nbhkdz.com冰点文库

高考数学


放缩技巧
(高考数学备考资料)
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进 行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩



例 1.(1)求 ?
k ?1

n

2 4k ? 1
2

的值;

(2)求证:

?k
k ?1

n

1
2

?

5. 3

2 1 1 ,所以 n 2 1 2n 解析:(1)因为 ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1 k ?1 4k ? 1

2

(2)因为

1 ? n2

1 n2 ? 1 4

?

n 1 1 1 1 ? 2 5 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ??? ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 k 3 5 2 n ? 1 2 n ? 1 3 3 ? ? k ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 4n ? 1 ? ?

4

奇巧积累
: (1)
1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4n 2 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
r ?1 r ? Cn ?

(2)

1 2 1 1 ? ? ? 2 C C n (n ? 1)n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
1 n ?1

(3) T

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? r ? ? ? ? (r ? 2) r r ! ( n ? r )! r ! r ( r ? 1 ) r ? 1 r n n

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
n 2 ?1 3 ? 2

1 5 ? n(n ? 1) 2

(5)

1 1 1 ? ? 2 n (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n

(6)

1 ? n?2 ? n n?2
? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 1 1 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 (2n ? 3) ? 2 n

(7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1)
n

2 1 ? 1 (8) ? ? ? ?? n ?

(9)

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?
n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(10)

(11)

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2 n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

(11) (12)

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1
n

1 n3

?

1 n ? n2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? n ?1 ? n ?1 n(n ? 1)(n ? 1) ? n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) ? ?

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ?1 ? 2 n ? n ?1

1 1 ? n ?1 n ?1
2n 1 2n ? n ? 3 2 ?1 3

(13) (14)

2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ?

k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

(15)

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)

(15)

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j ? 1)
2

?

i? j i ?1 ?
2

j2 ?1

?1

例 2.(1)求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 2
3 5

1 7 1 ? ? (n ? 2) 2 6 2(2n ? 1) (2n ? 1)

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 2
4 16 36 4n 2
2 2?4 2?4?6

4n

(3)求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
n

(4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3

解析:(1)因为

1 1 1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 2 2 2
4 16 36 4n 4 2 n 4 n

(3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

,再结合

1 n?2

? n?2 ? n

进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先 再证
1 n

1 n

? 2( n ? 1 ? n ) ?

2 n ?1 ? n
2 2

,所以容易经过裂项得到 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3
2 n? 1 1 ? n? 2 2

n

而由均值不等式知道这是显然成立的,
? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?

所以1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3 n

例 3.求证: 解析:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3
1 ? n2 1 1 n2 ? 4 ? 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4

一方面: 因为

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

另一方面: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2
4 9 n 2?3 3? 4

1 1 n ? 1? ? n(n ? 1) n ?1 n ?1

当 n ? 3 时, 当 n ? 2 时, 所以综上有

6n 1 1 1 n 6n ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

,

6n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2 , (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

例 4.(2008 年全国一卷)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a
明: ak ?1 ? b . 解析:

1

1) ,整数 k ≥ a1 ? b ? 1. an?1 ? f (an ) . 设 b ? (a1,

.证

a1 ln b

由数学归纳法可以证明 ?an ? 是递增数列, 故 若存在正整数 m ? k , 使 am ? b , 则 ak ?1 ? ak ? b ,
k ?1

若 am ? b(m ? k ) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1知 am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , a 因为

? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am ,
m ?1

k

?a
m ?1

k

m

ln am ? k (a1 ln b) ,于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b

例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证:
解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1.

n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要证
k ?1

n

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? nm ?1 ? nm ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1 m ?1

n

n

故只要证

?[ k
k ?1

n

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ] ,
k ?1 k ?1

n

n

即等价于 k

m ?1

? (k ? 1)
k

m ?1

? (m ? 1)k ? (k ? 1)m?1 ? k m ,
m

即等价于1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1 ,1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1
k k k

而正是成立的,所以原命题成立.

例 6.已知 an ? 4n ? 2n , T ? n

2n ,求证: T ? T ? T ? ? ? T ? 3 . 1 2 3 n 2 a1 ? a2 ? ? ? an
1? 4 1? 2 3

n n 解析: T ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 4(1 ? 4 ) ? 2(1 ? 2 ) ? 4 (4n ? 1) ? 2(1 ? 2n ) n

所以
Tn ?

2n 2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 4 n 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? ( 2 ) ? 3 ? 2n ? 1 (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 3 3 3 3 3

?

3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 (2 ? 2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ?

1 1 1 1 从而 T ? T ? T ? ? ? T ? 3 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n 1 2 3 n 2? 3 3 7 2 ?1

1 ? 3 ?? 2n ?1 ? 1 ? 2

例 7.已知 x1 ? 1 , x ? ?n(n ? 2k ? 1, k ? Z ) ,求证: ? n
?n ? 1(n ? 2k , k ? Z )
1
4

4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1
? 1 2? n 2 n ? n ?1 ? 2 2 n ? 2( n ?1 ? n)

证明:
4

1 x 2 n x 2 n ?1

?

