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2016年福建省厦门市翔安区中考数学模拟试卷含答案解析

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2016 年福建省厦门市翔安区中考数学模拟试卷
一、选择题(本大题有 10 题,每小题 4 分,共 40 分,每小题都有四个选项,其中有且只 有一个选项是正确的) 1.计算 3x+x 的结果是( ) 2 A.3x B.2x C.4x D.4x2 2.若分式 有意义,则 x 的取值范围是( )

A.x≠3 B.x=3 C.x<3 D.x>3 3.单项式 2a 的系数是( ) A.2 B.2a C.1 D.a 4.气象台预报“本市明天下雨的概率是 85%”,对此信息,下列说法正确的是( ) A.本市明天将有 85%的地区下雨 B.本市明天将有 85%的时间下雨 C.本市明天下雨的可能性比较大 D.本市明天肯定下雨 5.抛物线 y=x2﹣4 的顶点坐标是( ) A. 2 0 B 2 0 C 1 D. ( , ) . (﹣ , ) . ( ,﹣3) (0,﹣4) 6.如图,四边形 ABCD 中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD 的度数 为( )

A.145° B.130° C.110° D.70° 7.如图所示,要判断△ ABC 的面积是△ DBC 的面积的几倍,只有一把仅有刻度的直尺, 需要测量( )

A.1 次 B.2 次 C.3 次 D.3 次以上 8.调查某一路口某时段的汽车流量,记录了 30 天同一时段通过该路口的汽车辆数,其中有 2 天是 256 辆,2 天是 285 辆,23 天是 899 辆,3 天是 447 辆.那么这 30 天在该时段通过该 路口的汽车平均辆数为( ) A.125 辆 B.320 辆 C.770 辆 D.900 辆 9.如图,点 A 为∠α 边上的任意一点,作 AC⊥BC 于点 C,CD⊥AB 于点 D,下列用线段 比表示 cosα 的值,错误的是( )
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A.

B.

C.

D. )

10.如图,A 是半径为 5 的⊙O 内一点,且 OA=3,过点 A 且长小于 8 的弦有(

A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.4 条 二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.数据 1,2,3,5,5 的众数是 . 12.分解因式:a2﹣4= . 13.如图,在△ ABC 中,∠C=90°,AB=10,AD 是△ ABC 的一条角平分线.若 CD=3,则 △ ABD 的面积为 .

14.已知关于 x 的方程 x2﹣2x+3k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围 是 . 15.如图,AB 是⊙O 的直径,AB=2,CD 与⊙O 相切于点 D,∠DAB=60°,点 E 在切线 CD 上,则当∠AEB 最大时,AE= .

16.设 a,b,c 都是非负数,且满足 a+b+c=3,3a+b﹣c=5,则 5a+4b+2c 的最大值 是 . 三、解答题(本大题有 11 小题,共 86 分) 17.计算:6÷(﹣3)+|﹣1|﹣20160. 18.一个不透明的布袋里装有 2 个白球,1 个黑球和 1 红球,它们除颜色外其余都相同,从 中任意摸出 1 个球,不放回,再摸出 1 个球,则两次摸到的球都是白球的概率是多少? 19.解方程:x2﹣2x﹣5=0.
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20.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形,A(﹣6,1) ,B(﹣3,1) , C(﹣3,3) .△ ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△ A1BC1,请在图上画出△ A1BC1 的图形, 并写出 C1 点坐标.

21.画出函数 y=﹣x2+1 的图象. 22.两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工 l 个月完成总工程的三分之一,这时 增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 23.如图,在△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,O 为 BC 的中点,OE 平分∠AOB, 与 AB 相交于点 E,OD 平分∠AOC,与 AC 相交于点 D. 求证:四边形 ADOE 为矩形,并求四边形 ADOE 的周长.

24. y}表示 x, y 两个数中的最大值. 2}=2; max{8, 12}=12; max{3, 设 max{x, 例如“max{0, 3}=3”, 请画出关于 x 的函数 y=max{2x,x+2}的图象. 25.如图,在平面直角坐标系中.菱形 OBCD 的边 OB 在 x 轴正半轴上,反比例函数 y= 的 图象经过该菱形对角线的交点 A,且与边 BC 交于点 F,若点 D 的坐标为(6,8) ,求点 F 的坐标.

