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韶关市2016届高考模拟测试(理数)

时间:2016-04-29


韶关市 2016 届高考模拟测试 数学(理科)
说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔 写在答卷上。 2.第 I 卷每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡

上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. (1)设全集 U=R,集合 A ? {x | x2 ? 1}, B ? {x | x ? 2} ,则 A ? (? U B) ?

{x | ?1 ? x ? 2} A.

B. {x | x ? ?1或1 ? x ? 2}

{x | x ? ?1} C.

{x | x ? 2} D.

(2)设 i 为虚数单位,已知复数 z 满足 A. 1 ? i B. 2 ? 2i

z ? i ,则其共轭复数 z 为 z ? 2i
C. 1 ? i D.

2 ? 2i

(3)某游戏规则如下:随机地往半径为 4 的圆内投掷飞标,若飞镖到圆心的距离大于 2 , 则成绩为及格;若飞镖到圆心的距离小于 1 ,则成绩为优秀;若飞镖到圆心的距离大于或等 于 1 且小于或等于 2 ,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞镖中得到成绩为良好的概 率为 A.

1 16

B.

3 16

C.

1 4

D.

3 4

x2 y 2 ( 4 )已知椭圆 2 + 2 =1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 b a
BF ⊥ x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P .若

AP PB

? 2 ,则椭圆的离心率是

.c.o.

开 始 n=10, i=1

3 A. 2

2 B. 2

1 C. 3

1 D. 2
是 n=3n+1

n 是奇数? 否 n n= 2 i=i+1 n=1? 否

(5)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
1

是 输出 i 结 束

(6)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,
5

f ( x) ? x2 ? 2x ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? 1 的零点的个数是
A.

1

B. 2

C. 3

D. 4
4 正视图

3

(7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 12? ?

4 侧视图

8 5 3

B. 4? ?

8 5 3

C. 12? ? 8 5

D. 4? ? 8 5
俯视图
*

(8)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ),若当首项 a1 和公差 d 变化时, a7 ? a9 ? a11 是一个定值,则下列选项中为定值的是 A. S15 B. S16 C. S17 D. S18

x 2 y2 - =1 的 右 支 上 一 点 , M 、 N 分 别 是 圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 (9) P 是双曲线 9 16

( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为(



A.9 B.8 C.7 D. 6 (10)在“家电下乡”活动中,某厂要将至少 100 台洗衣机运往邻近的乡镇.现有 4 辆甲型货 车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型 货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输 费用为 A. 2000 元 B. 2200 元 C. 2400 元 D. 2800 元 (11) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 ( x ? 1) f '( x) ? 0 ( f '( x) 是 f ( x ) 的导函数) , 且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,当 x1 ?1 ? x2 ?1 时,恒有 A.

f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 )

B. f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 ) D. f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 )

C. f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 )

( 12 )已知棱长为 1 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AE ? ? AB, D1F ? ? D1B ,其中

??? ?

??? ? ???? ?

???? ?

??? ? ? ?0,1? , ? ? ?0,1?, 满足 EF // 平面 AA1D1D , 则当三棱锥 A ? EFB 1 的体积最大时,
的值为 A.

1 2

B.

2 3

C.

4 3

D. 1

2

第Ⅱ卷
本卷必考题与选考题两部分,第(13)至(21)题是必考题,每个试题考生必须做答, 第(22)至(24)是选考题,考生根据要求做答。 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分). (13) ( x ? ) 4 的展开式的常数项为___________(具体数值作答). (14)已知函数 f ? x ? ? 3cos x ? sin x ,且 x ??0, ? ? ,则 f ? x ? 的最小值是___________. (15)已知 A 、 B 是单位圆 O 上的两点, CB ? 2 AC , ?OAB ? 60 , 则 OA ? OC ? ___________.
?

1 x

??? ?

????

??? ? ??? ?

(16)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn ,若 Tn ? 2n 最小项的序号 n ? 三.解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)

2

?n

,则数列 ?

? an ? 63 ? 中 n ?1 ? ? 2 ?

