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用向量解几何竞赛题的方法和技巧


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2 0 0 5年 第 4期 

河北理 科教 学研 究 

问题 讨 论 

用 向 量 解 几 何 竞  赛 题 的 方 法 和 技 巧 
江 苏省 常 熟市 中 学 周 华生 2 1 5 5 0 0  

向 量

集 数 形 于 一 身 ,沟 通 了代 数 、几 
何 、三角 等 知识 ,用 它研究 问题 时可实 现形 



C,则 
s^   =  1  l  
×  +  ×  +  × 

象思 维 与抽 象思维 的有机 结合 ,为解 几何题 
提供 了一 个 强有力 的 工具 .本 文介 绍 它在解 

下 面 是上 述公 式 的一些 应 用 .   1 证 明等 式  例 1   △A B C 中 
A B >AC, A   T 是  A  

几何 竞赛 题 中 的一 些 方法 和技 巧 ,供 参考 .  
文 中用 到如下 一些 公式 ,可在 一般 的竞 

赛 书 中找 到 .  
( I)若 A、B、 c为共 线 三 点 且A  =  

平 分 线 ,在 B C 上 有 


蔬 (  ∈R且  ≠ 一1 ) ,O 为任一点,有 


点J s ,使 B S=CT,  
(AB — A   C)   (1 9 7 9  A   C  

O C : 士
:  

( 一 O A +  0   B ) . ?  
:  

求 证 A   J s  一 A   T  =  

( Ⅱ)若 A、 B、 C为共线 三点 ,且 A  

年 江苏赛 题 ) .   证 : 取 A 为 原 

图  

蔬 , 0 为 任 意 一 点 ,则 
!  
m + 凡 

点, ,一  A B、 、A    C、 、  A  分另 别 I J 表成 成  B、 、  C、 、   ,  
且J   J =c ,J   C   J =b ,故 / 4 S=B+B S :B  

( m +凡≠0 )  

( Ⅲ)若 
+   =1 .  

:   o J+  

(  ,   ∈  

+  2
一  



西 + 云 一  , 又  : 鱼 二 _ 譬 ÷   , . . .  



R ) ,则 A、 B、 C三点共 线 的 充要 条 件 为 
( Ⅳ ) 若 ,为 △ A B C 的 内心 A B=c ,  

( 西+  一  )   一。 T ’ 2 :l  l   2 +l  

C    l 2+ 2B ?C 一 2B ?T 一 2C ?T  


  l — B     l  + l   C  l   + 28 ? C _ '   一  

B C:n,A   C:b , P 为 任 意 一 点 ,则  :  
n   +b   —B + c P   —C  P n + b+ c   ‘  
:  

l 亘 !   ± ! l 蚕 l ! ±   (  ± ! ) 亘 : 蚕  
b+  



C 

( V)0 为 △A B C外 心,  

A =a ,  


( b   l   I   2 +c   l   l   2 b   l   l   2 一c     l l  )  


D 十

B=  ,   C=y ,P 为任一 点 ,取 面积 比 
为定 比 ,可 得 

( c —b )  = ( A B— A C)   .  

2 证不 等式 

葡 :  

+  

+  

.  

例2   过△A B C 的重 心任 作 一 直线 ,   把△ A B C分 成 两 部 分 .证 明 :这 两 部 分 面 
1  

其 中 S=s i n 2 a+s i n 2 l+s f i n 2 y .  

积之 差 不 大 于 整 个 三 角 形 面 积 的  年安 徽 省赛 题 ) .  

( 1 9 7 8  

( Ⅵ) △A B C 的面积S △ {  : 去l   ×  
l , 0 为原 点 ,  
?

:   ,  

:   ,  

证 :设 △ AB C重 心 为 G,过 G 的 直线 

2 0 ?  

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与 A B、 A C 相 交 于 

河 北理科 教 学研 究 

问题 讨论 

C A)   ≤6 ( AD  +B D  +C D   ) . ( I MO一1 2  


D、E ( 图 2 ) ,并 设  △A B C 面 积 为 S,   △A DE 面 积 为 S 1 ,   四边 形 D B C E 面积 为 
S , .  A  、  A   C 以  、  

5 ) .  

证 :如 图 3 ,取 


为 原 点 ,令 
_÷  _ ÷  _÷  _÷ 

=  

商 : 云 .  
_÷   _ ÷ 

:  ,  
_÷ 

:   ,由题设 

( B—D) ?( C—D) =0 ,A? D =B? D=   C? D =0 ( 1 ) ,于 是  ? C+D? D =0 ( 2 ) ,  

C表示 且A   =  
:  

,  

图2  

又 A? ( B —C) =0, B? ( A — C) =0,  

A E   =, u C( 0< 0<  ,   ≤1 ) ,按 三角 彤 形 面积 公 

C?( B—A) =0 ,故 有 A? B =A? C=B?  
C ( 3 ) .由 ( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 )得 A?   +D ? D  


式有  S   : =   1   l   茜l l   l   C   l   s   i n A,     l :     l   . 1   ,  S l=  1 l   茜1 1 .1  
p C   l   s i n A,令 K=S l / S,贝 0   K=   ,以下 
确定 K 的范 围 .   根 据 D、 G、E共线 得 

A?   +D? D —A? D—   ? D =0 .即 ( A  



D) ?( B—D) =0 ,故  AD B为直角 ,  

同理  ADC为 直 角 ,所 以 有 A   +BC  +  
CA   2:2 ( AD  +BD + C D  ) .  

