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【解析版】无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷高三数学


无锡市 2013 年秋学期普通高中期末考试试卷

高三数学试题
参考公式: 1 n 1 n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2= ∑(xi-- x )2,其中- x = ∑xi. ni=1 ni=1 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在相应位置上. 1.已知集合 A={0

,m},B={1,2},A∩B={1},则 A∪B=________. 2.若 z1=3-2i,z2=1+ai(a∈R),z1·z2 为实数,则 a 等于________. 1 3.已知 p:x2-2x-3<0;q: <0.若 p 且 q 为真,则 x 的取值范围是________. x-2 4.甲、乙两个学习小组各有 10 名同学,他们在一次数学测验中成绩的茎叶图(如图),则 他们在这次测验中成绩较好的是________组. 5.已知一个算法(如下图),则输出结果为________. a←1 b←1 For n Form 3 To 10 m←b b←a+b a←m End For Print b (第 4 题) 6.已知正六棱柱的侧面积为 72 cm2,高为 6 cm,那么它的体积为________cm3. 7.甲、乙两人玩数学游戏,先由甲心中任想一个数字记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字, 把乙猜的数字记为 b,且 a、b∈{3,4,5,6}.若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”,现任 意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________. x≥0, ? ? y 8.已知变量 x、y 满足条件?y≤-x+3,则 的取值范围是________. x-2 ? ?y≥2x, π? π ? 9.已知函数 f(x)=sin?2x-6?的图象 C1 向左平移 个单位得到图象 C2,则 C2 在[0,π]上的 4 单调减区间是________. → → → 10.已知向量OA=(3,-4),OB=(5,-3),OC=(4-m,m+2).若点 A、B、C 能构成 三角形,则实数 m 应满足条件________. x2 y2 11.双曲线 2- 2=1(a>b>0)右支上一点 P 到左焦点的距离是到右准线距离的 6 倍,则该 a b 双曲线离心率的范围为________. 12 .已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足: 4Sn= (an +1)2. 设 bn = a2n - 1 , Tn =b1 + b2 +?+ bn(n∈N*),则当 Tn>2 013 时,n 的最小值为________.

? ?4 ,x∈? ?0,2?, π ? x 13.设函数 f(x)=? g(x)=asin? 6 ?-a+2(a>0).若存在 x 、x ∈[0, ? 1 ? ? ?-x+1,x∈?2,1?,
x 1 2

1

1

1],使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围为________. 1 1 3 14.若第一象限内的动点 P(x,y)满足 + + =1,R=xy,则以 P 为圆心,R 为半径且 x 2y 2xy 面积最小的圆的方程为________________. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知平面 BB1C1C⊥平面 ABC,AB=AC,D 是 BC 中点,且 B1D ⊥BC1.求证: (1) A1C∥平面 B1AD; (2) BC1⊥平面 B1AD.

16.(本小题满分 14 分)

(第 15 题)

3 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,cosC= . 10 → → 9 (1) 若CB·CA= ,求 c 的最小值; 2 B cos2B,1-2sin2 ?,且 x∥y,求 sin(B-A)的值. (2) 设向量 x=(2sinB,- 3),y=? 2? ?

17.(本小题满分 14 分) → → 如图,已知椭圆 E 的中心为 O,长轴的两个端点为 A、B,右焦点为 F,且AF=7FB,椭圆 16 E 的右准线 l 的方程为 x= . 3 (1) 求椭圆 E 的标准方程; → → → → (2) 若 N 为准线 l 上一点(在 x 轴上方), AN 与椭圆交于点 M, 且AN· MF=0, 记AM=λMN, 求 λ.

(第 17 题)

18.(本小题满分 16 分) 如图所示,把一些长度均为 4 m(PA+PB=4 m)的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐 篷.根据人们的生活体验知道:人在帐篷里的“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度 x+y 有关,设 AB 为 x,AB 边上的高 PH 为 y,则 k= 2 2.若 k 越大,则“舒适感”越好. x +y (1) 求“舒适感”k 的取值范围; (2) 已知 M 是线段 AB 的中点,H 在线段 AB 上,设 MH=t,当人在帐篷里的“舒适感”k 达到最大值时,求 y 关于自变量 t 的函数解析式,并求出 y 的最大值(请说明详细理由).