在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 (sin A ? sin B )(a ? b) ? ( a ? c) sin C (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 b ? 1 ,求 ?ABC 面积的最大值. (18)(本小题满分 12 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 n 名电视观众, 下图是观众年龄的频率分布直方图,已知年龄在 ?30,35? 的人数为 10 人. 频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 20 25 30 35 40 (Ⅰ)完成下列 2 ? 2 列联表:
文艺节目 大于或等于 20 岁至小于 40 岁 大于或等于 40 岁 总计 40 新闻节目 总计

1 2

45 50 55 60 年龄

30

并据此资料检验,在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,能否认为收看文艺节目的观 众与年龄有关?

3

(Ⅱ)根据用分层抽样方法在收看文艺节目的观众中随机抽取 6 名进一步了解观看节目情 况,最后在这 6 名观众中随机抽出 3 人获奖,记这获奖 3 人中年龄大于或等于 40 岁的人数 为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. 参考公式与临界值表: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P(K 2 ? k0 )
k0

0.10 2.706

(19) (本小题满分 12 分)
如图, 等边三角形 PAB 所在的平面与平行四边形 ABCD 所在的平面垂直,E 是线段 BC 中 点, ?ABC ? 60 , BC ? 2 AB ? 2.
?

P

(Ⅰ)在线段 PA 上确定一点 F ,使得 EF // 平面 PCD ,并说明理由; (Ⅱ)求二面角 P ? CD ? A 的余弦值. F

A

D

(20) (本小题满分 12 分) 已知动圆过定点 F ? 0,1? ,且与直线 y ? ?1 相切

B

E

C

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 作直线交曲线 C 于 A 、 B 两点. 若直线 AO 、 BO ( O 是坐标原点)分别交 直线 l: y ? x ? 2 于 M 、 N 两点,求 MN 的最小值.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 ? ax , a ? R . x

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若 f ( x ) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,试比较 x1 x2 与 2e 的大小. (参考数据, e ? 2.7 ,取 ln 2 ? 0.7 , 2 ? 1.4 , ) 请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分,解答时请写清题号.
4
2

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AD是?ABC 边 BC 上的高, DE ? AB, DF ? AC (Ⅰ)证明: B, C , F , E 四点共圆; (Ⅱ)若 AF ? 5, CF ? 2, DE ? 2 5 ,求 AB 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系,曲线 C 1 的 参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? 3 ? ( ? 为参数),曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? . ? ? y ? 2sin ? ? 1

(I)求曲线 C1 的极坐标方程; (II)若射线 ? ?

?
6

( ? ? 0) 交曲线 C 1 和 C2 于 A 、 B ( A 、 B 异于原点),求 AB .

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x ) ? x ? 1 . (I)求不等式 f ( x) ? 3 的解集 A ; (II)当 m, n ? A 时,证明: 4 | m ? n |?| mn ? 16 | .

5

数学(理科)参考答案
说明: 1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正 确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:BCBDA BACAB AD 1. 由已知, CU B ? x x ? 2 ,又 A ? {x | x ? 1或x ? ?1} ,所以 A ? ? UB ?

?

?

{x | x ? ?1或1 ? x ? 2} ,故选 B.
2. 由已知得 z ? ( z ? 2i) ? i ,即 (1 ? i ) z ? 2 , z ? 3. 解析:根据几何概型可知 P ?

2 ? 1 ? i ,所以, z ? 1 ? i 故选 C 1? i

S圆环 4? ? ? 3 ? ? ,故选 B. S圆 16? 16
1 选D 2

4. 对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ?

5. n ? 10, i ? 1 ; n ? 5, i ? 2 ; n ? 16, i ? 3 ; n ? 8, i ? 4 ; n ? 4, i ? 5 ; n ? 2, i ? 6 ;

n ? 1, i ? 7 ;故选 A
6. 当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f (? x) ? (? x) ? 2(? x) ? x ? 2x
2 2

?( x ? 1) 2 , x ? 0 ? ,由图象知, g ( x) 有两个零 f ( x) ? ? f (? x) ? ? x2 ? 2x 所以, g ( x) ? ? 2 ? ?? x ? 2 x ? 1, x ? 0
点选 B 7. V ? ? ? 2 ? 3 ?
2

1 8 5 ? (2 2 ) 2 ? 5 ? 12? ? , 故选 A 3 3 17(a1 ? a17 ) ? 17a9 ,故为定值, 答 2

8 a7 ? a9 ? a11 是一个定值,则 a9 是一个定值,又 S17 ? 案选 C,

9. 设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心, 当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时|PM| -|PN|=9 故选 A 10. 设甲型货车需要 x 辆,乙型货车需要 y 辆,由题意得不等式组

