nbhkdz.com冰点文库

第2讲 函数与方程思想


数学思想方法2

——函数与方程思想

返回目录

退出

一、构造函数(比大小)
【例 3】若 2x+5y≤2-y+5-x,则有( A.x+y≥0 C.x-y≤0 B.x+y≤0 D.x-y≥0 )

返回目录

退出

解析

由已知得2x-5-x≤2-y-5y,令函数f(x)=2x-5-x= 2
x

?1? - - ?5? x,则函数f(x)是单调递增函数,而f(-y)=2 y-5y,因为 ? ?

f(x)≤f(-y),x≤-y,即x+y≤0,故选B.

答案 B

返回目录

退出

一、构造函数(恒成立问题)
【例 4】 已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所 有实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,求 x 的取值范围.

[问1]与任意实数x恒成立一样么?

[问2]如果改成任意实数x恒成立该如何做?

返回目录

退出



∵t∈[

?1 ? 2,8],∴f(t)∈?2,3?, ? ?
2

原不等式可化为 m(x-2)+(x-2) >0 在 立, 当 x=2 时,不等式不成立,∴x≠2. 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)
2

?1 ? m∈?2,3?上恒成 ? ?

?1 ? ,m∈?2,3?, ? ?

?1? ? ?1 ? ?g? ?>0 问题转化为 g(m)在 m∈?2,3?上恒大于 0,则? ?2? ,解 ? ? ? ?g?3?>0

得 x>2 或 x<-1.
返回目录 退出

点评 首先明确本题是求 x 的取值范围,这里注意另一个 变量 m,将不等式恒成立问题转化为关于 m 的一次函数恒大于 0 的问题,因此依据一次函数的特性得以解决.在多个字母变量 的问题中,选准“主元”往往是解题的关键.

返回目录

退出

二、数列与函数
【例 5】已知数列{an}的通项公式是 an=n2+kn+2,若对于 n∈N*,都有 an+1>an 成立,则实数 k 的取值范围是( A.k>0 B.k>-1 )

C.k>-2 D.k>-3

解析 ∵an+1>an,即(n+1)2+k(n+1)+2>n2+kn+2 即k>-(2n+1)对于n∈N+都成立,而对于y=-(2n+1), 当n=1时,y取到最大值-3,∴k>-3,故选D.

返回目录

退出

二、数列与函数
【例 5】已知数列{an}的通项公式是 an=n2+kn+2,若对于 n∈N*,都有 an+1>an 成立,则实数 k 的取值范围是( A.k>0 B.k>-1 )

C.k>-2 D.k>-3

法2:看成函数!!! [问]与函数y=x2+kx+2在[1,+∞)上单调递增一样么?

返回目录

退出

三、函数与方程的关系(求方程的根)

返回目录

退出

三、函数与方程的关系(零点存在定理)
【例6】

返回目录

退出

三、函数与方程的关系(零点存在定理)
【例6】

返回目录

退出

三、函数与方程的关系(三者的关系?)
【例7】

返回目录

退出

三、函数与方程的关系(化成函数图像的交点)
【例8】

图像的交点→方程的根

返回目录

退出

三、函数与方程的关系(求参数拦直线的问题)
【例9】——45套第5套第20题(2) 当a>0时,讨论f(x)=ax(a∈R),g(x)=lnx--1的两个函数 图像交点的个数

方程的根→图像的交点

返回目录

退出

热点一 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问 题
【 例10 】如果方程 cos2x-sin x+a=0 在 0, 上有解,求 a 的取值 【例 1】 2
范围.
解法一:把方程变形为 a=-cos2x+sin x.设 f(x)=-cos2x+sin
π

π

x ∈ 0, 2 . 显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解.∵ f(x)=-(1-sin x)+sin x= sin + 2
π
2

1 2

? 4,

5

且由 x∈ 0, 2 知 sin x∈(0,1]. 易求得 f(x)的值域为(-1,1]. ∴a 的取值范围是(-1,1].

解法二:换元!只研究是否有交点,不考虑交点个数的话, 只考虑值域,不考虑图像?如果考虑图像是二次函数的图像 么?
返回目录 退出

f ( x) ? cos x ? sin x
2

换元之后图像改变了!!!