(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) c2-x 在正数数列{an}(n∈N )中,Sn 为{an}的前 n 项和,若点(an,Sn)在函数 y= 的图象上, c-1 其中 c 为正常数,且 c≠1. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 是否存在正整数 M,使得当 n>M 时,a1·a3·a5·?·a2n-1>a101 恒成立?若存在,求 出使结论成立的 c 的取值范围和相应的 M 的最小值; (3) 若存在一个等差数列{bn},对任意 n∈N*,都有 b1an+b2an-1+b3an-2+?+bn-1a2+bna1 5 =3n- n-1 成立,求{bn}的通项公式及 c 的值. 3
*

20.(本小题满分 16 分) lnx 已知函数 f(x)= +ax+b 的图象在点 A(1,f(1))处的切线与直线 l:2x-4y+3=0 平行. x (1) 证明:函数 y=f(x)在区间(1,e)上存在最大值; 3? (2) 记函数 g(x)=xf(x)+c,若 g(x)≤0 对一切 x∈(0,+∞),b∈? ?0,2?恒成立,求 c 的取 值范围.

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高三数学加试题
(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】从 A、B、C、D 四小题中选做两小题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应 写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修 4-1:几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图, 锐角三角形 ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E, 若△ABC 面积 S= AD·AE,求∠BAC 的大小. 3 4

B.(选修 4-2:矩阵与变换) (本小题满分 10 分) 0 ? ?1 2?=?1 0?M? 1 求使等式? ? ? ? ? ?成立的矩阵 M. ?3 4? ?0 2? ? 0 -1 ?

(第 21-A 题)

C.(选修 4-4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方 程为 ρ=2cosθ,如图,曲线 C 与 x 轴交于 O、B 两点,P 是曲线 C 在 x 轴上方图象上任意一点, 连结 OP 并延长至 M,使 PM=PB,当 P 变化时,求动点 M 轨迹的长度.

(第 21-B 题)

D.(选修 4-5:不等式选讲) (本小题满分 10 分) 1 1 1 已知 a、b、c 均为正数,且 a+2b+4c=3.求 + + 的最小值,并指出取得最小 a+1 b+1 c+1 值时 a、b、c 的值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线. (1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数; (2) 猜想凸 n 边形的对角线条数 f(n),并用数学归纳法证明.

23. (本小题满分 10 分) 从集合 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个元素构成子集{a,b,c}. (1) 求 a、b、c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2 的概率; (2) 记 a、b、c 三个数中相邻自然数的组数为 ξ(如集合{3,4,5}中 3 和 4 相邻,4 和 5 相 邻,ξ=2),求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ).

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高三数学参考答案及评分标准
一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 2 1.{0,1,2} 2. 3.(-1,2) 4.甲 3 π 7 ? 5 6.36 3 7. 8.[-2,0] 9.? ?12,12π? 8 11.(1,2]∪[3,6) 12.10 13.[1,4] 5.55