(2n ? 1)( 2n ? 1)

?

1
4

4n 2 ? 1 1

?

1
4

,

4n 2 2 ?

因为

2 n ? n ? n ? 1 ,所以
4

x 2 n x 2 n ?1

?

2 n

所以
4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1

二、函数放缩
例 8.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 5n ? 6 (n ? N * ) . n
n

2

3

4

3
2

6

解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n
x x

3

4

3n

1 1 1 ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 3
n ?1 n ?1

cause 1 ? 1 ? ? ?
2 3

? 3 9 ? 3 1 ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1 ? 5 ? 3 3? ? 9 ? 1 ? ? ??? ? ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? n ?1 n ? 3 2 ?1 3 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 3 ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2 ? 2?3

? 5n ? ?? 6 ?

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6 n
n

2

3

4

3

6

6

? ? ? 2 例 9.求证:(1) ? ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 2n ? n ? 1 (n ? 2) ? ? ?

2

3

n

2(n ? 1)

解析:构造函数 f ( x) ? ln x ,得到 ln n
x

?

n?

?

ln n 2 n2
?

2 ,再进行裂项 ln n ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 2

n

n

1 ,求和后可以得到答案 n(n ? 1)

函数构造形式: ln x ? x ? 1 , ln n ? n ? 1(? ? 2)
?

例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3 n ?1 2

n
n n ?1

解析:提示: ln( n ? 1) ? ln n ? 1 ? n ? ? ? 2 ? ln n ? 1 ? ln n ? ? ? ln 2
n n ?1
1 x

1

函数构造形式:

ln x ? x, ln x ? 1 ?

y

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 f ( x) ? 1 ,
x
E D C B n x

首先: S

ABCF

?

n ?i

?x

n

1 ,从而, 1

n

?i ?

n ?i

? x ? ln x |

n

1

n n ?i

? ln n ? ln(n ? i)
O

F A n-i

取 i ? 1 有, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) ,
n

所以有

1 ? ln 2 2

, 1 ? ln 3 ? ln 2 ,…, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) ,
3
n

1 ? ln( n ? 1) ? ln n , 相 加 后 可 以 得 到 : n ?1

1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) 2 3 n ?1

另一方面 S 取 i ? 1 有,

ABDE

?

1 n ?i x

?

n

,从而有 1 ? i ?
n?i

1 ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) x n ?i

?

n

1 ? ln n ? ln( n ? 1) , n ?1
1 1 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 n

所以有 ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,所以综上有 1 ? 1 ? ? ?
2 n

2

3

例 11.求证: (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e 和 (1 ? 1 )(1 ?
2! 3! n!
9

.解析:构造函数后即可证明 1 1 ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e 81 3 解析: ,叠加之后就可以得到答案 3 n(n ? 1) ? 1

例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ?? [1 ? n(n ? 1)] ? e 2n?3 函数构造形式:

ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

ln( x ? 1) ? 2 ?

3 1 ? ln(1 ? x) 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) x ?1 x x ?1

(加强命题)

例 13.证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?
3 4 5

ln n n(n ? 1) ? (n ? N *, n ? 1) n ?1 4

解析:构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:
f ' ( x) ? 1 2 ? x ,令 ?1 ? x ?1 x ?1

f ' ( x) ? 0 有1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 ,

所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1 所以 ln n
n ?1 ? n ?1 2

,所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?
3 4 5

ln n n(n ? 1) ? (n ? N *, n ? 1) n ?1 4

例 14. 已知 a

1

? 1, an ?1 ? (1 ?

1 1 证明 a ? e2 . n )an ? n . n2 ? n 2

解析:

a n ?1 ? (1 ?

, 1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? ? )a n n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n 2
ln a n ?1 ? ln(1 ? 1 1 ? ) ? ln a n n(n ? 1) 2 n

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案) 放缩思路: 1 1 1 1
a n ?1 ? (1 ? n2 ? n ? 2n )a n ?

ln a n ?1 ? ln(1 ?

n2 ? n

?

2n

) ? ln a n ?

? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n
n ?1 i ?1

。于是

ln a n ?1 ? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n



?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ? (

1 1 1 ? ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ? i 2i
2

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 . 注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用; 当然,本题还可用结论 2 n ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:
a n ?1 ? (1 ? 1 1 )a n ? ? a n?1 ? 1 ? (1 ? 1 )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
n ?1 n ?1 , 1 1 1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 )? . ? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? i(i ? 1) n n(n ? 1) n(n ? 1) i ?2 i ?2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .

例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f ( x) ? x ln x. 若 a ? 0, b ? 0, 证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). 解析:设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x), (k ? 0)
f ( x) ? x ln x,? g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x), ? 0 ? x ? k . g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln 令g ?( x) ? 0, 则有 x , k?x

x 2x ? k k ?1? ? 0 ? ? x ? k. k?x k?x 2

k k k ∴函数 g ( x )在[ , k )上单调递增,在 (0, k ] 上单调递减.∴ g ( x) 的最小值为 g ( ) ,即总有 g ( x) ? g ( ). 2 2 2 2
而 g ( k ) ? f ( k ) ? f (k ? k ) ? k ln k ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2,
2 2 2 2

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2, 即 f ( x) ? f (k ? x) ? f (k ) ? k ln 2. 令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b. ? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.

? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? (I)求证:函数 g ( x) ?
f ( x) 上是增函数; 在(0,?? ) x

f ( x) 在 x ? 0 上恒成立.

(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ;

(III)已知不等式 ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立, 求证:
1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2 (n ? N * ).

解析:(I) g ' ( x) ? (II)因为

,所以函数 上是增函数 f ' ( x) x ? f ( x) f ( x) ?0 g ( x) ? 在(0,?? ) x2 x
g ( x) ? f ( x) 在(0,?? ) x

上是增函数,所以

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 x1 ? x2
f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 x1 ? x2

两式相加后可以得到 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) (3)
f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 …… ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

相加后可以得到:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )

所以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ln(x1 ? x2 ? ? ? xn ) 令
xn ? 1 (1 ? n) 2

,有

? 1 ? ?1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 2 ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ??? ?? ln(n ? 1) 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ??? ? ? ln? ? 2 ? 2 ??? ? 2 2 ? 2 3 4 ( n ? 1 ) 2 3 4 ( n ? 1 ) 2 3 ( n ? 1) 2 ? ? ? ? ? ? ?

1 ?? 1 1 ? n ? 1 1 1 ? ? 1 1 1 ??? ?? ? ??? ? ? ?? ?? ? ??? ? 2 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ln? 2(n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)n ? ? ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2

所以

1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2
? ln(n ? 1) 2 ln 4 1 ? ? 1 ? ? ln 4? ? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ?

(n ? N * ).

(方法二) ln(n ? 1) 2
(n ? 1)
2

所以

1 1 1 1 1 ? n ln 4 ?1 ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ?? 22 3 4 (n ? 1) 2 ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)

又 ln 4 ? 1 ?

1 ,所以 1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). n ?1 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2

三、分式放缩
姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.

例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ?
3 5
1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n 1 2n ? 1

1 ) ? 2n ? 1 和 2n ? 1

也可以表示成为
1 2n ? 1

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ?? 2n ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1)
a

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得
a?m

2 4 6 2n ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n
1 3 5 2n ? 1

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ?

3

5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

1 1 1 例 20.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2
解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1
2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n

(加 1) (加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 3n ? 2 ? 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ?1 4 7
2

所以有 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 3 3n ? 1.
4 7 3n ? 2

四、分类放缩
例 21.求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3 1 n ? 2n ?1 2

解析: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ??? 2 4 4 2n ? 1 2 2 2 2

(

1 1 1 1 n 1 n ? ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? 2 2 2n 2n 2 2 2
n

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编 ) 在平面直角坐标系 xoy 中 , y 轴正半轴上的点列 ?A ? 与曲线 ( x ≥0) 上的点列 ?Bn ?满足 OA ? OB ? 1 , 直线 y ? 2x n n n

An Bn 在 x 轴上的截距为 an .点 Bn 的横坐标为 bn , n ? N ? .
b1 b2 bn?1 bn

(1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 . 解析:(1) 依题设有: A
bn 2 ? 2bn ?

n

? 1? ,由 OB ? 1 得: n ? 0, ? , Bn bn , 2bn , ? bn ? 0 ? n ? n?

?

?

,又直线 An Bn 在 1 1 ,?bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * n2 n
1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n?

x 轴上的截距为 an 满足
2n2bn ? 1 ? n2bn 2 ? 0, bn ? 2 ? 1 n2bn

? an ? 0? ? ?
?

an ?

bn 1 ? n 2bn

? an ?

bn 1 ? n 2bn bn 1 2 ? ? 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? an ? 12 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 12 ? 1 2 1 ? 2n bn n bn n bn n n 1 ? n 2bn

?

?

显然,对于 1 ?
n

1 ,有 an ? an?1 ? 4, n ? N * ?0 n ?1

(2)证明:设
1 ?1 ? n2

cn ? 1 ?

,则 bn ?1 ,n? N* bn
?1 ? 1 1 ? ?n ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?
2

1

cn ?

? n ? 1?

2

1 ? 1 ?1 n2

1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 n2 ? n ? 1?

?

2n ? 1

? n ? 1?