了 2   A   =m 2 B   + ( 1 m)  


又 ( AB + B C+ C A)  ≤ 3 ( A B  + B C  +  

? . 

M   B C中 点,. ? .  

=   1( 云+  )  
( 2 )   ( 3 )  

C A   ) ,故 有 ( A B +B C+ C A)  ≤6 ( A D  
+ BD + C D  ) .  

于 是 得 号  = 吉 云 + 吉  
㈩ 、   得 

3 等边 问题 

例4   已知 / x   A B C 三 条 内 角 平 分 线  AA  ,B B   ,C C   且满 . . 足A — — — A — — +  +B — — B — — {  +C ■ — — — C — {  = ’   


求 证 △ AB C 为正 三 角 形 (《 中等 数 学 》  
证:如 图 4 , 设 
A 

( 4 )  
( 5 )   由 ( 3 ) 、 ( 4 ) 推 出 K =  = 吉   m( 1 一 m )  

数学 训 练题 ( 5 7 ) ) .  
  C  l l= n,  I   CA   l= 6.  1  

因0 <  、   ≤1 , 结合 ( 3 ) 、( 4 )得{≤m 1    

≤ 


A  l =c ,由 角平 分线 公 

代人 ( 5 )  
4   s



从 叨 

≤ sl  

得 导 ≤ K =   ≤   ≤  s , 吉 s ≤ s   ≤ 吾 s  
. 

式面

: — 
n 十 C 

,. ? .B  
图4  

B = BC + CB  = BC +  

( 1 ) ,同 理 
:  + 
C 十

‘ .



O≤ Sz— Sl ≤ 1  S

例 3   四 面 体 
A BCD 中 ,  


D 

葡 ( 2 ) ,  
D  

:  

+  
D 十 n 

DC  

( 3 )   .  
+  C+ b  

+ 面 +  
n + C  

:   +蔚 +  
.易知   +  

9 0  ̄ , 由 D 到 

赢 +  

+  

△A B C 所 在 平 面 

b + n.  

的 垂 线 的 垂 足  A  
是/ x A B C的重心 ,  
证明 ( A B +B C+  
图 3  

蔚 +  
— —

. ÷ 葡 + —  
— ’ — } — } 

+  
.  



— +

A B=0 .又 B C= 一A   + (一C A) ,代人 上 
式得 
?  

21  ?  

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问题 讨论 


一 ~ 2    +  
^ _ C  + 

(   一   ) 葫+ (   一   )  
一   一  

.  

有  有 A? .   B   : =   A   . ?   C   ,. . . 一 C D  E .    :1 ( 3 A 一2   +B2 B   (   +  


?  

=  





. 

1二  

^ _ A 

又因 - c 7 与 
=   O 

不 共 线,不 平 行 , . ? .  
=   O 



4 C   ) =0 .故 O E上 C D.   例 7   设  、 J 7 v 分 别 是 正 六 边 形 

+ 
^ _ 8 
)  

^ _ D 
=  
1 — 3  

6 共线 问题 
于 是 Ⅱ = b=  

T r  
=   =  

^   _

A BC D E F的对 角 线  C、 C E 的 内分 点 ,且  AM : A   C: C N: C E=   ,若  、   线 ,求  值 . ( I M0—2 3 )  
解 :如 图 7 ,延  长 E A、 C B 交 于 点  P,设 正 六 边 形 边 长 为 1 ,则 △ E C P 为 直  角三 角形 ,A E = AC  


=   3— 2 


c .. ? . △A B C为正 三角 形 .   4 等 角 问题  例5   点 0是平行 四边形 A B C D 内 一 

、J 7 v共 

一 3

^ _ A 

E 

D 

点 ,使  AO B+   C O D =1 8 0  ̄ ,证 明  O B C  
:  

O D C( 1 9 9 7 加 拿大数学 奥林 匹克 ) .  
D 

F  

C 

证 :如 图 5 ,考 虑 向  量 平 移 ,使  :一 DA :  

c k ,由于平移保 持角度 
不 变 ,所 以  A0   B=  
D 0C = 1 8c y 3一   A 0  ,  

AP =  

. P  = 2.  

因 A是 E P中点且蔬  


÷ 葫, 故   :  
  —  

因而 AO B O   是 圆 的 内接 
四边 形 ,从 而 有  O DC   D 
:  

( C E




、 

+C P) =  
?