11 10.m≠- 3 3?2 81 14.(x-3)2+? ?y-2? = 4

二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.证明:(1) 连结 BA1 交 AB1 于点 O,由棱柱知侧面 AA1B1B 为平行四边形, ∵ O 为 BA1 的中点,又 D 是 BC 中点,∴ OD∥A1C.(3 分) ∵ A1C ? 平面 B1AD,OD ? 平面 B1AD, ∴ A1C∥平面 B1AD.(6 分) (2) ∵ D 是 BC 中点,AB=AC, ∴ AD⊥BC.(7 分) ∵ 平面 BB1C1C⊥平面 ABC, 平面 BB1C1C∩平面 ABC=BC, AD ? 平面 ABC, ∴ AD⊥平面 BB1C1C.(11 分) ∵ BC1 ? 平面 BB1C1C, ∴ AD⊥BC1.(12 分) 又 BC1⊥B1D,且 AD∩B1D=D, ∴ BC1⊥平面 B1AD.(14 分) → → 9 16.解:(1) ∵ CB·CA= , 2 9 ∴ abcosC= ,∴ ab=15.(2 分) 2 3 ∴ c2=a2+b2-2abcosC≥2ab-2ab· =21.(4 分) 10 ∵ c>0,c≥ 21,∴ c 的最小值为 21.(6 分) 2B? (2) ∵ x∥y,∴ 2sinB? ?1-2sin 2 ?+ 3cos2B=0, 2sinBcosB+ 3cos2B=0,(8 分) 即 sin2B+ 3cos2B=0,(9 分) 2π 5π π 5π ∴ tan2B=- 3,∴ 2B= 或 ,∴ B= 或 .(10 分) 3 3 3 6 3 1 π 5π π ∵ cosC= > ,∴ C> ,∴ B= 舍去,∴ B= .(11 分) 10 2 3 6 3 π ? ∴ sin(B-A)=sin[B-(π-B-C)]=sin? ?C-3?(12 分)

π π =sinCcos -cosCsin 3 3 91-3 3 91 1 3 3 = · - · = .(14 分) 10 2 10 2 20 x2 y2 17.解:(1) 由题意,设椭圆方程为 2+ 2=1,半焦距为 c, a b → → 由AF=7FB,得 a+c=7(a-c),得 3a=4c.① a2 16 由准线方程,得 = .②(2 分) c 3 解①②得 a=4,c=3.∴ b2=a2-c2=7.(5 分) x2 y2 ∴ 所求椭圆 E 的标准方程为 + =1.(6 分) 16 7 → → → → (2) 设 M 坐标为(x,y),由AN·MF=0,即AM·MF=0, 2 2 2 得(x+4)(3-x)-y =0,∴ y =-x -x+12.(8 分) x2 y2 又点 M 满足 + =1,消 y 得 9x2+16x-80=0, 16 7 20 解得 x= 或 x=-4(舍去).(11 分) 9 → → 将 A、M、N 的横坐标代入AM=λMN,得 16 20? 20 +4=λ? ? 3 - 9 ?,∴ λ=2.(14 分) 9 18.解:(1) k= x+y
2

x +y 2xy ∵ x2+y2≥2xy,∴ 2 2≤1(当且仅当 x=y 时,取“=”号),∴ k≤ 2.(4 分) x +y 2xy ∵ 2 2>0,∴ k>1,∴ k 的取值范围是(1, 2].(6 分) x +y (2) 由 PA+PB=4 及(1)的结论,得 2 2 ?1y+t? +y2+ ?1y-t? +y2=4,(8 分) ?2 ? ?2 ? 2 2 ?1y+t? +y2=4- ?1y-t? +y2. ∴ ?2 ? ?2 ? 两边平方、化简得 y=4 4-t2 ,(10 分) 20-t2

2=

x2+2xy+y2 = x2+y2

1+

2xy ,(2 分) x +y2
2

当 H 与 M 重合时,t=0, 当 H 与 A 重合时,有 PA=AB=y, ∴ y2+y2=(4-y)2,∴ y=4 2-4,即 t=2 2-2,(12 分) 16 ∴ y=4 1- (0≤t≤2 2-2).(13 分) 20-t2 4 16 ∵ 0≤t≤2 2-2,∴ ∈? ,2 2-2? ?, 20-t2 ?5 1? 16 ? ∴ 1- 2∈ 3-2 2, ,(15 分) 5 ? 20-t ?