2

? ? 1 ?1 ?1 ? 2n ? 1 ? 1 1 2n ? 1 n2 ? ?? ? ? 2 2 ? 2 ? n ? 1? 1 1 n ? 1? ? 2 ? 2 2 ?1 2 2 ?1 ? ? n n ? ?
2

? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1?
设 Sn ? c1 ? c2 ?
1 1 Sn ? ? ? 3 4
? 2?

? n ? 0,? cn ?

1 ,n? N* n?2

? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1? k ? N * ? 时,

?

1 1 ?1 1? ? 1 ? ? ? ? ??? ? 2k ? 1 2k ? 3 4 ? ? 2 2 ? 1
? 2k ?1 ? 1 k ?1 。 ? 2k 2

?

1? ? 1 ? ??? 23 ? ? 2k ?1 ? 1

?

1 ? ? 2k ?

1 1 ? 22 ? 3 ? 22 2

所以,取 n0 ? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:
? bn ?1 ? ? b2 ? ? b3 ? 4017? 1 ? ? 2008 ?1 ? b ? ??? ?1 ? b ? ? ??? ? ?1 ? b ? ? ? S n ? S n0 ? 2 1 ? 2 ? n ? ? ? ?

故有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 成立。
b1 b2 bn?1 bn

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域为[-1,0],值域也 为[-1,0].若数列 {bn } 满足 b
n

?

f ( n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在正常数 n3

A,使得对于

任意正整数 n 都有 Tn ? A ?并证明你的结论。 解析:首先求出 f ( x) ? x2 ? 2x ,∵ b
n

?

f ( n) n 2 ? 2n 1 ? ? n3 n3 n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,∵ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ,…
2 3 n
3 4 4 2 5

6

7

8

8

2

1 2
k ?1

k 1 1 1 1 k ? ? ? k ? 2 k ?1 ? k ? ,故当 n ? 2 时, Tn ? ? 1 , ?1 2 ? 2 2 2 2 2

?

k ?1

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 2 2 m ? 2 时,必有 Tn ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? A .
2

故不存在常数 A 使 Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立. 例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 ? y ? 0,
? x ? 0, ? ? y ? ? nx ? 3n ? 设 D 内整数坐标点的个数为 an .设 S n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 , a n?1 a n? 2 a2n
n

表示的平面区域为 D ,
n

当 n ? 2 时,求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 .
a1 a2 a3 a 2n 36
1 1 1 7n ? 11 ,因为 12

解析:容易得到 an ? 3n ,所以,要证 1
a1

?

1 1 1 7n ? 11 只要证 S n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? 2 2 3 2n a 2 a3 a 2n 36

S2 n ? 1 ?

1 3 7 7n ? 11 ,所以原命题得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? ? ? ? n ? 1 ? ? T21 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? 2 2 12 12 2 3 4 5 6 7 8 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2



五、迭代放缩 例 25. 已知 x ? xn ? 4 , x ? 1 ,求证:当 n ? 2 时, n ?1 1 ?| x
n

xn ? 1

i ?1

i

? 2 | ? 2 ? 21? n

解析:通过迭代的方法得到 x n ? 2 ? 1 ,然后相加就可以得到结论 n ?1
2

例 26. 设 S

n

?

sin 1! sin 2! sin n! ? 2 ? ? ? n ,求证:对任意的正整数 21 2 2
| S n ? k ? S n |?| sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) ? ??? | 2 n ?1 2 n?2 2 n?k

k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|<

1 n

解析:
?|

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! s i nn (? k) 1 1 1 |?| | ??? | |? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? k 2 n ?1 2 n?2 2 n?k 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n 2n 2 22 2 2 2 2
0 1 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?n

?

又 2n

所以 | S

n?k

? S n |?

1 1 ? 2n n

六、借助数列递推关系 例 27.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2 ? 1

解析: 设 a
a n ?1 ?

n

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2nan ? a n ,从而 2(n ? 1)

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ? 1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

所以 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5
2 2?4

2?4?6

???

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

例 28. 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5
2 2?4

2?4?6

???

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

解析: 设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
a n ?1 ? 2n ? 1 ,从而 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 2(n ? 1)

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1 ,求证: 1 ?
a1

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

解析:

an? 2 ? an?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ?

1 ? an?2 ? an an?1

所以就有 1
a1

?

1 1 1 ??? ? ? an?1 ? a n ? a2 ? a1 ? 2 a n?1an ? a2 ? 2 n ? 1 ? 2 a2 a n a1

七、分类讨论 例 30.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1. 证明:对任意的整数 m ? 4 ,有 解析:容易得到 a
2 n?2 , 2 ? (?1) n ?1 . 3
1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

n

?

?

?