6

?0 ? x ? 4, x ? N ? ?0 ? y ? 8, y ? N ?20 x ? 10 y ? 100 ?

y

作出可行域 ,可知,当直线 z ? 400 x ? 300 y

过点 (4, 2) 时, zmin ? 2200 ,故选 B
O

(4,2)
x

11. ①若 f ( x) ? c ,则 f ' ( x) ? 0 ,此时 ( x ? 1) f ' ( x) ? 0 ,当 x1 ? 1 ? x2 ? 1 时,恒有

f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 ) 。 ②若 f ( x) 不是常数,函数 y ? f ( x) 关于 x ? 1 对称,所以 f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ), f (2 ? x2 ) ? f ( x2 ) 。当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时函数 y ? f ( x) 单调递减,当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,
此时函数 y ? f ( x) 单调递增。若 x1 ? 1, x2 ? 1,则由 x1 ? 1 ? x2 ? 1 ,得 x1 ? 1 ? x2 ? 1 , 即 1 ? x1 ? x2 , 所 以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 同 理 若 x1 ? 1, x2 ? 1 , 由 x1 ? 1 ? x2 ? 1 , 得

? ( x1 ? 1) ? ?( x2 ? 1) ,即 x2 ? x1 ? 1,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,若 x1 , x 2 中一个大于 1,一个 小 于 1 , 不 妨 设 x1 ? 1, x2 ? 1 , 则 ? ( x1 ? 1) ? x2 ? 1 , 得 1 ? 2 ? x1 ? x2 , 所 以 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 综上有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 即 f (2 ? x1 ) ? f (2 ? x2 ) , f (2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ,
选 A. 12. 由 EF // 平 面 AA1D1D 可 得 EF // AD1 , 则 AE ? ? ? ? , 则 EF ? 2 (1 ? ? ) ,

V ?

1 1 1 ? ?1? ? 2 1 ? (1 ? ? ) ? ( ) ? ,此时 ? ? ? ? , ? ? ? ? 1 ,故选 D 2 6 6 2 24

二、填空题:
题号 答案 13 14 15 16

6
r 4? r

? 3

5 6

4

(13) Tr ?1 ? C4 x

(14) f ? x ? ? 3 cos x ? sin x=2sin( x ?

1 r 4?2 r (? ) r ? (?1) r C4 x , 4 ? 2r ? 0 得 r ? 2 Tr ?1 ? 6 x 3 ? ? ? 4?
3 ), 3 ? x? 3 ? 3
, ?

2

? sin( x ?

?
4

) ?1

f ? x ? 的最小值是 ? 3

(15) OA ? OC ? OA ? (OA ? AC ) ? OA ? (OA ?

??? ? ????

??? ? ??? ? ????

??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? AB ) ? OA ? OA ? AB 3 3

?1 ?

1 1 5 ? 1 ? 1 ?( ? ) ? 3 2 6
? n ?1?2 ?? n ?1?

( 16 ) 由 题 意 知 Tn ?1 ? 2

?2

n2 ?3 n ? 2

T 2n ? n , 所 以 an ? n ? 2 ? 22 n ? 2 , 所 以 n ?3 n ? 2 Tn?1 2

2

an ? 63 22 n?2 ? 63 63 63 ? ? 2n?1 ? n?1 ,构造对勾函数 f ? x ? ? x ? ,该函数在 0,3 7 上单 n ?1 n ?1 x 2 2 2

?

?

7

调递减,在 3 7, ?? 上单调递增,在整数点 x ? 8 时取到最小值 即 n ? 4 时,

?

?

an ? 63 127 的最小值为 . n ?1 2 8
1 2

127 n ?1 ,所以当 2 ? 8 时, 8

(17)(Ⅰ)解:由 (sin A ? sin B )(a ? b) ? ( a ? c) sin C ,

1 ac …………………………………………3 分 2 1 1 cos B ? …………………………………………6 分 由余弦定理可得: 2 cos B ? 2 4
由正弦定理可得 a ? c ? b ?
2 2 2

(Ⅱ)解: 由 cos B ?
2 2 又 b ? 1, a ? c ?

1 , B ? (0, ? ) 4

得 sin B ?