26.如图,已知⊙O 的半径为 1,A,P,B,C 是⊙O 上的四个点,∠APC=∠CPB=60° (1)当点 P 位于 的什么位置时,四边形 APBC 的面积最大?并求出最大面积; (2)试探究线段 PA,PB,PC 之间的数量关系,并证明你的结论.

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27.关于 x 的二次函数 y=﹣x2+bx+c 经过点 A(﹣3,0) ,点 C(0,3) ,点 D 为二次函数 DE E x 的顶点, 为二次函数的对称轴, 在 轴上. (1)求抛物线的解析式; (2)DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等?若存在,请求出 P 点的坐标; 若不存在,请说明理由.

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2016 年福建省厦门市翔安区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题有 10 题,每小题 4 分,共 40 分,每小题都有四个选项,其中有且只 有一个选项是正确的) 1.计算 3x+x 的结果是( ) 2 A.3x B.2x C.4x D.4x2 【考点】合并同类项. 【分析】根据合并同类项的法则得出. 【解答】解:3x+x=4x. 故选 C.

2.若分式

有意义,则 x 的取值范围是(



A.x≠3 B.x=3 C.x<3 D.x>3 【考点】分式有意义的条件. 【分析】 根据分式有意义的条件是分母不为 0; 分析原分式可得关系式 3﹣x≠0, 解可得答案. 3 x 0 ≠ 【解答】解:根据题意可得 ﹣ ; 解得 x≠3; 故选 A. 3.单项式 2a 的系数是( A.2 B.2a C.1 ) D.a

【考点】单项式. 【分析】根据单项式系数的定义来选择,单项式中数字因数叫做单项式的系数. 【解答】解:根据单项式系数的定义,单项式的系数为 2. 故选:A. 4.气象台预报“本市明天下雨的概率是 85%”,对此信息,下列说法正确的是( A.本市明天将有 85%的地区下雨 B.本市明天将有 85%的时间下雨 C.本市明天下雨的可能性比较大 D.本市明天肯定下雨 )

【考点】概率的意义. 【分析】根据概率是反映事件发生机会的大小,只是表示发生的机会的大小,机会大也不一 定发生即可得出答案. 【解答】解:本市明天下雨概率是 85%,表示本市明天下雨的可能性很大,但是不是将有 85%的地区下雨,不是 85%的时间下雨,也不是明天肯定下雨, 故选 C. 5.抛物线 y=x2﹣4 的顶点坐标是( ) A. C. (2,0) B. (﹣2,0) (1,﹣3)

D. (0,﹣4)

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【考点】二次函数的性质. 【分析】形如 y=ax2+k 的顶点坐标为(0,k)直接求顶点坐标. 【解答】解:抛物线 y=x2﹣4 的顶点坐标为(0,﹣4) . 故选 D. 6.如图,四边形 ABCD 中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD 的度数 为( )

A.145° B.130° C.110° D.70° 【考点】直角三角形全等的判定;全等三角形的性质. 【分析】根据 HL 判定△ ABC≌△ADC,得出∠ACD=∠ACB=55°,即可求∠BCD 的度数. 【解答】解:∵∠ABC=∠ADC=90, ∴在 Rt△ ABC 与 Rt△ ADC 中,CB=CD,AB=AD ∴△ABC≌△ADC,又∠ACB=55°, ∴∠ACD=∠ACB=55°, ∠BCD=110°. 故选 C. 7.如图所示,要判断△ ABC 的面积是△ DBC 的面积的几倍,只有一把仅有刻度的直尺, 需要测量( )

A.1 次 B.2 次 C.3 次 D.3 次以上 【考点】三角形的面积. 【分析】根据底边相等的三角形的面积的比等于对应高的比,测量出两个三角形边 BC 上的 高线即可得解. 【解答】解:连接 AD 并延长交 BC 于 M,一次测量 AM(AD)即可得 AD,AM 长, 即可算出 DM 长,由 AM:DM=AP:PF,即可求出△ ABC 的面积是△ DBC 的面积的几倍. ∴只量一次. 故选 A. 8.调查某一路口某时段的汽车流量,记录了 30 天同一时段通过该路口的汽车辆数,其中有 2 天是 256 辆,2 天是 285 辆,23 天是 899 辆,3 天是 447 辆.那么这 30 天在该时段通过该 路口的汽车平均辆数为( ) A.125 辆 B.320 辆 C.770 辆 D.900 辆