由于通项中含有 (?1) n ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当 n ? 3 且 n 为奇数时
?
1 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 ? ? ( n?2 ? n?1 ) ? ? 2n?3 an an?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 (减项放缩) ,于是 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 n ?3 2

① 当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )
a4 a5 a 6 a 4 a5 am 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2 a m?1 am

② 当 m ? 4 且 m 为奇数时 ① ② 得证。 八、线性规划型放缩

(添项放缩)由① 知1 1 1 1 1 1 1 7 由 ? ??? ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? ??? ? ? . a 4 a5 a m a 4 a5 a 4 a5 a m a m?1 8 a m a m?1

例 31. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 .若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。
x2 ? 2

解析:由

1 ?( x ? 2)2 ( x ? 1) 2 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 2 2( x 2 ? 2)2

知 ( f ( x) ? 1 )( f (1) ? 1) ? 0
2



?

1 ? f ( x )? 1 2

由此再由 f ( x) 的单调性可以知道 f ( x) 的最小值为 ? 1 ,最大值为 1
2
1 因此对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是, ? 即 a , b 满足约束条件 ?a ? b ? ?3 , ??3 ? ? a ? b ? 3 2 ? ? ??3 ? a ? b ? 3
?a ? b ? 3 ? ? 1 ?? a ? b ? ?3 ? 2 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2

由线性规划得, a ? b 的最大值为 5. 九、均值不等式放缩 例 32.设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ?S
2
n

?

(n ? 1) 2 . 2

解析: 此数列的通项为 ak ?

k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.

k ? k ?1 1, n n 1 , ? k ? k (k ? 1) ? ?k? ? ? k ? S n ? ? (k ? ) 2 2 2 k ?1 k ?1

即 n(n ? 1) ? S
2

n

?

n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? ? . 2 2 2
ab ? a?b 2

注: ①应注意把握放缩的 “ 度 ” :上述不等式右边放缩用的是均值不等式
k (k ? 1) ? k ? 1则得 S ? (k ? 1) ? (n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1) ? n 2 2 k ?1
n 2

,若放成

,就放过“度”了!

② 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n 1 1 ??? a1 an ? n a1 ? a n ? a1 ? ? ? a n ? n
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

例 33.已知函数 f ( x) ? 解析:
? (1 ?
f ( x) ?

1 , 若 且 f ( x) 在[0, 1]上的最小值为 1 , 求证:f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? 1 ? 1 . 4, f (1) ? 2 1 ? a ? 2 bx 2 n ?1 2 5
4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 1? 4x 2 ? 2x

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 4 2 2 2 ? 22 2 ? 2n 2 2

例 34.已知 a , b 为正数,且 1 ? 1 ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
a b

解析:
n

由 1 ? 1 ? 1得 ab a b
0 n n 1 n n?1

? a ? b ,又 (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 2 ? a ? b ? 4 ,故 ab ? a ? b ? 4 ,而
a b b a
r n n ?r

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a
n n n

b ? ?? C b ,
r n n n

1 n?1 r n ?r r n?1 i n?i ,倒序相 令 f (n) ? (a ? b) ? a ? b ,则 f ( n) = Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn abn?1 ,因为 Cn ? Cn 1 r n?1 加得 2 f (n) = Cn (a n?1b ? abn?1 ) ? ? ? Cn (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? Cn (abn?1 ? a n?1b) ,

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,
1 r n?1 则 2 f (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r )

n

? (2 n ? 2) ? 2

n ?1

, 所 以

f (n) ? (2 n ? 2) ? 2

n

,即对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
n?1 2

1 2 3 n 例 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n?2

(n ? 1, n ? N )
n ?1 2

1 2 3 n 解析: 不等式左 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 = n ? 2



原结论成立. 例 36.已知 f ( x) ? e x ? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 解析: f ( x ) ? f ( x
1 2

n

) ? (e x1 ?

1 1 e x1 e x2 1 ) ? (e x2 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 e x1 e e e e ?e
n

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 例 37.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n
x

解析: (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ?
k

1 k 2n ? 1 ? k 1 ) ? k (2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k (2n ? 1 ? k )

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n 所以 (k ? 1 )( 2n ? 1 ? k ?
k 1 ) ? 2n ? 2 2n ? 1 ? k

从而 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n . 例 38.若 k ? 7 ,求证: Sn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
n n ?1 n?2 1 3 ? . nk ? 1 2

解析: 2Sn ? ( 1 ?
n

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n

因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ? 2 ,所以 ( x ? y)( 1 ? 1 ) ? 4 ,所以 1 ? 1 ?
x y xy
x y x y

4 ,当且仅当 x ? y x? y

时取到等号.

所以 2S 所以

n

?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1

Sn ?