返回目录

退出

三、函数与方程的关系
☆【例 【例11 11】 】

返回目录

退出

返回目录

退出

四、解析几何中(求交点)
【例 1】 若抛物线 y=-x2+mx-1 和两端点 A(0,3), B(3,0) 的线段 AB 有两个不同的交点,求 m 的取值范围. [分析] 先将曲线的交点问题转化为方程解的问题.进而转 化为二次函数的实根分布问题,再通过解不等式组求得范围. 求出线 抛物线与线段AB 构造二次 解不等式 段AB → 的方程联立方程组, → 函数得不 → 组求范围 的方程 有两组实数解 等式组

返回目录

退出

[解] 线段 AB 的方程为 x+y=3(0≤x≤3),由题意得方程组
? x ,① ?x+y= ? 2 ? ?y=-x +mx-1,②

有两组实数解.

①代入②得 x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)有两个实根, 令 f(x)=x2-(m+1)x+4, 因此, 问题转化为二次函数 f(x)=x2-(m+1)x+4 在 x∈[0,3] 上有两个实根,故有

返回目录

退出

?Δ=?m+1?2-16>0, ? ? m+1 ?0< <3, 2 ? ? ?f?0?=4>0, ?f?3?=9-3?m+1?+4≥0. ? 故m
? 10? 的取值范围是?3, 3 ?. ? ?

10 解得 3<m≤ 3 ,

返回目录

退出

四、解析几何中(求切线方程)
45套第19题

返回目录

退出

四、解析几何中(求切线方程)

返回目录

退出

五、方程求解未知量的思想(解析几何中已知
XX,求XX的问题)
【例 12 】 【例 12 】

返回目录

退出

返回目录

退出

五、方程求解未知量的思想(立几中已知XX,
求XX的问题)
【例13】周报10--18

返回目录

退出

返回目录

退出

六、能力提升(换元f(x))
[练1]已知函数f(x)= --|x|+1,若关于x的方程f 2(x)+(2m-1)f(x)+4-2m=0有4个不同的实数解,则实数m的取值范围为

返回目录

退出

六、能力提升(换元f(x))
[练2]已知函数f(x)与函数g(x)的图像如图所示,则下列命题中, 正确的为? ①方程f[f(x)]=0有4个实数根; ②方程f[g(x)]=0有4个实数根;

③方程g[f(x)]=1有2个实数根;
④若g[f(xi)]=0, g[f(xj)]=--1, 则2≤xi+xj<5,(i=1,2;j=1,2)
正确答案①③④

返回目录

退出

六、能力提升
2.(2013·安徽,理 10)若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数是 ( A ) A.3 B.4 C.5 D.6

返回目录

退出

解析:由 f'(x)=3x2+2ax+b=0 得,x=x1 或 x=x2, 即 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的根为 f(x)=x1 或 f(x)=x2 的解.如图所示,

x1<x2 x2<x1 由图象可知 f(x)=x1 有 2 个解,f(x)=x2 有 1 个解,因此 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为 3.

返回目录

退出

谢谢各位老师和同学!!!

返回目录

退出

返回目录

退出

4.(2013·课标全国Ⅱ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是 ( B ) A.(0,1) C. 12 1 , 2 3

B. 1D.

2 1 , 2 2 1 1 , 3 2

返回目录

退出

5.(2013·山东,理 21)设函数 f(x)=e2 +c(e=2.71828…是自然对数的 底数,c∈R). (1)求 f(x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数.
解:(1)f'(x)=(1-2x)e-2x, 1 由 f'(x)=0,解得 x= . 当 x< 时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当 x> 时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
2 2 1 1 2



所以,函数 f(x)的单调递增区间是 -∞,
1 2

1 2

,单调递减区间是

,+∞ , 最大值为 f
1 2

= 2e-1+c.
返回目录 退出

1

(2)令 g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-xe-2x-c,x∈(0,+∞). ①当 x∈(1,+∞)时,ln x>0, 则 g(x)=ln x-xe-2x-c, 所以 g'(x)=e
2 -2x e

因为 2x-1>0,

e 2



+ 2x-1 .