15 …………………………………7 分 4

2 1 ac ? 1 , a 2 ? c2 ? 2ac ,所以, ac ? ………………………10 分 3 2

S?ABC ?

1 15 15 2 15 ac sin B ? ac ? ? ? 2 8 8 3 12 15 …………………………………………………………12 分 12

所以, ?ABC 面积的最大值 (18)(Ⅰ)由图可知

10 ? 0.02 ? 5 ,所以 n ? 100 ,又由图可知大于或等于 40 岁的观众 n

有 (0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ?100 ? 50 ,从而完成 2 ? 2 列联表如下:
文艺节目 大于或等于 20 岁小于 40 岁 大于或等于 40 岁 总计 新闻节目 总计

40 20 60

10 30 40

50 50 100
……………3 分



K2 ?


50 100(4 ?0 ? 3 0 ?2 02 1 0 ) ? ? 16.66 ? 10.828 ………………-5 分 5 0? 5 ? 0 6 ?0 4 0 3

在犯错误的概率不超过 0.001 的前前下,认为收看文艺节目的观众与年龄有

关………………6 分 (Ⅱ)用分层抽样方法应抽取 20 至 40 岁的观众人数为 的观众人数为

40 ? 6 ? 4 (名),抽取大于 40 岁 60

20 ? 6 ? 2 (名)………………………………………………………………7 分 60 所以 ? 的可能值为 0 、 1 、 2 ……8 分

P(? ? 0) ?

3 2 1 1 2 C4 C4 C2 3 C4 C2 1 1 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? ,………………10 分 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

8

故 ? 的分布列为

?
P

0 1 5

1 3 5

2 1 5
……………………11 分

1 3 1 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 …………………………………………12 分 5 5 5
(19)(Ⅰ)在线段 PA 存在中点 F ,使得 EF // 平面 PAB ……………………………1 分 理由如下: 方法 1:取 PD 中点 M ,连 FM , CM .

? F , M 分别是 PA, PD 的中点 ? FM // AD , FM ?
1 AD 2
N

P F A M

? 平行四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点
1 ? EC // AD , EC ? AD 2

D

? EC // FM , EC ? FM ? 四边形 EFMC 是平行四边形 ? EF // CM

B E

C

…………………………………………………………………………………3 分

又 CM ? 平面 PCD , EF ? 平面 PCD ,

? EF // 平面 PCD …………………………………………………………………………5 分
方法 2:取 PB 中点 N ,连 EN, FN ,转证平面 EFN // 平面 PCD (略) (Ⅱ)方法 1:取 AB 中点 O ,连 OE 并延长交 DC 延长线于 Q ,则 PO ? AB P 在 ?ABC 中, ?ABC ? 60 , BC ? 2 AB ? 2.
?

AC 2 ? 12 ? 2 2 ? 2 ? 1`?2 ? cos60? ? 3

? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ,? ?BAC ? 90?
又? O, E 分别是 AB, BC 的中点, O B

A

D

E Q

C

9

? OQ // AC, OG ? AC , DQ ? OQ

…………………7 分

? 平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB
PO ? AB , PO ? 平面 PAB

? PO ? 平面 ABCD ,? DQ ? PQ ………………………………………………………8 分
又 DQ ? OQ , PO ? OQ ? O

? DQ ? 平面 POQ ,? DQ ? PO ………………………………………………………9 分 ? ?PQO 就是二面角 P ? CD ? A 的平面角……………………………………………10 分
在等边 ?PAB 中, PO ?

3 3 AB ? 2 2 3 , OQ ? AC ? 3 2 15 , 2

在 Rt?PQO 中, PO ?

? PQ ? OP 2 ? OQ 2 ?

cos?PQO ?

OQ 2 5 …………………………………………………………………12 分 ? PQ 5

方法 2:取 AB 中点 O ,连 OE ,则 PO ? AB 又? 平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB , PO ? 平面 PAB

? PO ? 平面 ABCD ,则 OB, OE, OP 两两垂直,
以点 O 为原点,分别以 OB, OE, OP 所在直线为 x, y , z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O?0,0,0 ?, C ? 1, 3 ,0 , D? ? …………………7 分

…………………6 分 z

P

?

?