4 5 ∴ ymax= ,此时 t=0.(16 分) 5 说明:若没有过程,直接求出 y 的最大值得 2 分. c2-an c2-an c2-an-1 an-1-an 19.解:(1) Sn= ,n≥2 时,Sn-Sn-1= - ,an= ,(c-1)an=an c-1 c-1 c-1 c -1 an 1 = , -1-an,can=an-1, an-1 c ∴ {an}是等比数列.(2 分) c2-x 将(a1,S1)代入 y= 中,得 a1=c,(3 分) c-1 1?n-2 故 an=? ?c? .(4 分) (2) 由 a1·a3·a5·?·a2n-1>a101,得 2n-3 99 1?0 ?1?1 ?1? >?1? , c·? · ·?· ? c? ? c? ? c? ? c? n(n-2) 99 1 1 ? ? ∴ ? >? ? c? ?c? .(5 分) 1 若 >1,即 0<c<1 时,n(n-2)>99,得 c n>11 或 n<-9(舍去);(6 分) 1 若 <1,即 c>1 时,n(n-2)<99,得-9<n<11,不符合 n>M 时,a1·a3·a5·?·a2n-1>a101 c 恒成立,故舍去.(7 分) ∴ c 的取值范围是(0,1),相应的 M 的最小值为 11.(8 分) 1?n-2 (3) 由(1)知,an=? ? c? ,由{bn}为等差数列,设 bn=b1+(n-1)d.b1an+b2an-1+b3an-2+? 5 +bn-1a2+bna1=3n- n-1(n∈N*),① 3 5 1 当 n=1 时,b1c=3- -1= .②(9 分) 3 3 5 - 当 n≥2 时,b1an-1+b2an-2+b3an-3+?+bn-2a2+bn-1a1=3n 1- (n-1)-1,③ 3 ①-③注意到 b2-b1=b3-b2=?=bn-bn-1=d. 5 - 得 b1an+d(an-1+an-2+?+a2+a1)=3n-3n 1- ,(11 分) 3 n-2 1? 将 an=? ?c? 代入上式,得 1?n-2 c2d ? ?1?n-1? n-1 5 b1? ?c? +c-1?1-? c? ?=2×3 -3, c2d ??1?n-1 c2d 5 - ? b c - 整理得 1 c-1 ? c? + =2×3n 1- .④(13 分) 3 ? ? c-1 ∵ ④式对一切 n(n≥2)恒成立,则必有

? ?b c- c d =2,⑤ (14 分) ? c-1 ? . ?cc-d1=-5 3
2 1 2

1 =3, c

? ?c=3, 1 解②⑤,得? 故 b =10n-9,c= .(16 分) b =1, 3 ?d=10. ?
1 n

1

1-lnx 20.(1) 证明:对 f(x)求导,f′(x)= 2 +a,(1 分) x 1 由函数图象在点 A 处的切线与直线 l 平行,且 l 的斜率为 , 2 1 1 1 ∴ f′(1)= ,1+a= ,∴ a=- .(3 分) 2 2 2 1-lnx 1 2-2lnx-x2 ∴ f′(x)= 2 - = . x 2 2x2 1 1 ∵ f′(1)= >0,f′(e)=- <0,(5 分) 2 2 ∴ f′(x)在区间(1,e)上存在一个零点,设为 x0,则 x0∈(1,e),且 f′(x0)=0.当 x∈(1,x0) 时,f′(x)>0,∴ f(x)在(1,x0)上单调增; 当 x∈(x0,e)时,f′(x)<0,∴ f(x)在(x0,e)上单调减. ∴ 当 x=x0 时,函数 y=f(x)取得最大值. 故函数 y=f(x)在区间(1,e)上存在最大值. (7 分) 1 (2) 解:由 f(x)=lnx- x2+bx+c≤0 恒成立, 2 1 2 ∴ c≤ x -bx-lnx. 2 1 记 h1(x)= x2-bx-lnx(x>0),则 c=[h1(x)]min.(8 分) 2 1 h1′(x)=x-b- .令 h1′(x)=0,得 x2-bx-1=0, x 2 -b± b +4 ∴ x= .(10 分) 2 3 b- b2+4 0, ?,∴ x1= ∵ b∈? <0(舍去), ? 2? 2 b+ b2+4 x2= ∈(1,2).(12 分) 2 当 0<x<x2 时,h1′(x)<0,h1(x)单调减; 当 x>x2 时,h1′(x)>0,h1(x)单调增, 1 ∴ h1(x)min=h1(x2)= x2 -bx2-lnx2 2 2 1 1 2 = x2 +1-x2 2-lnx2=- x2-lnx2+1.(14 分) 2 2 2