1— 一  C N 


图7  

C 
+ 

0 A B =  

0  OB .  



3 一 C B=   葫 +   3   c k 又因  A _ M _ =  
1一 A 

,  

又因 0   0 平行 于 B C, . ? .  
5 垂直 问题 

图 5  

0   O B=   O B C,故 有  O DC=   O BC .   例 6   设 0是△A B C 的 外 心 ,D 为 

所以   : 士   .  
-  

从而有 

劢 =   商 +  

,即  

=  

A B中点 ,E 是 △A   C D 的 重 心 ,且 A B=   AC,证 明 O Ej - C D。( 1 9 8 3年英 国赛题 ) .  


葫 +  
共 线 ,所 以  +  

.由于  、 M、J 7 v  
=1 ,得  =  

证 :如 图 6 ,一 o J、   o k、   用  、   、   表 
示 ,则  z :  z :   .  

A 

3。  

7 面 积 问 题 

例8   在 △A BC 中 ,点 P、 p、 R 将  它的 周 长三 等 分 ,  
且 P、 Q 在 AB边 
+  + 

C 

1   2) 从 而  .  
.  

图 6  
=  

上 ,求 证 
^ )△ A口C 
一  

>  



( D — C)  

?

( E 一 0)  

1 (   +  

1 



( 1 9 9 8年 全 国 
A   P   图 8   Q  B  

2   ) ? 吉( 3   + 2 C +   )  

_' ^ 


1 ( 3 3   2 +  2  
AB=A C,故 

_ ' 
? . 。

赛 题第 二 试 )  
证 :不妨设 

4C  一4 A? C +4A ? B) .  
?

2 2  ?  

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问题 讨论 

导 数 是 处 理 函数 单 调 性 问题 的 金 钥 匙 
浙 江省诸 暨市天 马 实验 学校
函数 的单 调性 是 高 考 的热 点 问 题 之 一 ,  





3 I   1 8 0 0  

围, 使 函数  (  ) 在 区间[ 0 , +∞ ) 上 是 单 调 
函数 .  

在历 年 的高 考试题 中 ,考 查或 利用 函数 的单 
调性 试题 屡 见不 鲜 ,而且 相应 的问题 都有 一  定 的难度 .新教 材 引进导 数 ,为我们 解决 函  数 的单调 性 及 相关 问 题带 来 了极 大 的 方便 .   为 了便 于 掌 握 ,本 文 把 这 类 问题 分 类 解 析 ,   供 参考 .  
1 证 明 函数 的单 调 性 

解 : / (   )   赢 、 /   。 +   1  当   ∈ [ 0 ,  
+∞ ) 时,  
x   1  

<1 , 所 以, 当 口≥ 1时 ,  

厂(  )  
(  ) =  

一。 < 0 , 1 口 当。 ≥1 时, 函数 
一。  ( 。 >0 ) 在区 间 [ 0 ,  

例题 I  ( 2 0 0 2年上海 春 季高 考题 ) 已知 
^ 

+ ∞ )卜是 减 甬数 .  

函数 厂 (  ) =口  +  

( 口>1 ) , 证 明: 函数  由于 l i m  
x  

f (  ) 在( 一1 , +∞) 上 为增 函数 .   证 明: 当 a> I , 且  ∈ ( 一I , + ∞) 时,  

:I , 所 以, 当 0 <1  

0   x  + 1  

时, 厂(  ) =—   = 一口在 区 间 [ 0 , +∞) 上 
、 /   + l  

厂(  ) =口   l n a+  
‘   、   十 l  

>0 , 所 以 函数 

不可 能恒 正或 恒 负 , 即不可 能 单调 .   因此 当 且 仅 当 a≥ l时 , 函数 厂 (   )=    ̄ /   +I 一‘ a x , ( a>0 ) 在 区间 [ 0 , +∞) 上是 单 
调 函数 .  

厂 (  ) 在( 一I , +∞) 上为 增 函数 .   2 判断 函数 的单 调 性 

例题 2   ( 2 0 0 0年 全 国 高 考 题 ) 设 函数 
厂 (  ) = ̄ /   +I 一口  ( 0>0 ) , 求 口的取 值 范 

在 BC上 ,如 图 8 ,设 △ A B C周 长 为 3 s( s   >0 ) ,又 设  P =  l   s ,Q B =2   2   s ,R C=  

(   一   2 +   3 ) 等 (   1   +   l +   2 )   二 o △   … 肥 。 因 ‘   三 — — 角 , "  
I  

3   s ,其 中   l 、   2 、   3∈ R  , 则 P =  
,   =   ,

形 边长 小 于半 周长 , . ? . 1 +  。 +  2 <   ,l —  
2 +  3 < 

元  

3及 


2< 


l —  l <   ,有 l 一  



 


又 2 s …  × 元 +  
二  

> 吉 ,因 此  S    ̄ p Q R =  
I—   2   2   2  

×   +   ×   f =   二 

A   ×   C   +   C  ×   B  +   B  ×   A   l   =  

可 

>  
2   2  

。  
2 3  ?  

? 


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