2(k ? 1) 2(k ? 1) 4 3 ? ? 2? ? 1 k ? 1 k ? 1 2 1? k ? n

所以

Sn ?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

例 39.已知 f ( x) ? a( x ? x1)(x ? x2 ) ,求证:

f (0) ? f (1) ?

a2 16

.
2

解析: f (0) ? f (1) ? a 2[ x (1 ? x )][x (1 ? x )] ? a .
1 1 2 2

16

例 40.已知函数 f(x)=x -(-1) · 2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, - n 求证: [f’(x)] -2n 1· f’(xn)≥2n(2n-2). 解析: 由已知得 f ?( x) ? 2 x ? 2 ( x ? 0) ,
x

2

k

(1)当 n=1 时,左式= (2 x ? 2 ) ? (2 x ? 2 ) ? 0 右式=0.∴不等式成立.
x x

(2) n ? 2 , 左式= [ f ?( x)] n ? 2 n ?1 ? f ?( x n ) ? (2 x ? 2 ) n ? 2 n ?1 ? (2 x n ? 2 ) n
x x
1 n?2 2 n?4 n?2 ? 2 n (C n x ? Cn x ? ? ? Cn

1 1 n ?1 ? Cn ). x n?4 x n?2
x

令 S ? C1 x n?2 ? C 2 x n?4 ? ? C n?2 1 ? C n?1 1 n n n n n?4 n?2
x

由倒序相加法得:
1 2S ? C n ( x n?2 ?

1 1 1 2 n ?1 ) ? Cn ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ( n?2 ? x n?2 ) x n?2 x x

1 2 n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2n ? 2) ,

所以 S ? (2n ? 2). 所以 [ f ?( x)]n ? 2n?1 ? f ?( x n ) ? 2n (2n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n ? N 时,命题成立 例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f ( x) ? a x ? x(a ? 1) (1)求函数 f ( x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;
1 ' 2 ' n?1 ' (2)令 S (n) ? Cn f (1) ? Cn f (2) ? ? ? Cn f (n ? 1) 求证: S (n) ? (2 n ? 2) ? f ' ( n )

?

2

(1)由f ' ( x) ? a x ln a ? 1, f ' ( x) ? 0,即:a x ln a ? 1,? a x ? 同理:f ' ( x) ? 0, 有x ? ? loga ln a,

1 , 又a ? 1? x ? ? loga ln a ln a

所以f ' ( x)在(??,? loga ln a)上递减,在(? loga ln a,??)上递增; 所以f ( x) min ? f (? loga ln a) ? 若f ( x) min ? 0, 即 1 ? ln ln a ln a

1 ? ln ln a 1 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ln a e
1

? a的取值范围是 1 ? a ? ee

1 2 n ?1 ( 2) S ( n ) ? C n (a ln a ? 1) ? C n (a 2 ln a ? 1) ? ? ? C n (a n ?1 ln a ? 1) 1 2 2 n ?1 n ?1 1 2 n ?1 ? (C n a ? Cn a ? ? ? Cn a ) ln a ? (C n ? Cn ? ? ? Cn )

1 1 2 n ?1 ? [C n (a ? a n ?1 ) ? C n (a 2 ? a n ?2 ) ? ? ? C n (a n ?1 ? a )]ln a ? (2 n ? 2) 2
n

? a 2 (2 n ? 2) ln a ? (2 n ? 2) n ? (2 n ? 2)(a 2 ln a ? 1) ? (2 n ? 2) f ' ( ), 2 所以不等式成立。
★例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数
1 1 ax , x ? ? 0, ? ?? .对任意正数 ? ? ax ? 8 1? x 1? a
n

f ? x? ?

a ,证明:1 ? f ? x ? ? 2 .

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由
f ( x) ?

1 1 ? ? 1? x 1? a

1 1? 8 ax

,

若令 b ? 8 ,则 abx ? 8 ①,而
ax

f ? x? ?

1 1 1 ? ? 1? x 1? a 1? b



(一) 、先证 f ? x ? ? 1;因为

1 1 , 1 1 , 1 , 1 ? ? ? 1? x 1? x 1? b 1? b 1? a 1? a

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 所以 f ? x ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b
? 9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ? 1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

(二) 、再证 f ? x? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 (ⅰ ) 、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为
1 ? 1, 1? b

1 1 2 ,此时 f ? x ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 . ? ? ?1 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? 5

(ⅱ ) 、当 a ? b ? 7 ③,由① 得 ,x ? 因为 同理得 今证明 只要证

8 , 1 ? ab 1? x

ab , ab ? 8

1 b b2 b 2 所以 ?1 ? ? ? [1 ? ] 1? b 1? b 4 ( 1 ? b2 ) 2? (1 b )

1 b ? 1? 2(1 ? b) 1? b



⑤ 1 a ? 1? 2(1 ? a) 1? a

,于是

1? a b ab ? ⑥ f ? x? ? 2 ? ? ? ?2 ? 2? 1 ? a 1 ? b ab ?8 ? ? ?

a b ab ⑦ , ? ?2 1? a 1? b ab ? 8

因为

a b ab , ? ?2 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

ab a b ,即 ,此为显然. ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③ ? ( 1? a ) ( ? 1 b ) a b? 8
f ( x) ? 2 .

因此⑦ 得证.故由⑥ 得

综上所述,对任何正数 a, x ,皆有1 ? f ? x ? ? 2 .