>0,

所以 g'(x)>0. 因此 g(x)在(1,+∞)上单调递增. ②当 x∈(0,1)时,ln x<0, 则 g(x)=-ln x-xe-2x-c. 所以 g'(x)=e 所以所以e 2 e 2
-2x

-

e 2

+ 2x-1 .

因为 e2x∈(1,e2),e2x>1>x>0, <-1.又 2x-1<1, +2x-1<0,即 g'(x)<0.
返回目录 退出

因此 g(x)在(0,1)上单调递减.

综合①②可知,当 x∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e-2-c. 当 g(1)=-e-2-c>0,即 c<-e-2 时,g(x)没有零点,故关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 0; 当 g(1)=-e-2-c=0,即 c=-e-2 时,g(x)只有一个零点,故关于 x 的方程 |ln x|=f(x)根的个数为 1; 当 g(1)=-e-2-c<0,即 c>-e-2 时, 当 x∈(1,+∞)时,由(1)知 g(x)=ln x-xe-2x-c≥ln xx-1-c>0,即 x∈(e1+c,+∞); 当 x∈(0,1)时,由(1)知
1 -1 e 2

+ c >ln x-1-c,要使 g(x)>0,只需使 ln

g(x)=-ln x-xe-2x-c≥-ln x-

1 -1 e 2

+ c >-ln x-1-c,

返回目录

退出

要使 g(x)>0,只需-ln x-1-c>0, 即 x∈(0,e-1-c); 所以 c>-e-2 时,g(x)有两个零点, 故关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 2. 综上所述, 当 c<-e-2 时,关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 0; 当 c=-e-2 时,关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 1; 当 c>-e-2 时,关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 2.

返回目录

退出

函数与方程的思想是中学数学的基本思想,是历年高考的重点 和热点,主要依据题意,构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问 题,它涉及三大题型.高、中、低档试题都有出现.近几年来代数压轴 题多为考查应用函数思想解题的能力. 函数与方程思想的应用主要体现在以下几方面: (1)函数与不等式的相互转化,对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不 等式 f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数 的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的 观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这 都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

返回目录

退出

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运 用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系 后,立体几何与函数的关系更加密切.

返回目录

退出

返回目录

退出

热点一 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问 题
【例 1】如果方程 cos2x-sin x+a=0 在 0, 2 上有解,求 a 的取值 范围.
解法一:把方程变形为 a=-cos2x+sin x.设 f(x)=-cos2x+sin x ∈ 0, 2 . 显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解.∵ f(x)=-(1-sin x)+sin x= sin + 2
π
2

π

π

1 2

? 4,

5

且由 x∈ 0, 2 知 sin x∈(0,1]. 易求得 f(x)的值域为(-1,1]. ∴a 的取值范围是(-1,1].
返回目录 退出

解法二:令 t=sin x,由 x∈ 0,

π 2

,可得 t∈(0,1].

将方程变为 t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1]上有解. 设 f(t)=t2+t-1-a, 1 其图象是开口向上的抛物线,对称轴 t=-2,如图所示.

(0) < 0, 因此 f(t)=0 在(0,1]上有解等价于 (1) ≥ 0, -1- < 0, 即 ∴-1<a≤1. 1- ≥ 0, 故 a 的取值范围是(-1,1].
返回目录 退出

规律方法 此类问题是多元问题中的常见题型,通常有两种处理思路:一是 分离变量构造函数,将方程有解转化为求函数的值域(如本例);二是 换元,将问题转化为二次方程,进而构造函数加以解决.

返回目录

退出

热点二 用函数与方程思想解数列问题
【例 2】已知
1 Sn=1+ 2 1 1 + +…+ (n∈N*),设 3

f(n)=S2n+1-Sn+1,试确

定实数 m 的取值范围,使得对于一切大于 1 的正整数 n,不等式 f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 恒成立.
解:由 f(n)=S2n+1-Sn+1,得 1 1 1 f(n)= +2 + +3+…+2 +1 ,
1 1

11 20

∴f(n+1)= +3 + +4+…+2 +3. ∴f(n+1)-f(n)= =
1 1 1 2 +2

1

+

1

∴f(n)>f(n-1)>…>f(3)>f(2)(n∈N*,n≥2). 1 1 9 ∴f(n)min=f(2)=2+2 + 2+3 = 20 .
返回目录 退出

+ 2 +2 2 +4

2 +3 1 1

?

