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☆☆☆☆☆空间直线和平面的位置关系


空间直线与平面的位置 关系

直线和平面垂直

直线与平面的位置关系有且只有三种:
(1)直线在平面内-----有无数个公共点

a ??

如图:

a

?
a

(2)直线在平面外:

a

??
?

①直线a和面α 相交 :

.

A

a ? ? ? A 如图:

②直线a和面α 平行 :

a

a // ?

如图:

?

直线和平面垂直

1、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内 的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个 平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线 的垂面.交点叫做垂足. 平面的垂线

?

A 垂足

直线的垂面

唯一性:
(1) 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直.
(不同于过一点作直线与另一条直线垂直 ) (2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 . (3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .

l
?

直线和平面垂直,记作

A

l ??

2、判定直线和平面垂直的方法
(1)根据定义

思考:
1.能不能利用直线与平面内的一条直线垂直来判定 直线与平面垂直呢?
l
C

?

B

思考:
2.一条直线不行,那么能不能利用直线l与平面内两 条直线m,n都垂直来判定直线与平面垂直呢?

l
m

?

n

当平面内m,n平行的时候,这并不能 判定l垂直于α

(2)直线和平面垂直的判定定理 定理2:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(判定定理) 两条相交直线
垂直于两条相交直线

B
?

m

n

A

垂直平面 (线线垂直则线面垂直)

例1 求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于这个平面. (性质定理) 已知:a//b,a ? ? 求证;b ? ? 证明:设m是?内的任意一条直线

a
m

b

? a ?? ? ? ?? a ? m ? ? m ?? ? ? ??b ? m

a // b? ?

m ??

? ? ?b ? ?

?

3. 直线与平面垂直的性质定理 性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行. 已知:

a ? ?,b ? ?,
a
b

b?

求证:

a // b

?

4. 几个距离
1) 点和平面的距离:从平面外一点引一个平面的垂线, 这点和垂足间的距离叫做这个点到这个面的距离

P

P

l

?

A

?

A

2) 直线和平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任 意一点到平面的距离, 叫做这条直线到平面的距离.

? 3)平面和平面的距离:两个平面平行, 在其中一个平面上任取一点到另一平面 的距离叫做这两个平面的距离.
P

A

4)异面直线的距离

思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条?

定义:和两条异面直线都垂直相交的直线 叫异面直线的公垂线 定义:两条异面直线的公垂线在两条异面直 线间的线段的长度,叫两异面直线的距离

例2:设图中的正方体的棱长为a, D1 ①图中哪些棱所在的直线 A1 与BA1成异面直线 ②直线BA1与C1C所成角的大小
D

C1
B1

450

C B

A

③求异面直线A1B与C1C的距离

a
④求异面直线A1B与B1C1的距离

2 a 2

例3:如图,已知长方体ABCD-A’B’C’D’的棱长 AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm. (1)求点A和C’的距离; (2)求点A到棱B’C’的距离; (3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离; (4)求异面直线AD和A’B’的距离.
D A B C

D’

C’

A’

B’

5.射影的有关概念: 1). 点在平面上的射影: 自一点P向平面引垂线,垂

足叫做这点在平面上的射影.
(这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段)

P

?

A

2)平面的斜线: 如果一条直线和平面相交,但不和这 个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线. 交点叫做斜足. 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面 的斜线段.

P

?

B

3). 斜线在平面上的射影:

过斜线上斜足以外一点向平面引垂线,过垂足和 斜足的直线,叫做斜线在这个平面上的射影.

P

?

A

B

4)斜线段在平面上的射影: 垂足与斜足间的线段.

P

?

A

B

5) 斜线上任意一点在平面内的射影,一定在斜线的射影上.

6). 如果图形F上的所有点在一平面内的射影 构成的图形 面上的射影.

F ?,则 F ?叫做图形F在这个平
C

B

A
C?

?

A?

B?

探究1:平面的斜线和它在平面内的 射影所成的角,是这条斜线和这个平 面内任一直线所成的角中最小的角
P
?

?

