ?1 ,则 ? ?(t ) ? ? ? 2t ? 1 ?

当 t ? (0,1) 时 , ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 t ? (1, ??) 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴ a ? b ? ? (t ) ? ? (1) ? ?1,故 a ? b 的最小值为 ?1 . (3)由题意知 ln x1 ? ………………10分

1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 , x1 x2

两式相加得 ln x1 x2 ?

x1 ? x2 x x ?x ? a( x1 ? x2 ) ,两式相减得 ln 2 ? 1 2 ? a( x2 ? x1 ) , x1 x2 x1 x1 x2

x2 x ln 2 x1 x ?x x1 1 1 即 ? ? a ,∴ ln x1 x2 ? 1 2 ? ( ? )( x1 ? x2 ) , x2 ? x1 x1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ln
即 ln x1 x2 ?

2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln , x1 x2 x2 ? x1 x1

…………12分

不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ? ∴ F (t ) ? ln t ? ∴ ln t ?

2(t ? 1) x2 (t ?1) 2 (t ? 1) ,则 F ?(t) ? ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? ?0 , t ?1 x1 t (t ?1)

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? F (1) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? t ?1 t ?1

2(t ? 1) x 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ,则 ln 2 ? ,∴ ln x1 x2 ? ? ln ? 2 , t ?1 x1 x1 ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1

又 ln x1 x2 ?

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∴ 2ln x1 x2 ? 令 G ( x) ? ln x ? 又 ln 2e ?

4 2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? ? 1, x1 x2 x1 x2
2 1 2 ,则 x ? 0 时, G?( x) ? ? 2 ? 0 ,∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, x x x

2 1 2 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 , e 2e 2 2 2 ,则 x1 x2 ? 2e ,即 x1 x2 ? 2e2 . ? 1 ? ln 2e ? x1 x2 2e
………………16分

∴ G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ?

7、

8、⑴解:

f (0) ? 1 , f '( x) ? e x , f '(0) ? 1 ,
……2 分

g (0) ? c , g '( x) ? 2ax ? b ,

g '(0) ? b ,
依题意: ?

? f (0) ? g (0) ? c ? 1, ,所以 ? ; ? f '(0) g '(0) ? ?1 ? b ? ?1

……4 分

⑵解: a ? c ? 1 , b ? 0 时, g ( x) ? x2 ? 1 , ① x ? 0 时, f (0) ? 1 , g (0) ? 1 ,即 f ( x) ? g ( x) ② x ? 0 时, f ( x) ? 1 , g ( x) ? 1 ,即 f ( x) ? g ( x)

……5 分

③ x ? 0 时,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? x ?1 ,则 h '( x) ? e ? 2x .
x 2 x

设 k ( x) ? h '( x)=e ? 2x ,则 k '( x)=e ? 2 ,
x x

当 x ? ln 2 时, k '( x) ? 0, k ( x) 单调递减;当 x ? ln 2 时, k '( x) ? 0, k ( x) 单调递增. 所以当 x ? ln 2 时, k ( x) 取得极小值, 且极小值为

k (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4 ? 0
即 k ( x) ? h '( x)=e ? 2 x ? 0 恒成立,故 h( x) 在 R 上单调递增,又 h(0) ? 0 ,
x

因此,当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? g( x) . 综 上 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 时 ,

……9 分

f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? g( x) .


……10 分

证法一:①若 0 ? a ? 1 ,由⑵知,当 x ? 0 时, e ? x ? 1 .即 e ? x ? ax ,
x 2 x 2 2

? ?? ,恒有 e ? ax . 所以, 0 ? a ? 1 时,取 m ? 0 ,即有当 x ? ? m,
x 2

②若 a ? 1 , f ( x) ? g( x) 即 e ? ax ,等价于 x ? ln(ax ) 即 x ? 2 ln x ? ln a
x 2

2

令 t ( x) ? x ? 2ln x ? ln a ,则 t '( x ) ? 1 ?

2 x?2 ? .当 x ? 2 时, t '( x) ? 0, t ( x) 在 x x

(2, ??) 内单调递增.
取 x0 ? ae ,则 x0 ? e ? 2 ,所以 t ( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增.
2 2



t ( x0 ) ? e2a ? 2ln e2a ? ln a ? e2a ? 4 ? 3ln a ? 7a ? 4 ? 3ln a
? 4(a ? 1) ? 3(a ? ln a) ? 0
? ?? 时,恒有 即存在 m ? ae ,当 x ? ? m,
2

f ( x) ? g ( x) .

……15 分

? ?? ,恒有 综上,对任意给定的正数 a ,总存在正数 m ,使得当 x ? ? m,

f ( x) ? g ( x) .
证法二:设 h( x) ?

……16 分

e x ( x ? 2) ex h '( x ) ? ,则 , x3 x2

当 x ? (0, 2) 时,h '( x) ? 0 ,h( x) 单调减,当 x ? (2, ??) 时,h '( x) ? 0 ,h( x) 单调增, 故 h( x) 在 (0, ?? ) 上有最小值, h(2) ?

e2 , 4

……12 分

①若 a ?

e2 ,则 h( x) ? 2 在 (0, ?? ) 上恒成立, 4 e2 时,存在 m ? 0 ,使当 x ? (m, ??) 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; 4

即当 a ?

②若 a ?

e2 ,存在 m ? 2 ,使当 x ? (m, ??) 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; 4 e2 ,同证明一的②, 4
……15 分

③若 a ?

综 上 可 得 , 对 任 意 给 定 的 正 数 a , 总 存 在 m , 当 x ? (m, ??) 时 , 恒 有

f ( x)? g ( x .)

……16 分

9、(1)如图,以 A 为坐标原点 O , AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 C 点坐标 为 (2, 4) .……………………………………………………………………………1 分 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 , 把 (2, 4) 代入,得 4 = a 22 ,解得 a = 1 , 所以抛物线的方程为 y = x2 .…………………………………………………………3 分 因为 y ?= 2 x ,所以过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 .……………………5 分 令 y = 0 ,得 E ( ,0) ;令 x = 2 ,得 F (2,4t - t 2 ) ,故 S ?

t 2

1 t (2 ? )(4t ? t 2 ) ,…8 分 2 2

所以 S ?

1 3 (t ? 8t 2 ? 16t ) ,定义域为 (0, 2] .………………………………………9 分 4

(2) S ?(t ) ?

1 2 3 4 (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) ,…………………………………………12 分 4 4 3 4 4 ,所以 S ?(t ) 在 (0, ) 上是增 3 3 4 4 ? t ? 4 ,所以 S ?(t ) 在 ( , 2] 3 3
D y C F

由 S ?(t ) ? 0 ,得 0 ? t ?

函数,由 S ?(t ) ? 0 ,得

P

上是减函数,…………………14 分 所以 S 在 (0, 2] 上有最大值 S ( ) ?

4 3

64 . 27

O(A)

E
(第 18 题)

B x

又因为

64 17 ? 3? ? 3 ,所以不存在点 P ,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3 km 2 . 27 27

答:不存在点 P ,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3 km 2 .………………………16 分


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