1 记 h2(x)=- x2 -lnx2+1, 2 2 ∵ h2(x)在(1,2)上单调减, ∴ h2(x)>h2(2)=-1-ln2,∴ c≤-1-ln2, 故 c 的取值范围是(-∞,-1-ln2].(16 分)

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高三数学加试题参考答案及评分标准
21.A.解:连结 BE,由 AD 是∠BAC 的平分线, ∴ ∠BAE=∠CAE. 由圆周角结论,得∠AEB=∠ACB, ∴ △ABE∽△ADC, ∴ AD·AE=AB· AC.(5 分) 1 ∴ S△ABC= AB·ACsin∠BAC 2 = 3 AD·AE, 4 3 . 2

∴ sin∠BAC=

π? π ∵ ∠BAC∈? ?0,2?,∴ ∠BAC=3.(10 分) B.解:设 M=?

? a b ?, ? ? c d ?

? 1 0 ?? a b ?=? a b ?,(3 分) ? ?? ? ? ? ? 0 2 ?? c d ? ? 2c 2d ?
∴ ?

? a b ? 2c 2d

0 ? ? a -b ? ?? 1 ?? ? =? ?.(6 分) ?? 0 -1 ? ? 2c -2d ? 1=a, ? ? -b ? 2=-b, ?,∴ ? -2d ? 3=2c, ? ?4=-2d,

∴ ?

? 1 2 ? 3 4

?=? a ? ? ? ? 2c

? b=-2, ? 1 ? ∴ ? 3 ∴ M=? 3 ? c= , ? 2 2 ? ?d=-2.
a=1,

-2 ? -2 ?

?.(10 分) ?

π? C.解:设 M(ρ,θ),θ∈? ?0,2?,则 OP=2cosθ,PB=2sinθ. ∴ ρ=OP+PB=2cosθ+2sinθ,(4 分)

∴ ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ. 转化为普通方程:x2+y2=2x+2y,(8 分) ∴ M 的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2(x>0,y>0).(9 分) ∴ 点 M 的轨迹长度为 2π .(10 分) D.解:∵ a+2b+4c=3, ∴ (a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.(3 分) ∵ a、b、c 为正数, 1 1 1 ∴ 由柯西不等式得[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]· ( + + )≥(1+ 2+2)2. a+1 b+1 c+1 当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等号成立.(6 分) 11+6 2 1 1 1 + + ≥ , 10 a+1 b+1 c+1 ∴ 2(c+1)+2 2(c+1)+4(c+1)=10, 8-5 2 15 2-17 23-10 2 ∴ c= ,b= ,a= .(10 分) 7 7 7 22.解:(1) 凸四边形的对角线条数为 2 条; 凸五边形的对角线条数为 5 条; 凸六边形的对角线条数为 9 条.(3 分) n(n-3) (2) 猜想 f(n)= (n≥3,n∈N*).(4 分) 2 证明:当 n=3 时,f(3)=0 成立;(5 分) 设当 n=k(k≥3)时猜想成立, k(k-3) 即 f(k)= , 2 则当 n=k+1 时, 考察 k+1 边形 A1A2?AkAk+1, ① k 边形 A1A2?Ak 中原来的对角线也都是 k+1 边形中的对角线,且边 A1Ak 也成为 k+1 边形中的对角线; ② 在 Ak+1 与 A1,A2,?,Ak 连结的 k 条线段中,除 Ak+1A1、Ak+1Ak 外,都是 k+1 边形中 的对角线,共计有 f(k+1)=f(k)+1+(k-2) = k(k-3) +1+(k-2) 2

