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圆内接四边形的性质与判定定理(选修4-1)


授课日期:2013年5月20 班级:高二(1),(2) 授课人:朱大伟

二.圆内接四边形的性质与判定定理

圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形.
思考: 这个圆称多边形的外接圆. 任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么?

任意矩形有外接圆吗?
等腰梯形呢?

r />
一般地, 任意四边形都有外接圆吗? A D D A D A
O B C B C B C

A D B C

自主学习:

时间:3分钟

请大家阅读课本P27-P28的内容,回答下面几个 问题: 1, 圆内接四边形有什么特点,你能证明它吗? 2,是不是所有的四边形都有外接圆?

性质定理1

圆内接多边形的对角互补

1 1 如图(1)连接OA,OC.则∠B= ? . ∠D= ? 2 2 0 ?? ? ? ? 360 C D 1 ? ?B ? ?D ? ? 360 0 ? 180 0 ? 2 ?
A B 性质定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。 (1) 将线段AB延长到点E,得到图(2) C D 0

同理可得: ?A ? ?C ? 180

0

由于?ABC ? ?EBC ? 180 . 0 而?ABC ? ?D ? 180 . ? ?EBC ? ?D.

A

B E (2)

性质定理1

圆内接四边形的对角互补

如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.

性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角, 那么它的四个顶点共圆. 性质定理的逆命题成立吗?

圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种 情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角, 那么它的四个顶点共圆. D C

A

B E

? 例1 如图, O1与 ? O2 都经过A,B两点。经过点A的 直线CD与 ? O1交于点C,与 ? O2交与点经过点B的直 线EF与 ? O1交于点E,与? O2交与点F.
求证:CE//DF.
证明:连接AB ∵四边形ABEC是? O1 的内 接四边形。 ∴∠BAD=∠E. ∵四边形ADFB是? O2 的内 接四边形。 ∴∠BAD+∠F=180° C
O1

A
O2

D

E

B

F

∴∠E+∠F=180°
∴CE//DF .

例2 如图,CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC,
FQ⊥AC.

求证:A,B,P,Q四点共圆
证明:连接PQ。 在四边形QFPC中, ∵FP⊥BC FQ⊥AC. Q A

C P F

B

∴∠FQA=∠FPC=90?.
∴Q,F,P,C四点共圆。 ∴∠QFC=∠QPC. 又∵CF⊥AB ∴∠QFC与∠QFA互余.

而∠A与∠QFA也互余. ∴∠A=∠QFC. ∴∠A=∠QPC. ∴A,B,P,Q四点共圆

习题2.2 1.AD,BE是△ABC的两条高, E

C

D

求证:∠CED=∠ABC.
o A B 2.求证:对角线互相垂直的四边形中,各边中点在同 一个圆周上。

3.如图,已知四边形ABCD内接于圆,延长AB和DC相 交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G. A B 求证: ∠CFG=∠DGF.
G F C

E

当堂检测:
课本P30,习题:T1.

课后作业: 课本P30,习题:T3.


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