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【考点】加权平均数. 【分析】根据加权平均数的求法可以求得这 30 天在该时段通过该路口的汽车平均辆数,本 题得以解决. 【解答】解:由题意可得, 这 30 天在该时段通过该路口的汽车平均辆数是: =770, 故选 C. 9.如图,点 A 为∠α 边上的任意一点,作 AC⊥BC 于点 C,CD⊥AB 于点 D,下列用线段 比表示 cosα 的值,错误的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】锐角三角函数的定义. 【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD,进而利用锐角三角函数关系得 出答案. 【解答】解:∵AC⊥BC,CD⊥AB, ∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD, ∴∠α=∠ACD, ∴cosα=cos∠ACD= = = ,

只有选项 C 错误,符合题意. 故选:C. 10.如图,A 是半径为 5 的⊙O 内一点,且 OA=3,过点 A 且长小于 8 的弦有( )

A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.4 条 【考点】垂径定理. 【分析】连接 OA,作弦 CD⊥OA,则 CD 是过点 A 的最短的弦.运用垂径定理和勾股定理 求解. 【解答】解:连接 OA,作弦 CD⊥OA,则 CD 是过点 A 的最短的弦. 连接 OC,由勾股定理,得 AC= 由垂径定理可知,CD=2AC=8. 所以过点 A 且长小于 8 的弦有 0 条. 故选 A.
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=

=4,

二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.数据 1,2,3,5,5 的众数是 5 . 【考点】众数. 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数,找到出现次数最多的数即可. 【解答】解:这组数据中,5 出现的次数最多,为 2 次, 故众数为 5. 故答案为:5. 12.分解因式:a2﹣4= (a+2) (a﹣2) . 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】有两项,都能写成完全平方数的形式,并且符号相反,可用平方差公式展开. 【解答】解:a2﹣4=(a+2) (a﹣2) . 13.如图,在△ ABC 中,∠C=90°,AB=10,AD 是△ ABC 的一条角平分线.若 CD=3,则 △ ABD 的面积为 15 .

【考点】角平分线的性质. 【分析】要求△ ABD 的面积,现有 AB=10 可作为三角形的底,只需求出该底上的高即可, 需作 DE⊥AB 于 E.根据角平分线的性质求得 DE 的长,即可求解. 【解答】解:作 DE⊥AB 于 E. ∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=CD=3. ∴△ABD 的面积为 ×3×10=15. 故答案是:15.

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14. 已知关于 x 的方程 x2﹣2x+3k=0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围是 k



【考点】根的判别式. 【分析】关于 x 的方程 x2﹣2x+3k=0 有两个不相等的实数根,即判别式△ =b2﹣4ac>0.即 可得到关于 k 的不等式,从而求得 k 的范围 【解答】解:∵a=1,b=﹣2,c=3k, ∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×3k=4﹣12k>0, 解得:k< . 故答案为:k< .

15.如图,AB 是⊙O 的直径,AB=2,CD 与⊙O 相切于点 D,∠DAB=60°,点 E 在切线 CD 上,则当∠AEB 最大时,AE= 1 .

【考点】切线的性质. 【分析】当点 E 与点 D 重合时,∠AEB 最大,由圆周角定理可得∠ADB=90°,∠DAB=60°, 由勾股定理可得 AE. 【解答】解:连接 BD,当点 E 与点 D 重合时,∠AEB 最大, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∠DAB=60°,AB=2, ∴∠ABD=30°, ∴AE=AD= 故答案为:1. = =1.

16.设 a,b,c 都是非负数,且满足 a+b+c=3,3a+b﹣c=5,则 5a+4b+2c 的最大值是 13 . 【考点】一次函数的性质. 【分析】把 c 看作常数,解出 a、b,代入所求式子即可解决问题.

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【解答】解:由

解得



所以 5a+4b+2c=5+5c+8﹣8c+2c=13﹣c, ∴c 是非负数,∴c≥0 ∴5a+4b+2c=5+5c+8﹣8c+2c=13﹣c 的最大值为 13. 故答案为 13. 三、解答题(本大题有 11 小题,共 86 分) 17.计算:6÷(﹣3)+|﹣1|﹣20160. 【考点】零指数幂. 【分析】利用零指数幂法则和有理数的运算法则计算即可. 【解答】解:6÷(﹣3)+|﹣1|﹣20160 =﹣2+1﹣1 =﹣2. 18.一个不透明的布袋里装有 2 个白球,1 个黑球和 1 红球,它们除颜色外其余都相同,从 中任意摸出 1 个球,不放回,再摸出 1 个球,则两次摸到的球都是白球的概率是多少? 【考点】列表法与树状图法. 【分析】根据题意可知,第一次摸到白球的概率是 ,第二次摸到白球的概率是 ,两次都 摸到白球的概率就是这两个概率的乘积,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得, 两次摸到的球都是白球的概率是: 即两次摸到的球都是白球的概率是 . 19.解方程:x2﹣2x﹣5=0. 【考点】解一元二次方程-配方法. 【分析】利用完全平方公式配平方,再利用直接开方法求方程的解即可. 【解答】解:x2﹣2x+1=6, 那么(x﹣1)2=6, 即 x﹣1=± , 则 x1=1+ ,x2=1﹣ . 20.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形,A(﹣6,1) ,B(﹣3,1) , C(﹣3,3) .△ ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△ A1BC1,请在图上画出△ A1BC1 的图形, 并写出 C1 点坐标. ,