1

+2

2 +3 2 +4

-

>0.

要使对于一切大于 1 的正整数 n,原不等式恒成立,只需不等式 9 2 11 2 > [log ( m1)] [log m (m-1)m] 成立. 20 20 设 y=[logm(m-1)]2,则 y>0. 9 11 > , 20 20 于是 解得 0<y<1. > 0, 0 < [log (m-1)]2 < 1, > 0, ≠ 1, 从而 -1 ≠ 1, -1 > 0, 解得 m>
1+ 5 2

且 m≠2.
1+ 5 2

∴实数 m 的取值范围为 m>

且 m≠2.

返回目录

退出

规律方法 本例 f(n)无法求和,常规数列求和方法就不起作用了,而采用函 数的思想,用研究函数单调性的方法研究数列的单调性,求出 f(n)min 的值,结合不等式恒成立,进一步用函数与方程思想使问题解决.本例 对函数思想的考查贴切,深入,不用不行,恰到好处.这种用函数方法 解决数学问题的知识,正是函数思想的核心.

返回目录

退出

拓展训练 1 已知在数列{an}中,a1=1,且点 P(an,an+1)(n∈N*)在直线 x-y+1=0 上.
(1)求数列{an}的通项公式;
1 (2)若函数 f(n)= +1 1 1 + +…+ (n∈N*且 n≥2),求函数 f(n) +2 +

的最小值.

返回目录

退出

解:(1)由题设知,a1=1,且 an+1-an=1,∴数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.∴an=1+(n-1)·1=n.
1 +4

(2)∵f(n)= +1 + +2 + +3+…+2 ,f(n+1)= +2 + +3 + +…+
1 2( +1)

1

1

1 1

1

1

1

,f(n+1)-f(n)=

∴f(n+1)>f(n),即函数 y=f(n)(n≥2,n∈N*)是增函数.∴f(n)的最小 1 1 7 值为 f(2)= + = .
2+1 2+2 12

2 +1

+

1

2 +2

?

1

+1

=

1

2 +1

?

1

2 +2

>0,

返回目录

退出

热点三 函数与方程思想在立体几何中的运用
【例 3】三棱锥 S-ABC,SA=x,其余的所有棱长均为 1,它的体积 为 V. (1)求 V=f(x)的解析表达式,并求此函数的定义域. (2)当 x 为何值时,V 有最大值?并求此最大值.

分析:作出底面 ABC 的垂面,把原三棱锥看作以这个垂面为底面 的两个三棱锥.

返回目录

退出

解:(1)取 BC 中点 D,连接 SD,AD, 则 SD⊥BC,AD⊥BC, ∴BC⊥平面 SAD. 作 DE⊥SA 于点 E, 由于 SD=AD= 2 , 则 E 是 SA 的中点, ∴DE= =
1 2 3 2 2 3

-

2 2

3- 2 .
1 2 1 2

S△SAD= x·
1

3- 2

=4 3- 2 . ∵V=VB-SAD+VC-SAD =3·BC·S△SAD=12 3 ? 2 , ∴f(x)=12 3 ? 2 ,其定义域是(0, 3).
返回目录 退出

1

1

1

(2)∵V2= ≤
1 122 2 +3- 2 2 1

1

12 2

2 2 x (3 -x ) 2

=

1 122 1

·

3 2 2

,
6 6

∴V≤12 × 2 = 8. 为8.
1

3

当且仅当 x2=3-x2,即 x= 2 时等号成立,∴当 x= 2 时,体积 V 最大

返回目录

退出

规律方法 立体几何中的“运动问题”、“最值问题”等,常常可借助函数思 想来解决,建立目标函数后,用函数的方法来解决.

返回目录

退出

热点四 函数与方程思想在解析几何中的运用
【例 4】 如图,已知抛物线 E:y2=x 与圆 M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交 于 A,B,C,D 四个点.

(1)求 r 的取值范围; (2)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC,BD 的交点 P 的 坐标.