k2-3k+2k-2 = 2 = = k2-k-2 (k+1)(k-2) = 2 2 (k+1)(k+1-3) , 2

即猜想对 n=k+1 时也成立.(9 分)

n(n-3) 综上,得 f(n)= 对任何 n≥3,n∈N*都成立.(10 分) 2 23.解:(1) 从 9 个不同的元素中任取 3 个不同元素,为古典概型. 记“a、b、c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2”为事件 A,其基本事件总数为 n=C3 9.(2 分) 由题意,a、b、c 均不相邻,利用插空法得,事件 A 包含基本事件数 m=C3 7.(4 分) C3 5 7 故 P(A)= 3= . C9 12 5 ∴ a、b、c 中任意两数之差的绝对值均不小于 2 的概率为 .(6 分) 12 (2) ξ P (9 分) 5 1 1 2 ∴ E(ξ)=0× +1× +2× = .(10 分) 12 2 12 3 0 5 12 1 1 2 2 1 12

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高三数学参考答案及解析
1.{0,1,2} 解析:∵ A∩B={1},∴ m=1,从而 A∪B={0,1,2}. 本题考查集合的概念与基本运算.本题属于容易题. 2 2 2. 解析:z1z2=(3-2i)(1+ai)=3+3ai-2i+2a=(3+2a)+(3a-2)i∈R.从而 a= . 3 3 本题考查复数的概念与四则运算.本题属于容易题. 3. (-1, 2) 解析: 由题设知 p 真且 q 为真. 从而有(x-3)(x+1)<0, 且 x-2<0, 即-1<x<2. 本题考查命题与简易逻辑的概念,一元二次不等式的解法等基础知识.本题属于容易题. 1 4.甲 解析:V 甲=(61+65+78+79+81+83+86+87+88+90)× =79.8, 10 (58+64+62+78+76+76+75+74+89+80) V 乙= =73.2. 10 本题考查茎叶图,平均数的概念等基础知识.本题属于容易题. 5.55 解析:由流程图知循环体执行 8 次,第 1 次 m=1,b=2,a=1,第 2 次 m=2,b =3,a=2,第 3 次 m=3,b=5,a=3,依次类推知退出时 m=31,b=55,a=31. 本题考查流程图的基础知识.本题属于容易题. 6.36 3 解析:由题意设底面正六边形边长为 a,则 S 侧=6a×6=72,即 a=2.从而 V 体 3 =Sh= a2×6×6=36 3. 4 本题考查正棱柱基本概念及面积与体积的计算.本题属于容易题. 5 7. 解析:基本事件总数列举为{(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(4, 8 5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}共 16 种,其中 10 5 符合|a-b|≤1 的有 10 种,从而 P(心有灵犀)= = . 16 8 本题考查古典概型的基本概念,以及列举法求古典概型的概率.本题属于容易题. y 8.[-2,0] 解析:由题设画出可行域如下图, 等价于点(x,y)到点(2,0)连线的斜率; x-2 y 又 kAB=-2,kBO=0,从而 ∈[-2,0]. x-2 本题考查线性规划基本知识以及斜率的几何意义.本题属于容易题.

π 7 ? π π π 3 9.? ?12,12π? 解析:由题设可知 C2 的曲线方程 y=sin(2x+3),令2+2kπ≤2x+3≤2π+ π 7 ? π 7 , π . 2kπ,得 +kπ≤x≤ π+kπ.令 k=0 得 C2 在[0,π]上的单减区间为? 12 12 ? ? 12 12