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【考点】作图-旋转变换. 【分析】根据题意画出△ A1BC1 的图形,根据图形得出 C1 点坐标即可. 【解答】解:如图所示,画出△ A1BC1 的图形, 根据图形得:C1 点坐标为(﹣3,﹣1) .

21.画出函数 y=﹣x2+1 的图象. 【考点】二次函数的图象. 【分析】根据二次函数的图象的画法,列表,描点,连线即可. 【解答】解:列表如下: … x 0 1 2 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y 0 1 0 ﹣8 ﹣3 ﹣3 描点、连线如图.

3 ﹣8

… …

22.两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工 l 个月完成总工程的三分之一,这时 增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 【考点】分式方程的应用.

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【分析】如果设乙的工作效率为 x.先由“甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一”可知 甲的工作效率为 ,再由“两队又共同工作了半个月,总工程全部完成”,可得等量关系: (甲 的工作效率+乙的工作效率)× =1﹣ ,列出方程,求解即可. 【解答】解:设乙的工作效率为 x. 依题意列方程: ( 解方程得:x=1. ∵1> , ∴乙效率>甲效率, 答:乙队单独施工 1 个月可以完成总工程,所以乙队的施工进度快. 23.如图,在△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,O 为 BC 的中点,OE 平分∠AOB, 与 AB 相交于点 E,OD 平分∠AOC,与 AC 相交于点 D. 求证:四边形 ADOE 为矩形,并求四边形 ADOE 的周长. +x)× =1﹣ .

【考点】矩形的判定. 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出 OA= BC=OB=OC,由等腰三角形的性质得 AE=BE, AD=CD, OD⊥AC, AD=OE, 出 OE⊥AB, 证出四边形 ADOE 为矩形, 得出 AE=OD, 求出 OD=AE= AB=4,OE=AD= AC=3,即可得出四边形 ADOE 的周长. 【解答】解:∵∠BAC=90°,O 为 BC 的中点, ∴OA= BC=OB=OC, ∵OE 平分∠AOB,OD 平分∠AOC, ∴OE⊥AB,AE=BE,AD=CD,OD⊥AC, ∴∠AEO=∠ADO=90°, ∴四边形 ADOE 为矩形, ∴AE=OD,AD=OE, ∵AB=8,AC=6, ∴OD=AE= AB=4,OE=AD= AC=3, ∴四边形 ADOE 的周长=2(AD+AE)=2(3+4)=14. 24. y}表示 x, y 两个数中的最大值. 2}=2; max{8, 12}=12; max{3, 设 max{x, 例如“max{0, 3}=3”,
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请画出关于 x 的函数 y=max{2x,x+2}的图象. 【考点】一次函数的图象. 【分析】分 2x>x+2 与 2x≤x+2 两种情况进行讨论. 【解答】解:当 2x>x+2,即 x>2 时,原方程可化为 y=2x; 当 2x≤x+2,即 x≤2 时,原方程可化为 y=x+2, 两函数图象如图.

25.如图,在平面直角坐标系中.菱形 OBCD 的边 OB 在 x 轴正半轴上,反比例函数 y= 的 图象经过该菱形对角线的交点 A,且与边 BC 交于点 F,若点 D 的坐标为(6,8) ,求点 F 的坐标.