返回目录

退出

解:(1)将 y2=x 代入(x-4)2+y2=r2,并化简得 x2-7x+16-r2=0.① E 与 M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根 x1,x2. = (-7)2 -4(16- 2 ) > 0, 1 + 2 = 7 > 0, 由此得 1 2 = 16- 2 > 0. 15 解得 4 <r2<16. 又 r>0,所以 r 的取值范围是
15 2

,4 .

返回目录

退出

(2)不妨设 E 与 M 的四个交点的坐标为 A(x1, 1 ),B(x1,- 1 ),C(x2,- 2 ),D(x2, 2 ), 则直线 AC,BD 的方程分别为 y- 1 = y+ 1 =
- 2 - 1 ·(x-x1), 2 - 1 2 + 1 2 - 1

·(x-x1), 16- 2 及(1)知
7

解得点 P 的坐标为( 1 2 ,0). 设 t= 1 2 ,由 t= 0<t<2.

返回目录

退出

由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积 S= ·(2 1 +2 2 )·|x2-x1|,
2 1

则 S2=(x1+x2+2 1 2 )·[(x1+x2)2-4x1x2]. 将 x1+x2=7, 1 2 =t 代入上式,并令 f(t)=S2,得 f(t)=(7+2t)2·(7-2t) 0 < < 2 . 求导数,f'(t)=-2(2t+7)(6t-7). 7 7 令 f'(t)=0,解得 t= ,t=- (舍去). 当 0<t<6时,f'(t)>0;当 t=6时,f'(t)=0;当6<t<2时,f'(t)<0.故当且仅 当 t= 时,f(t)有最大值,
6 7 7 6 2 7 7 7 7

即四边形 ABCD 的面积最大.故所求的点 P 的坐标为

7 6

,0 .

返回目录

退出

规律方法 本例运用方程的思想把在两曲线有四个交点的前提下求参数 范围问题转化为二次方程有两个不等正根问题;第(2)问是运用函数 的思想求出了两直线的交点.

返回目录

退出

拓展训练 2 若抛物线 y=-x2+mx-1 和以 A(0,3),B(3,0)为端点的线段 AB 有两个不同的交点,求实数 m 的取值
范围.
解:线段 AB 的方程为 x+y=3(0≤x≤3).代入 y=-x2+mx-1,得 x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3). 原命题等价于 f(x)=x2-(m+1)x+4 在[0,3]上有两个相异实根,于 是: = ( + 1)2 -16 > 0, + 1 0< < 3, 2 (0) = 4 > 0, (3) = 9-3( + 1) + 4 ≥ 0.
10 3

解得 3<m≤ .
3

10

故实数 m 的取值范围是 3,

.
返回目录 退出

易错点 1:对数列的函数概念理解有误 【例 5】已知数列{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取值范围是

.
2

错解:因为 an=n2+λn 是关于 n 的二次函数,且 n≥1,所以- ≤1, 解得 λ≥-2. 正解:λ>-3 方法一:由图分析,得-2 < 2,
3

所以 λ>-3. 方法二:由{an}是递增数列, 得 an<an+1 对 n∈N*恒成立, 即 n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),整理得 λ>-(2n+1). 而-(2n+1)≤-3,所以 λ>-3
返回目录 退出

反思提高 数列是以正整数 N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函 数,因此它的图象只是一些孤立的点,满足条件的此数列的点分布如 上图所示,因此在处理数列问题时,把数列看成函数的同时,一定要注 意数列是一种特殊的函数.

返回目录

退出

易错点 2:考虑方程不周致误 【例
2 2 6】已知双曲线2 ? 2 =1(a>0,b>0)的离心率 3 2

e=3 3,过点

2

A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 ,直线 y=kx+m(k≠0,m≠0) 与该双曲线交于不同的两点 C,D,且 C,D 两点都在以 A 为圆心的同 一圆上,求 m 的取值范围.

返回目录

退出

错解:由已知,有

2

4 = 1 + 2 = 3 , 3 = 2, 2 2 +

2

解得 a =3,b

2

2

2 2 =1,所以双曲线方程为 3 -y =1.

