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直线与平面垂直的判定


直线与平面垂直的判定
授课教师:江 徽
一、教学目标 1.借助对图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直 线与平面垂直的定义。 2.通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直判定的定理,并能运用判定定理 证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生的空间观念。 3.让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。 二

、教学重点、难点 1.教学重点:操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 2.教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 三、课前准备 1.教师准备:教学课件 2.学生自备:三角形纸片、铁丝(代表直线) 、纸板(代表平面) 、三角板 四、教学过程设计 1.复习提问:直线与平面平行的判定定理及性质定理? 判定定理:平面外一条直线和平面内一条直线平行,则这条直线和此平面平行。 性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行 2.直线与平面垂直定义的建构 (1)创设情境: 讨论:日常生活中有哪些现象给人以直线与平面垂直的感觉?

请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面、羽毛球拦网的支杆与地面、高 楼与地面的位置有什么关系? (2)观察归纳 思考:一条直线与一个平面垂直的意义是什么?
1

以旗杆为例,随着时间的推移,旗杆会在地面上留下很多影子,那么旗杆与影子成 什么关系? 多媒体演示:旗杆与它在地面上影子的位置变化。

发现:旗杆 AB 所在直线与地面内任意一条过点 B 的直线垂直. 续问:旗杆 AB 与地面内任意一条不过点 B 的直线 B1C1 也垂直吗? 不难发现:与地面内任意一条不过点 B 的直线 B1C1 也垂直. 归纳:旗杆所在直线垂直于平面内的任意一条直线. 3.直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 垂直,记作 l⊥ ? 其中:直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面。如图,直线与平 面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 并对画示表示进行说明:画直线与平面垂直时,只需把 直线画成与平面的一边垂直 探究:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有没 有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? 思考:1.能不能像判定直线与平面平行那样,利用直线与平面内的一条直线垂直来 判定直线与平面垂直呢? 2.一条直线不行, 那么又能不能像判断平面与平面平行那样, 利用直线 l 与平 面内两条直线 m,n 都垂直来判定直线与平面垂直呢? 平面内的两条直线的位置有平行和相交两种,显然平行不行。 探究:那平面内的两条直线相交时又是什么情况呢? 师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图 2.3-2 试验: 过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) ,问如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直?
A A

互相

l α
P

B C B 图 2.3-2 D C

D

通过翻折可以得出,只有沿着 BC 边上的高翻折时,折痕垂直于桌面,如图:
2

于是归纳出直线与平面垂直的判定定理。 4.直线与平面垂直的判定定理 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为:
p α m n l

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ?

在理解直线与平面垂直的判定定理时,强调“两条” 、 “相交”缺一不可,并结合前 面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直, 取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,这充分体现了“直线与平 面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。 思考:①如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么该直线垂直于该平面; ②如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直,那么该直线垂直于该平面; ③如果一条直线和一个平面内的某两条相交直线都垂直,那么该直线垂直于该平面; 5. 直线与平面垂直的定义及判定定理的初步应用 同学们,如果我们要在水平地面上竖起一根旗杆,该用什么方法来检验它是否与地 面垂直呢? 用两个直角三角板来测量(详见课件) 6.例题讲解 例1.如图,有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有两 条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的 两点(和旗杆脚不在同一条直线上 )C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m, 那么旗杆就和地面垂直.为什么? 例 2.如图,已知 a∥b,a⊥α ,求证:b⊥α 。 此题有一定难度,教师引导学生分析思路,可利用线面 a b
\ n b

A

?C

B

D

m α 垂直的定义证,也可用判定定理证,提示辅助线的添法,学生练习本上完成, 对照课本 P65 例 1,完善自己的解题步骤。 注:通过例2,我们可以得到证明直线与平面垂直的另一种方法:如果两条平行直线中 的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面 巩固练习:1.如图,空间中直线 b 和三角形的两边 AC,BC 同时垂直, 则这条直线和三角形的第三边 AB 的位置关系是( )
C
?A

a B
3

A 平行

B 垂直

C 相交

D 不确定

P

2.如图,PA⊥圆 O 所在平面,AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上一点,求证⑴ PA ? BC ⑶则图中有几个直角三角形? 探究:详见 P66 ⑵ BC ? 面PAC
A C O

B

4. 总结反思 (1)直线与平面垂直的概念。 (2)直线与平面垂直的判定、性质。 (3)空间问题与平面问题的转换。 (3)通过本节课你能总结出直线和平面垂直的判定方法吗?

直接法 判定定理 : 如果一条直 线垂直于一个平面内的 两条相交直线,那么此 直线垂直于这个平面。 如果一条直线垂于一个平面内 的任何一条直线

直线与平面 垂直的判定

间接法

定义法

如果两条平行直线中 的一条垂直于一个平 面,那么另一条也垂 直于同一个平面。

此直线垂直于这个平面

5.布置作业 (1)课本 P67 练习 1

(2)如图,点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,O 是 对角线 AC 与 BD 的交点,且 PA=PC,PB=PD. 求证:PO⊥平面 ABCD
A B O C D P

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《直线与平面垂直的判定》的教学反思
滁州市第十中学 江徽
本节是高一《必修 2》第二章第三节第一课时的内容。本节课所要达到的知识目 标是: (1)掌握线面垂直的定义;(2)掌握线面垂直的判定定理,并能利用判定定理证 明一些简单的线面垂直问题。所要达到的知识目标很明确,但学生的实际情况是空间想 象能力较弱。所以本节课我先是以生活实例让学生比较直观的认识线面垂直,同时让学 生自己动手比划找出线面垂直的条件,鼓励学生自己给出线面垂直的定义。然后,引导 学生探索发现线面垂直的判定定理。最后,利用判定定理证明一些简单线面垂直问题。 本节课我最满意的地方是线面垂直定义、定理的引入。最大亮点是我依次给出了三 个设问,大胆鼓励让学生自己动手,再结合生活实例,得出结论。设问: (1)直线和平 面垂直的意义?(以旗杆及影子为例) 。 (2)如果一条直线和平面内的一条直线垂直,那 么这条直线一定能和这个平面垂直吗?(3)如果一条直线和平面内的两条直线都垂直, 那这条直线一定与这个平面垂直吗? (两条直线有平行和相交之分) 。 完全放开让学生自 己动手通过折纸试验验证,学生在动手的过程中发现了问题,最后他们能够自己总结出 定义。在这个过程中学生很有成就感,而且极大的调动了学生学习兴趣和积极性。之后, 我又给出设问:如果我们我们要在水平的地面上竖起一根旗杆,你用什么方法检验它是 否与地面垂直呢?然后是由学生动手比划得出结论。为了使他们的结论更具有说服力, 我又举了生活中的实例,比如教室的墙拐角所体现的线面垂直等。最后得出本节课的重 点知识线面垂直的判定定理。这部分之所以感到满意,是因为所有的内容基本都是让学 生亲自动手比划得出的,这使他们对定义的理解更到位,更深刻。 不足之处在于学生的空间想象能力较差,基础薄弱,对数学的学习还是有一点的惰 性,懒于思考,所以在课堂气氛上还是没有达到满意的活跃气氛,以至于这节显得有点 沉闷。 通过这堂课,让我体会到如何才能调动学生的积极性和主动性显得尤为重要,更让 我对立体几何这部分的教学有了全新的看法:一定要以最大的可能让学生自己动手,自 己发现问题,试着自己总结规律,得出结论。要努力把他们的态度从“要我学”变为“我 要学”升华为“我爱学” 。

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