【考点】菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】首先过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M,过点 F 作 FE⊥x 于点 E,由点 D 的坐标为(6, 8) ,可求得菱形 OBCD 的边长,又由点 A 是 BD 的中点,求得点 A 的坐标,利用待定系数 法即可求得反比例函数 y= (x>0)的解析式,然后由 tan∠FBE=tan∠DOM= = ,可设

EF=4a,BE=3a,则点 F 的坐标为: (10+3a,4a) ,即可得方程 4a(10+3a)=32,继而求得 a 的值,则可求得答案. 【解答】解:过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M,过点 F 作 FE⊥x 于点 E, ∵点 D 的坐标为(6,8) , ∴OD= =10,

∵四边形 OBCD 是菱形, ∴OB=OD=10, ∴点 B 的坐标为: (10,0) , ∵AB=AD,即 A 是 BD 的中点, ∴点 A 的坐标为: (8,4) ,

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∵点 A 在反比例函数 y= 上, ∴k=xy=8×4=32, ∵OD∥BC, ∴∠DOM=∠FBE, ∴tan∠FBE=tan∠DOM= = = ,

设 EF=4a,BE=3a, 则点 F 的坐标为: (10+3a,4a) , ∵点 F 在反比例函数 y= ∴4a(10+3a)=32, 即 3a2+10a﹣8=0, 解得:a1= ,a2=﹣4(舍去) , ∴点 F 的坐标为: (12, ) . 上,

26.如图,已知⊙O 的半径为 1,A,P,B,C 是⊙O 上的四个点,∠APC=∠CPB=60° (1)当点 P 位于 的什么位置时,四边形 APBC 的面积最大?并求出最大面积; (2)试探究线段 PA,PB,PC 之间的数量关系,并证明你的结论.

【考点】圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质. 【分析】 (1)过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E,过点 C 作 CF⊥AB,垂足为 F,把四边形的面 积转化为两个三角形的面积进行计算,当点 P 为 的中点时,PE+CF=PC 从而得出最大面 积; (2) 在 PC 上截取 PD=AP, 则△ APD 是等边三角形, 然后证明△ APB≌△ADC, 证明 BP=CD, 即可证得. 【解答】解: (1)当点 P 为 的中点时,四边形 APBC 的面积最大. 理由如下,如图 2,过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E.
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过点 C 作 CF⊥AB,垂足为 F. ∵S△ APB= AB?PE,S△ ABC= AB?CF, ∴S 四边形 APBC= AB?(PE+CF) , 当点 P 为 的中点时,PE+CF=PC,PC 为⊙O 的直径, ∴此时四边形 APBC 的面积最大. 又∵⊙O 的半径为 1, ∴其内接正三角形的边长 AB= , ∴S 四边形 APBC= ×2× = ;

(2)在 PC 上截取 PD=AP,如图 1, 又∵∠APC=60°, ∴△APD 是等边三角形, ∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°. 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°, ∴∠ADC=∠APB, 在△ APB 和△ ADC 中, , ∴△APB≌△ADC(AAS) , ∴BP=CD, 又∵PD=AP, ∴CP=BP+AP.

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27.关于 x 的二次函数 y=﹣x2+bx+c 经过点 A(﹣3,0) ,点 C(0,3) ,点 D 为二次函数 的顶点,DE 为二次函数的对称轴,E 在 x 轴上. (1)求抛物线的解析式; (2)DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等?若存在,请求出 P 点的坐标; 若不存在,请说明理由. 【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质. 【分析】 (1)把 A 和 C 点坐标代入 y=﹣x2+bx+c 得关于 b、c 的方程组,然后解方程组求出 b、c 即可得到抛物线解析式; (2)如图,作 PH⊥AD 于 H,先把抛物线一般式配成顶点式得到 D(﹣1,4) ,E(﹣1,0) , AD P 1 t PE=PH=t DP=4 t 再利用勾股定理计算出 ,设 (﹣ , ) ,则 , ﹣ ,然后证明 Rt△ DPH∽Rt△ DAE,再利用相似比得到关于 t 的方程,解方程求出 t 即可得到 P 点坐标. 0) C 3) 【解答】 解: (1) 把A (﹣3, , (0, 代入 y=﹣x2+bx+c 得 所以抛物线解析式为 y=﹣x2﹣2x+3; (2)存在. 如图,作 PH⊥AD 于 H, ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线 x=﹣1,D(﹣1,4) ,E(﹣1,0) , ∴AD= =2 , , 解得 ,

设 P(﹣1,t) ,则 PE=PH=t,DP=4﹣t, ∵∠PDH=∠ADE, ∴Rt△ DPH∽Rt△ DAE, ∴ = ,即 = ,解得 t=4 ﹣4) . ﹣4,

∴P 点坐标为(﹣1,4

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2016 年 5 月 31 日

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