把直线 y=kx+m 代入双曲线方程, 并整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. 所以 Δ=12m2+12-36k2>0.① 设 CD 中点为 P(x0,y0),则 AP⊥CD,且易知 x0=


3

1-3

2 ,y0=



1-3

2,

所以 kAP=

1-3 3 2 1-3

2+1

=-? 3k2=4m+1.②

1

将②代入①得 m2-4m>0,解得 m>4 或 m<0. 故所求 m 的取值范围是 m∈(-∞,0)∪(4,+∞).
返回目录 退出

正解:由已知,有
2 2

= 1 +
2 + 2

2

2 2

= ,
3 3 2

4

=

,
2 3

解得 a =3,b =1,所以双曲线方程为 -y2=1. 把直线 y=kx+m 代入双曲线方程, 并整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. 所以 Δ=12m2+12-36k2>0.① 设 CD 中点为 P(x0,y0),则 AP⊥CD, 3 且易知 x0= 2 ,y0= 2 , 所以 kAP=
1 -3 3 1 -3 2

1-3 2 +1

1-3

=- ? 3k2=4m+1.②
1 4

1

将②代入①,因为 k2>0,所以 m>- . 故所求 m 的取值范围应为 m>4 或- <m<0.
4
返回目录 退出

1

反思提高 本题的错解在于在减元过程中忽视了元素之间的制约关系,将 4+1 k2= 代入①时,m 受 k 的制约.因此,当等式或不等式中出现 2 个 3 或 2 个以上变量时,要注意变量间的互相牵制作用.

返回目录

退出

易错点 3:在用换元法解方程时忽略中间变量范围致错 【例 7】已知方程 9x-2· 3x+(3k-1)=0 有两个实根,求实数 k 的取 值范围. 错解:令 3x=t,则方程化为 t2-2t+(3k-1)=0,要使方程有两个实根, 只要 Δ=22-4(3k-1)≥0,解得 k≤ . 正解:令 3x=t,则方程化为 t2-2t+(3k-1)=0;(*) 要使原方程有两个实根,方程(*)必须有两个正根, = 22 -4(3k-1) ≥ 0, 1 2 ∴ 1 ·2 = 3k-1 > 0, 解得 <k≤ . 3 3 1 + 2 = 2 > 0,
2 3

返回目录

退出

反思提高
错解忽略了中间变量 t>0,上述“Δ≥0”只保证 t 有两个实数根,而不能保 证原方程有两个实数解,因此在解二次方程或二次不等式有关问题时尤其 要注意变量的约束条件.

返回目录

退出

返回目录

退出

1.对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值总大于零,则 x 的取 值范围是( B ) A.1<x<3 B.x<1 或 x>3 C.1<x<2 D.x<1 或 x>2
解析:依题意有 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,即(x-2)a+x2-4x+4>0 恒成立. 令 g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,把 g(a)看作是关于主元 a 的函数,则 g(a) 是一次函数(x≠2)或是常数函数(x=2). 因为 a∈[-1,1],当 x=2 时,g(a)=4-8+4=0,不合题意,故 x≠2. 要 g(a)>0 恒成立,只需 g(-1)>0 且 g(1)>0,解得 x<1 或 x>3,故选 B.

返回目录

退出

8 1 1 2.若数列{an}的通项公式为 an= × -3× 3 8 4

+

1 (其中 n∈N*), 2

且该数列中最大的项为 am,则 m=
解析:令 x= 构造
1 2

2

.

,则 0<x≤ ,
2

1

则 f'(x)=8x2-6x+1. 1 1 令 f'(x)=0,故 x1=4,x2=2. ∴f(x)在 0, ∴f(x)max=f
1 4 1 4

8 3 f(x)=3x -3x2+x,x∈

0, 2 ,

1

上为增函数,在
1 4

1 1 4 2

,

上为减函数.

,即当 x= 时,f(x)最大.∴n=2 时,a2 最大.∴m=2.