例 43.求证:1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1
1 1 1 1 ?1 1? 1 2 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

解析:一方面:

(法二)

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ?

?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? ? 2 ? ( 3 n ? 1 )( n ? 1 ) 3 n ( n ? 2 ) ( n ? 1 )( 3 n ? 1 ) ? ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ?2n ? 1? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? (2n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 1 ? ?

另一方面:

1 1 1 2n ? 1 2n ? 2 ? ??? ? ? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 n ? 1 n ?1

十、二项放缩
0 1 n 0 1 , 2 n ? Cn 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? n ? 1,

0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44. 已知 a

1

? 1, an ?1 ? (1 ?

2 1 1 )an ? n . 证明 an ? e n2 ? n 2

解析:

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

n ?1 n ?1 1 1 , 1 1 )? . ? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 n(n ? 1) n(n ? 1) i(i ? 1) n i ?2 i ?2

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 45.设 a
1 ? (1 ? ) n n

n

,求证:数列 {an } 单调递增且 a n ? 4. 整理上式得 a n?1 ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? ) 以 a ? 1 ? 1 , b ? 1 ? 1 代入( ? )式得 (1 ? 1 ) n?1 ? (1 ? 1 ) n .
n ?1 n

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略)

n ?1

n

即 {an } 单调递增。 以 a ? 1, b ? 1 ? 1 代入( ? )式得1 ? (1 ?
2n

1 n 1 1 ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n
n

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? 1 )
n

?4

,又因为数列 {an } 单调递增,所以对

一切正整数 n 有 (1 ? 1 ) n
n

? 4。

注:① 上述不等式可加强为 2 ? (1 ? 1 ) n ? 3. 简证如下:
n

1 1 1 2 n 1 利用二项展开式进行部分放缩: a n ? (1 ? 1 ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . n n n n n
1 1 只取前两项有 a n ? 1 ? C n ? ? 2. 对通项作如下放缩:

n 1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 C k ? ? ? ?? ? ? ? k ?1 . k! n n n k! 1 ? 2 ? 2 2 n n ?1 故有 an ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? (1 / 2) ? 3. 2 n ?1 2 2 2 1 ? 1/ 2 2
k n

② 上述数列 {an } 的极限存在, 为无理数 e ; 同时是下述试题的背景: 已知 i, m, n 是正整数, 且 1 ? i ? m ? n. (1)
n m i i ; 证明 ni Am (2)证明 (1 ? m) ? (1 ? n) . (01 年全国卷理科第 20 题) ? mi An

简析 对第 (2) 问: 用 1 / n 代替 n 得数列 {b } : b
n

1 n

? (1 ? n) n
n

是递减数列; 借鉴此结论可有如下简捷证法:

数列 {(1 ? n) } 递减,且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m)

1 n

1 m

? (1 ? n) n , 即 (1 ? m)

1

? (1 ? n) m 。

当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等 式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。

例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 21? n. 1 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a, , b 成等差数列,设 a ? 1 ? d , b ? 1 ? d , 2 2 2 从而
?1 ? ?1 ? a n ? b n ? ? ? d ? ? ? ? d ? ? 21? n ?2 ? ?2 ?
n n

例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ?
3

8 . (n ? 1)(n ? 2)

3 2 2 1 n 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 ,即 1 1 2 3 1 (n ? 1)( n ? 2) ,得证. (1 ? ) ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? C n ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? (1 ? ) n ? 2 2 2 8 8 2 2 2 8

解析: 观察 ( 2 ) n 的结构,注意到 ( 3 ) n ? (1 ? 1 ) n ,展开得

例 48.求证: ln 3 ? ln 2 ? ln(1 ? 1 ) ? ln 2 .
n 2n n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,满足: ①对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ; ②对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n . (I)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:.
n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2 ? 1 1 ? an 4
*

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 , 也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 , 不妨设 a ? b , 所以 ,可以得到 f (a) ? f (b) , 也就是说 f ( x) 为 N 上的 单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就 有思路了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ? f (1) ,则可以得到 ( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2 ① 接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ② f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54 , f (54) ? f [ f (27)] ? 81 在此比较有技巧的方法就是: 81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55 ③
*

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出 来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {an} 的通项公式时也会遇到困难.
f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an , 所以数列 an ? f (3n ), n ? N* 的方程为 an ? 2 ? 3n ,

从而 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) , n
a1 a2 an 4 3
0 1 一方面 1 (1 ? 1 ) ? 1 ,另一方面 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? 2n ? 1 n

4

3

4

所以 1 (1 ? 1 ) ? 1 (1 ? n
4 3 4

1 1 2n n ,所以,综上有 )? ? ? 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2

n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2

?