本题考查三角函数图象的平移以及单调性的性质,属于容易题. 11 → → → → 10.m≠- 解析:假设 A、B、C 三点共线,即有AB∥AC.又AB=(2,1),AC=(1-m, 3 1-m m+6 11 11 m+6),从而 = ,即 m=- ,所以当 A、B、C 三点能够组成三角形时,m≠- . 2 1 3 3 本题考查三点共线等平面向量的基础知识,同时也考查了正难则反的“补集”思想.本题 属于中等题. PF2 6 11.(1,2]∪[3,6) 解析:设 P 到右准线距离为 d,则有 =e,又由题设知 PF1=6d= d e 6 6 PF2,由双曲线的定义知 PF1-PF2=2a,从而有 PF2-PF2=2a,即有 PF2( -1)=2a,即 PF2 e e e2-5e+6 (e-2)(e-3) 2a = ≥c-a, 两边同除 a, 整理化简可得 ≥ 0, 即 ≤0, 即 1<e≤2 或 3≤e<6. 6 6-e e-6 -1 e 本题考查双曲线两种定义及双曲线的有关性质,属于中等题. 【恩波版】 x2 y2 记双曲线 2- 2=1(a>b>0)左、右焦点分别为 F1,F2,设点 P 到右准线距离为 d,则由题意 a b 6d-2a 得点 P 到左焦点的距离为 PF1=6d.由于 PF1-PF2=2a,所以 PF2=6d-2a,所以 d 2 2 2a a ? ?6a-c≥a- c , c 2a2 a2 = ,所以 d= .又因为 d≥a- ,所以? 解得此双曲线的离心率 e 的 a c 6a-c ? ?6a-c>0, 取值范围是(1,2]∪[3,6). 12.10 解析:∵ 4Sn=(an+1)2,∴ n≥2 时有 4Sn-1=(an-1+1)2,两式相减,得 4(Sn- Sn-1)=(an+an-1+2)(an-an-1),n≥2,进一步整理可知(an+an-1)(an-an-1-2)=0.又 an>0,从 + 而 an-an-1=2(n≥2),从而 an=2n-1,bn=a2n-1=2n-1,∴ Tn=2n 1-(n+2)>2 013,n≥10 时,Tn>2013,且 T9<2013,Tn 关于 n 单调递增,从而 n 的最小值为 10. 本题考查数列 Sn 与 an 综合应用, 考查了等差数列与等比数列概念与性质的综合应用. 本题 属于难题. 【恩波版】 因为 4Sn=(an+1)2,当 n=1 时,4S1=(a1+1)2,即(a1-1)2=0,a1=1;当 n≥2 时,4Sn- 2 4Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2,整理得 4an=a2 n-an-1+2an-2an-1,(an+an-1)(an-an-1-2) ?1,n为奇数, ? =0,所以 an=-an-1 或 an-an-1=2.当 an=-an-1 时,an=? 所以 bn=a n-1 2 ? ?-1,n为偶数, ?1,n=1, ?1,n=1, ? ? =? 于是 Tn=b1+b2+?+bn=? 此时不等式 Tn>2013 的解集为 ?-1,n≥2, ?2-n,n≥2, ? ? ?.当 an-an-1=2 时,数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 an=1+2(n-1) 2(1-2n) + =2n-1,所以 bn=a n-1 =2n-1,所以 Tn=b1+b2+?+bn= -n=2n 1-2-n.令 1-2 2 + + Tn>2013,2n 1-2-n>2013,2n 1-n>2015,当 n=9 时,210-9<2015;当 n=10 时,211 -10>2015,所以 n 的最小值为 10.