3? ? 3 ? ? ?, , 3 ,0 ?, P? 0 , 0 , ? 2 ? 2 ? ? ? ?
A O B x E Q y D

? ? 3 3? 3? ? , PD ? ? ? , 3 ,? ?, PC ? ? ? 1 , 3 , ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?
设 n ? ?x, y, z ? 是平面 PCD 的法向量,则

C

10

? 3 ? x ? 3y ? z?0 ? ? ? PC ? n ? 0 ? 2 ,? , ? ? ? PD ? n ? 0 ?? 3 x ? 3 y ? 3 z ? 0 ? 2 ? 2
取 y ? 1 得 n ? ?0,1,2? 而 OP ? ? 0,0, …………………9 分

? ? ?

3? ? 是平面 ABCD 的法向量, 2 ? ?

? cos ? OP, n ??

OP ? n OP ? n

?

0?0? 3 5? 3 2

?

2 5 ……………………………………11 分 5

? 二面角 P ? CD ? A 的余弦值为

2 5 . ………………………………………………12 分 5

(20) (I)因为动点到定点 ? 0,1? 与定直线 y ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,轨迹为抛物线,………………… 2 分 其中 ? 0,1? 为焦点, y ? ?1 为准线,所以轨迹方程为 x2 ? 4 y …4 分 (Ⅱ)设 A( x1 ,

x12 x2 x x ), B( x2 , 2 ) ,所以 k AO ? 1 , k BO ? 2 , 4 4 4 4
x1 x, 4

所以 AO 的方程是: y ?

x x ? ? 8 8 ?y ? 1 x ?y ? 2 x 由? ,同理由 ? ……6 分 4 ? xM ? 4 ? xN ? 4 ? x 4 ? x 1 2 ? ? ?y ? x ? 2 ?y ? x ? 2
所以 | MN |? 1 ? 1 | xM ? xN |?
2

2|

x1 ? x2 8 8 ? |? 8 2 | | 4 ? x1 4 ? x2 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2

设 AB : y ? kx ? 1 ,由 ?

? y ? kx ? 1 2 ? x1 ? x2 ? 4k , ? x ? 4 kx ? 4 ? 0 ? ? 2 ? x1 x2 ? ?4 ?x ? 4 y
11

且 | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 k 2 ? 1 ,代入①得到:

| MN |? 8 2 |

4 k 2 ?1 k 2 ?1 ,…………………………………9 分 |? 8 2 16 ? 16k ? 4 | 4k ? 3 |
3?t , 4

设 4k ? 3 ? t ? 0 ? k ? 当t ? 0时

| MN |? 8 2
当t

25 ? t 2 ? 6t 25 6 ? 2 2 1? 2 ? ? 2 2 , 4t t t

? 0 时,
25 ? t 2 ? 6t 25 6 5 3 16 4 8 2 ? 2 2 1 ? 2 ? ? 2 2 ( ? )2 ? ?2 2? ? 4t t t t 5 25 5 5
25 4 8 2 ,此时 t ? ? , k ? ? ;…………………11 分 3 3 5

| MN |? 8 2

所以此时 | MN | 的最小值是

综上所述: | MN | 的最小值是

8 2 …………………………………………………1 2 分 5
1 1 ? ? a ? 0 恒成立,……1 分 x x2

(21)解: (1)由题意得对 ?x ? 1 , f '( x) ?

( ? 即a ?
令t ?

1 x

1 ) max ,…………2 分 x2

1 1 1 , (0 ? t ? 1) ,又 g (t ) ? t 2 ? t ? (t ? ) 2 ? 在 (0,1] 递增, x 2 4

? gmax ? g (1) ? 2 ,………3 分
∴a ? 2 故实数 a 的取值范围为 [2, ??) ………………4 分

(2)由题意知 ln x1 ?

1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 ,………5 分 x1 x2

两式相加得 ln x1 x2 ?

x1 ? x2 ? a( x1 ? x2 ) , x1 x2

两式相减得 ln

x2 x1 ? x2 ? ? a( x2 ? x1 ) ,……6 分 x1 x1 x2

x2 x ln 2 x1 x ?x x1 1 1 即 ,∴ , ? ?a ln x1 x2 ? 1 2 ? ( ? )( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ln

12

即 ln x1 x2 ?

2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln , ………7 分 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 2(t ? 1) ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? (t ? 1) ,则 x1 t ?1

不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ?