返回目录

退出

3.(2013·哈尔滨六中模拟,21)已知 a>0,函数 f(x)=ax2-x,g(x)=ln(ax). (1)若直线 y=kx-1 与函数 f(x),g(x)相切于同一点,求实数 a,k 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)≥g(x)恒成立?若存在,求出实数 a 的取值 集合;若不存在,说明理由.
解:(1)设 g(x)上的切点为(x0,ln(ax0)),g'(x0)= =k,
0 1

∴g(x0)=ln(ax0)=kx0-1=0, ∴ax0=1. 设 f(x)上的切点为(x0,f(x0)),f'(x0)=2ax0-1=k=1, ∴a=x0=1,∴a=k=1.

返回目录

退出

(2)令 h(x)=f(x)-g(x)=ax2-x-ln(ax), 即 h(x)min≥0,h'(x)= , 令 p(x)=2ax2-x-1,Δ=1+8a>0, 1 ∴p(x)=0 有两个不等根 x1,x2,x1x2=-2 <0,不妨令 x1<0<x2, ∴h(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增, 2 ∴h(x2)=a2 -x2-ln(ax2)≥0 成立. 2 ∵p(x2)=2a2 -x2-1=0, 1+ ∴ax2= 2 2 . ∴h(x2)= 令 k(x)=
1- 2
2

2 2 -x -1

2 1- 2

-ln 2 2 ≥0,且 x2=
2

1+

1+ 1+8 4

=

2

-ln

1+ 2

=

1- 2

+ln2x-ln(1+x),k'(x)=-

1+8 -1 ( -1)( +2) 2 ( +1)

.

,

∴k(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴k(x2)≤k(1)=0. 又 h(x2)=
1- 2 2

-ln 2 ≥0,
2

1+ 2

将 x2=1 代入 ax2= 2 ,得 a=1.
2

1+ 2

返回目录

退出

本课结束 谢谢观看
返回目录 退出


函数与方程的思想方法(2)--高考题选讲

函数与方程思想方法(2)--高考题选讲_数学_高中教育_教育专区。函数与方程思想方法(2) ---高考题选讲 考试中心对考试大纲的说明中指出:“高考把函数与方程...

函数与方程思想

函数与方程思想_高三数学_数学_高中教育_教育专区。函数与方程思想 1 1 1.若函数 y=f(x)的值域是[ ,3],则函数 F(x)=f(x)- 的值域是( 2 f?x? 3...

函数与方程思想 教师版

这是函数与方程思想 教师版,答案齐全,题型经典,讲法细致,格致中学内部资料,第...(1)求函数定义域、值域、单调性、奇偶性等; (2)函数、方程、不等式相互转化...

【高中数学】函数与方程思想

方程思想,是 从问题中的数量关系入手,运用数学语言问题中的条件转化为数学模型...例题解析题型一 函数与方程思想在不等式中的应用 例 1 设不等式 2 x ?1 ?...

江苏省2012届高考数学二轮复习:第19讲 函数与方程思想

江苏省2012届高考数学二轮复习:第19讲 函数与方程思想_高考_高中教育_教育专区。...(2) 通过建立函 数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型, ...

高三数学第二轮专题复习函数与方程的思想方法课堂资料

高三数学第二轮专题复习函数与方程思想方法课堂资料...2. ∴所求 a 的取值为下列不等式组的解集, 与...将问题进行 算式化,从而简洁明快.由此可见,利用函数...

2015年步步高二轮复习-专题八 第1讲 函数与方程思想

2015年步步高二轮复习-专题八 第1讲 函数与方程思想_数学_高中教育_教育专区。...2 2 热点 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{an}是各项均为正数...

高中数学浅谈函数与方程思想学法指导

2 ? m ? 2 情况下恒小于零,可以说思维 突破常规,解法灵活简洁,从而体现函数方程思想的功能。 3. 利用函数与方程思想研究函数问题 函数描述了自然界中量的依存...

(教师版)函数与导数第2讲

(教师版)函数与导数第2讲_数学_高中教育_教育专区。第2讲考情解读 函数的应用...也可以利用函数方程思想,构造关于参数的方程或不等式进行求解. (2014· 郑州第...

专题二 第2讲 函数的应用

专题二 第2讲 函数的应用_数学_高中教育_教育专区。第2讲考情解读 函数的...思想转为函数图象交点个数;也可以 利用函数方程思想,构造关于参数的方程或不等式...