a? 13.a=2 解析:由题设易知 f(x)的值域为 A=[0,1],g(x)的值域为? ?2-a,2-2?,由题 a 设知 A∩B≠?,又当 A∩B=?时,有 2-a≤0 或 2- >1 即 a≥2 或 a≤2,从而当 A∩B≠?时有 2 a=2. 本题考查函数知识的综合运用,同时考查了正难则反的“补集”的思想.本题属于难题. 【恩波版】 1? ?1 ? ?1 ? ? 1? 对于函数 f(x),当 x∈? ?0,2?时,f(x)∈?2,1?;当 x∈?2,1?时,f(x)∈?0,2?.从而当 x∈ π π π 1 [0,1],函数的值域为 D1=[0,1].对于函数 g(x),因为 0≤x≤1,0≤ x≤ ,0≤sin x≤ , 6 6 6 2 π 1 ? 所 以 2 - a≤asin ? ?6x? - a + 2≤2 - 2 a . 从 而 当 x ∈ [0 , 1] , 函 数 g(x) 的 值 域为 D2 = ?2-a,2-1a?(a>0).因为存在 x1,x2∈[0,1],使 f(x1)=g(x2),所以 D1∩D2≠?.若 D1 2 ? ? 1 ∩D2=?,则 2- a<0 或 2-a>1,解得 0<a<1 或 a>4.所以当 D1∩D2≠?时,1≤a≤4,即 2 实数 a 的取值范围是[1,4]. 【春雨版】 若存在 x1,x2∈[0,1],使 f(x1)=g(x2)成立,即函数 f(x),x∈[0,1]的值域与 g(x),x∈[0, 1]的值域有交集. 1? 1 ?1 ? 当 x∈? ?0,2?时,f(x)=4x∈?2,1?, 1 ? 1 ,1 时,f(x)=-x+1∈?0, ?, 当 x∈? ?2 ? ? 2? 所以 f(x),x∈[0,1]的值域是[0,1]. 1 π 0, ?, 当 x∈[0,1],sin x∈? 6 ? 2? 1 -a+2,- a+2?. 又 a>0,所以 g(x)∈? 2 ? ? 1 当- a+2<0 或-a+2>1, 2 即 a>4 或 a<1 时,函数 f(x),x∈[0,1]的值域与 g(x),x∈[0,1]的值域没有交集,所以若 函数 f(x),x∈[0,1]的值域与 g(x),x∈[0,1]的值域有交集时,实数 a 的取值范围是[1, 4]. 3 2 81 y- ? = 14.(x-3)2+? ? 2? 4 解析:2xy-3=x+2y≥2 2xy,令 t= 2xy>0,则 t2-2t-3≥0

1 9 即(t-3)(t+1)≥0,∴ t≥3.又 R=xy= t2≥ ,当且仅当 x=2y 时“=”成立,即此时 x=3,y 2 2 3 2 81 3 y- ? = . = .∴ 面积最小的圆的方程为(x-3)2+? ? 2? 4 2 本题考查了基本不等式的综合应用及等价转化思想.本题属于难题.

【恩波版】 解法 1 1 1 3 因为点 P(x,y)在第一象限,所以 x>0,y>0.又因为 + + =1,R=xy,所以 x 2y 2xy

x+2y+3 =1,即 x+2y+3=2xy,所以 2xy=x+2y+3≥2 2xy+3,2xy-2 2xy-3≥0, 2xy x=2y, ? ? 9 3 即( 2xy+1)( 2xy-3)≥0,解得 xy≥ ,当且仅当?1 1 即 x=3,y= 时取等 3 2 2 ? ?x+2y+2xy=1, 号. 3 3 2 81 9 3, ?,半径 R= ,所求圆的方程为(x-3)2+?y- ? = . 此时圆心 P? ? 2? ? 2? 4 2 1 1 3 2 1 2x x x-1 2x 5 9 解法 2 + + =1 变形为 y= + ,则 R=xy= + = + + ≥ ,当 x 2y 2xy 2 x-1 2 x-1 2 x-1 2 2 3 3 2 81 3, ?,故所求圆的方程为(x-3)2+?y- ? = . 且仅当 x=3 时取等号,此时 P? ? 2? ? 2? 4 【天利版】 3 1 1 1 3 1 -1?? +1?≤0;又 · + ,即? +1>0,因 x 2y 2xy ? 2xy ?? 2xy ? 2xy 3 2 81 3 9 y- ? = . 此 -1≤0, xy≥ , 当且仅当 x=2y=3 时取等号, 因此所求圆的方程为(x-3)2+? ? 2? 4 2 2xy 1 1 3 依题意得 1= + + ≥2 x 2y 2xy


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