A
C

B

提示:比较∠PBA与∠PBC的大小关系

探究2:从平面外一点向这个平面所引的垂线段 和斜线段中,斜线段与射影长度之间的关系? A

B

O

C

结论: ⑴射影相等的两条斜线段也相等;射影较长的斜线段 也较长。 ⑵相等的斜线段射影相等,较长的斜线段射影也较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短。

⑴OB=OC?AB=AC OB?OC?AB?AC ⑵AB=AC?OB=OC AB?AC?OB?OC ⑶OA?AB,OA?AC
B

A

O

C

直线与平面所成的角 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的

夹角,叫做斜线和平面所成的角(或斜线和
平面的夹角)
规定: 直线和平面垂直<=>直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内<=>直线和平面所成的 角是0°

思考:
? 直线与平面所成的角θ 的取值范围 是:

0 ?? ?

?
2


? 斜线与平面所成的角θ 的取值范围 是:

0 ?? ?

?
2


例4:设图中的正方体的棱长为a,

(1)求直线A1B和平面ABCD所成的 角的大小; (2)求直线D1B和平面ABCD所成的 角的大小. D C
1

1

A1

B1

D
A B

C

直线与平面的位置关系有且只有三种:
(1)直线在平面内-----有无数个公共点

a ??

如图:

a

?
a

(2)直线在平面外:

a ??
?

①直线a和面α 相交 :

.

A

a ? ? ? A 如图:

②直线a和面α 平行 :

a

a // ?

如图:

?

直线与平面平行

回顾定义: 一条直线与一个平面没有公共点就 说这条直线与这个平面平行。 即如果a与?没有公共点, 则 a∥ ? ( a? ? = ? )

直线与平面平行的判定定理

如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直 线平行,那么这条直线和这个平面平行. 已知:a??,b??,a∥b 求证:a∥?
?

a
A

?

b

直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过 这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线就和交线平行. 已知: a∥? , a?? , ???=b 求证:a∥b
β

a

b

α









例1、判断下列命题的正确

(1)若直线l上有无数个点不在平面 内, (2)若直线l与平面 平行,则l与平面 ? 内的任 意一条直线都平行。( ) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行。( ) (4)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。( )

则l//



?



?

X

X

?

X

?。(

?

例2、若直线a不平行平面 ,且
则下列结论成立的是( B)

?

a ??

( A) ( B) ( C) ( D)

?内所有直线与a异面 ?内不存在与a平行的直线 ?内存在唯一的直线与a平行 ?内的直线与a都相交

例题
1. 已知 E、F 分别是空间四边形四条边 AB、AD的
中点,求证: EF//平面BCD.
E B C A

F D

2. 求证:

如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行

的一条直线,那么这条直线在此平面内.

练习:1. 选择题: (1) 直线 m 与平面

? 平行的充分条件是

(

)

A. 直线 m 与平面 B. 直线 m 与平面 C. D.

? 内无数条直线平行; 直线 m 与平面 ? 内所有直线平行; 直线 m 与平面 ? 没有公共点;
) B. 只能作一个; D. 上述情况都有可能.

? 内一条直线平行;

(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( A. 能作无数个; C. 不能作出;

2.

如图 , 正方体 AC1 中,点N在 BD上,点M在B1 C上
且CM = DN, 求证: MN // 平面AA1B1B .
D C

N
A

F

B
M

D1 A1

E C1

B1

3. 空间四边形ABCD被一平面所截,E、F、G、H分别

在AC、CB、BD、DA上,截面EFGH是矩形.
(1) 求证: CD // 平面EFGH; (2) 求异面直线AB、CD 所成的角.
A
H E D B F C G

4. 如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,
M,N分别为AB、PC 的中点,平面PAD?平面PBC =l 求证:(1)BC // l (2)MN //平面PAD
l

P

E

N

D C

A

M

B

5.如图,ABCD与ABEF是两个全等正方形,AM=NF, 求证:MN∥平面BCE
D M B N E P C

A

F

6. 已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点, M是 PC的中点,在 DM 上取一点G, 过G和AP作平面 交平面BDM于GH, 求证: AP // GH
P

M G D H A C

O
B


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