F ?(t ) ?

(t ? 1)2 ?0, t (t ? 1)
2(t ? 1) 2(t ? 1) ? F (1) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? t ?1 t ?1

∴ F (t ) ? ln t ? ∴ ln t ?

x2 2( x2 ? x1 ) 2(t ? 1) ? ,则 ln ,………9 分 x1 x1 ? x2 t ?1 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln ? 2 , x1 x2 x2 ? x1 x1
4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∴ ln x1 x2 ?

又 ln x1 x2 ?

∴ 2ln x1 x2 ? 令 G ( x) ? ln x ?

4 2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? ? 1 ,………10 分 x1 x2 x1 x2
2 1 2 ,则 x ? 0 时, G?( x) ? ? 2 ? 0 , x x x

∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 又 ln 2e ?

2 1 2 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 ,……11 分 e 2e 2 2 1 2 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 e 2e 2 2 2 ? 1 ? ln 2e ? , x1 x2 2e 2 2 ? 1 ? ln 2e ? ? G( 2e ) x1 x2 2e

又 G( 2e ) ? ln 2e ?

∴ G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ?

G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ?

又因为 G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 则 x1 x2 ? 2e ,即 x1 x2 ? 2e .………12 分
2

(22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
13

解: (Ⅰ)证明::连接 E , F ,由已知 A, E , D, F 四点共圆,

??FAD ? ?FED,

……………………………2 分 ……………………………3 分

? ?C ? ?FAD ? ?AEF ? ?FED ? 90? ??C ? ?AEF

则 B, C , E , F 四点共圆. ……………5 分 (Ⅱ) 解: ∵直角三角形 ADC 中, DF ? AC ,由射影定理得:

AD2 ? AF ? AC ? 5 ? 7 ? 35 直角三角形 AED 中,

………………………………………………………7 分

AE ? AD 2 ? DE 2 ? 35 ? (2 5) 2 ? 15 ………………………………………8 分
直角三角形 ADB 中, DE ? AB, 由射影定理得:

AE ? AB ? AD2, …………………………………………………………………………9 分
∴ AB ?

AD2 35 7 15 ………………………………………………………10 分 ? ? AE 3 15

(23)(本小题满分 10 分) (Ⅰ) 由 ?

? x ? 2 cos ? ? 3 ? ? ? y ? 2sin ? ? 1

得?

? x ? 3 ? 2 cos ? ? ? ? y ? 1 ? 2sin ?

C2 的直角坐标方程是 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,即 x2 ? y2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 …………2 分
由 ? ? x ? y , x ? ? cos? , y ? ? sin ? 得
2 2 2

曲线 C2 的极坐标方程 ? 2 ? 2? ( 3 cos? ? sin ? ) ………………………………4 分

? ?4 cos ? (?

?
6

) ………………………………………………………………5 分

(Ⅱ) 设 A( ?1 ,?1 ) , B( ?2 ,?2 ) 将? ?

?
6

代入曲线 C1 的极坐标方程 ? ? 4 cos(? ?

?
6

) 得 ?1 ? 4 ……………………7 分
得 ?2 ? 3 ………………8 分

同理将 ? ? 所以 AB ?

?
6

代入曲线 C2 的极坐标方程 ? ? 2cos ?

?1 ? ?2 ? 4 ? 3 ……………………………………………………10 分

(24)(本小题满分 10 分) (I)解

f ( x )? 3 即 x ?1 ? 3

?3 ? x ?1 ?3

?2 ? x ? 4 ……………………2 分

解得: ?4 ? x ? 4 , 所以 A ? [?4, 4] ……………………………………………………4 分

14

(II)要证 4 | m ? n |?| mn ? 16 |

2 2 ……………………6 分 即证 (( 4 m ? n)) ? (mn ? 16)

2 因为( ( 4 m ? n)) ? (mn ? 16)2 ? 16m2 ? 16n2 ? m2n2 ? 256

? (m2 ?16)(16 ? n2 ) …………………………………………………………8 分
因为 m, n ? A ,所以 m2 ? 16, n2 ? 16
2 2 所以, (( 4 m ? n)) ? (mn ? 16)

(m2 ?16)(16 ? n2 ) ? 0

所以, 4 | m ? n |?| mn ? 16 | …………………………………………………10 分

15


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