1 1. ? an 4

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意 x ?[0,1], 总有 f ? x ? ? 3 , 且 f ?1? ? 4 ; ② 若x (Ⅰ )求 f?0?的值; (Ⅱ )求证:f?x?≤4; (Ⅲ )当 x ? ( 1 , 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时,试证明: f ( x) ? 3x ? 3 . n n ?1
3 3
1

? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1, 则有

f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ( x2 ) ? 3.

解析: (Ⅰ )解:令 x1 ? x2 ? 0 ,由① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3 又由② 得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; (Ⅱ )解:任取 x1 , x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 , 因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x ∴ f (0) ? 3. 则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

2

? x1 ) ? 3 ,即 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ? 0,

∴ 当 x ?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 . (Ⅲ )证明:先用数学归纳法证明: f ( 1 ) ? 1 ? 3(n ? N*) n ?1 n ?1
3 3

(1) 当 n=1 时, f ( 1 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ,不等式成立; 0 0
3 3

(2) 假设当 n=k 时, f ( 由 f(

1 1 )? ? 3(k ? N*) 3k ?1 3k ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f [ k ? ( k ? k )] ? f ( k ) ? f ( k ? k ) ? 3 ? f ( k ) ? f ( k ) ? f ( k ) ? 6 3 3 3 3k ?1 3 3 3 3 3 3
1 1 ) ? 6 ? k ?1 ? 9. 3k ?1 3

得3f ( 1 ) ? f (
3k

即当 n=k+1 时,不等式成立 由(1) 、 (2)可知,不等式 f (
1 1 )? ? 3 对一切正整数都成立. 3n?1 3n?1

于是,当 x ? ( 1 , 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时, 3x ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? n n ?1 n
3 3
3

1 1 ? 3 ? f ( n?1 ) , 3n?1 3

而 x ?[0,1], f ? x ? 单调递增 例 50. 已知: a1 ? a2 ? ? an ? 1, ai ? 0 解析:构造对偶式:令 A ? a12
B?
a1 ? a2 ?

∴f ( 1 ) ? f ( 1 ) n n ?1
3 3
(i ? 1,2? n)

所以, f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ? 3. n ?1
3
2 a12 a2 ? ? a1 ? a2 a2 ? a3

求证:

?

2 2 an an 1 ?1 ? ? an?1 ? an an ? a 1 2

2 2 2 an an a2 ?1 ??? ? a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

2 2 2 a3 an a2 a12 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

2 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? B ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? an ? a1 = (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B

a1 ? a2

a 2 ? a3
?

an?1 ? an

an ? a1

2 2 又? ai ? a j

ai ? a j

1 (ai ? a j ) 2

( i, j ? 1,2?n)

?A?

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 ? 1 ?(a ? a ) ? (a ? a ) ? ? ? (a ? a ) ? (a ? a )? ? 1 1 1 a 2 ? a2 ( A ? B) ? ( 1 )? 2 ? ? ? n?1 ? n 1 2 2 3 n ?1 n n 1 2 2 2 a1 ? a2 a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 4


2016届高考数学总知识点知识点总结精华版

2016届高考数学总知识点知识点总结精华版_高考_高中教育_教育专区。高中数学第一...第 44 页共 76 页 高中数学第九章-立体几何考试内容平面及其基本性质.平面图形...

2014年高考数学函数汇编

2014年高考数学函数汇编_高考_高中教育_教育专区。函数汇编 2014 年高考数学题分类汇编函数与导数一、选择题 1.【2014·全国卷Ⅰ(理 3,文 5) 】设函数 f ( ...

2015全国高考数学(文科)分类汇编集合与简单逻辑

2015全国高考数学(文科)分类汇编集合与简单逻辑_数学_高中教育_教育专区。? ? ...得分 一、选择题(题型注释) 1. 【2015 高考新课标 1, 文 1】 已知集合 A...

最新2016年全国高考大纲理科数学(word版)

最新2016年全国高考大纲理科数学(word版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试大纲 理数 I. 考试性质 普通高等学校招生全国统一...

2016年北京市高考数学试卷 理科 解析

2016 年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. (5 分) (2016...

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)

2014 年全国统一高考数学试卷 (理科) (新课标Ⅰ ) 菁优网 www.jyeoo.com 2014 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标Ⅰ )一、选择题(共 12 小题,每小题...

2015年安徽省高考数学试卷(理科)附详细解析

(共 20 页) 2015 年安徽省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的) 1. ...

2016年高考数学全国1卷(理)及答案

2016年高考数学全国1卷(理)及答案_高考_高中教育_教育专区。绝密 ★ 启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试题卷共 5 页,24 题(含选考题)...

2016年高考数学(文科)考点解析及考点分布表

2016 年高考数学(文科)考试大纲、考点分布表一、考核目标与要求数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法,考查空间想象能力、抽象概括能力、...

1987年全国高考数学理科

1987年全国高考数学理科_高考_高中教育_教育专区。1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案1987 年全国高考数学(理科 )试题及其解析一、 (本题满分30分...