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高一盐城市龙冈中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题


2012-2013 学年江苏省盐城市龙冈中学 高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应的横线上. ) 1. 分) (5 (2010?青浦区二模)函数 y=sinxcosx+ 的最小正周期为 π . 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 把函数 y

=sinxcosx+ 化为一个角的一个三角函数的形式, 然后求出它的最小正周期. 解答: 解:函数 y=sinxcosx+ = sin2x+ , 它的最小正周期是: =π.

故答案为 π 点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,二倍角的正弦,考查计算能力,是基础题.

2. 分)一直线倾斜角的正切值为 ,且过点 P(1,2) (5 ,则直线方程为 3x﹣4y+5=0 .

考点: 直线的一般式方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 题目给出了直线的斜率和直线经过的定点,直接写出直线方程的点斜式,然后化为一 般式. 解答: 解:因为直线倾斜角的正切值为 ,即 k=3,又直线过点 P(1,2) ,所以直线的点斜 式方程为 ,整理得,3x﹣4y+5=0.

故答案为 3x﹣4y+5=0. 点评: 本题考查了直线的点斜式方程,考查了点斜式和一般式的互化,是基础题. 3. 分) (5 (2010?上海)函数 y=2cos x+sin2x 的最小值是 考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 先利用三角函数的二倍角公式化简函数,再利用公式 化简三角函数,利用三角函数的有界性求出 最小值. 2 解答: 解:y=2cos x+sin2x
1
2



=1+cos2x+sin2x =1+ =1+ 当 =2k ,有最小值 1﹣

故答案为 1﹣ 点评: 本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式 化简三角函数.

4. 分)正方体的全面积是 24cm ,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是 12π (5 2 cm . 考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 设球的半径为 R,则正方体的对角线长为 2R,正方体的棱长为 a,利用正方体的表面 积求出与球的半径的等式,然后求出球的表面积. 解答: 解:设球的半径为 R,则正方体的对角线长为 2R, 依题意知 4R =3a =12 2 即 R =3, 2 2 ∴S 球=4πR =4π?3=12π (cm ) . 故答案为:12π. 点评: 本题考查球的表面积,球的内接体问题,考查计算能力,是基础题. 5. 分)已知直线 y=(3a﹣1)x﹣1,为使这条直线经过第一、三、四象限,则实数 a 的 (5 取值范围是 .
2 2

2

考点: 确定直线位置的几何要素. 专题: 计算题;探究型. 分析: 由于给出的直线恒过定点(0,﹣1)所以直线的斜率确定了直线的具体位置,由斜率 大于 0 可求解 a 的范围. 解答: 解:因为直线 y=(3a﹣1)x﹣1 过定点(0,﹣1) , 若直线 y=(3a﹣1)x﹣1 经过第一、三、四象限,则其斜率大于 0,即 3a﹣1>0,所 以 a> . 故答案为 a .

点评: 本题考查了确定直线位置的几何要素,平面中,如果直线过定点,且倾斜角一定,则 直线唯一确定,是基础题. 6. 分)已知正三棱柱的底面边长为 6,侧棱长为 5,则此三棱柱的体积为 (5
2

45



考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 直接利用柱体体积公式 V=Sh 计算即可 解答: 解:正三棱柱的底面边长为 6,底面积 S=

6 =9

2

侧棱长为 5,即高 h=5,所以体积 V=Sh=45 故答案为 45 点评: 本题需掌握正三棱柱的结构特征:底面为正三角形,侧棱与底面垂直以及柱体体积公 式 7. 分)已知两条不同直线 m、l,两个不同平面 α、β,给出下列命题: (5 ①若 l 垂直于 α 内的两条相交直线,则 l⊥α; ②若 l∥α,则 l 平行于 α 内的所有直线; ③若 m?α,l?β 且 l⊥m,则 α⊥β; ④若 l?β,l⊥α,则 α⊥β; ⑤若 m?α,l?β 且 α∥β,则 m∥l. 其中正确命题的序号是 ①④ . (把你认为正确命题的序号都填上) 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 对于①,由直线与平面垂直的判定定理能够判断真假; 对于②,由直线平行于平面的性质知 l 与 α 内的直线平行或异面; 对于③,由平面与平面垂直的判定定理知 α 与 β 不一定垂直; 对于④,由平面与平面垂直的判定定理能够判断真假; 对于⑤,由平面与平面平行的性质知 m∥l 或 m 与 l 异面. 解答: 解:①l 垂直于 α 内的两条相交直线,由直线与平面垂直的判定定理知 l⊥α,故①正 确; ②若 l∥α,则 l 与 α 内的直线平行或异面,故②不正确; ③若 m?α,l?β 且 l⊥m,则 α 与 β 不一定垂直.故③不正确; ④若 l?β,l⊥α,则由平面与平面垂直的判定定理知 α⊥β,故④正确; ⑤若 m?α,l?β 且 α∥β,则 m∥l 或 m 与 l 异面,故⑤不正确. 故答案为:①④. 点评: 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断,是基础题.解 题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

8. 分) (5 (2012?江苏一模)在△ ABC 中,已知 BC=1,B= AC 的长为 .

,△ ABC 的面积为

,则

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 利用面积公式求出 AB,通过余弦定理直接求出 AC 即可.

3

解答: 解:因为在△ ABC 中,已知 BC=1,B= 三角形 ABC 的面积 S=
2

,△ ABC 的面积为 =
2 2

, ,

=

所以 AB=4,由余弦定理可知:AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB, ∴AC =16+1﹣2×4×1× =13, ∴AC= . 故答案为: . 点评: 本题考查三角形中的几何计算,余弦定理的应用,考查计算能力.
2

9. 分) (5 (2010?宝山区一模) 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 π, 半径为 18 cm 的扇形, 则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 .

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设母线长为 l,底面半径为 r,利用侧面展开图,求出圆心角,然后求出底面半径,即 可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值. 解答: 解:设母线长为 l,底面半径为 r,则依题意易知 l=18cm, 由 θ= ,代入数据即可得 r=12cm, = .

因此所求角的余弦值即为 = 故答案为:

点评: 本题是基础题,考查圆锥的侧面展开图,扇形的知识,圆锥的母线与底面所成的角, 考查计算能力. 10. 分)△ ABC 中,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABC,则图中直角三角形的个数为 4 . (5

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,P 为△ ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,能推 导出 BC⊥平面 PAB.由此能求出四面体 P﹣ABC 中有多少个直角三角形. 解答: 解:在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°, P 为△ ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,
4

∴BC⊥PA,BC⊥AB, ∵PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB. ∴四面体 P﹣ABC 中直角三角形有△ PAC,△ PAB,△ ABC,△ PBC.4 个. 故答案为:4. 点评: 本题考查直线与平面垂直的性质的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答, 注意等价转化思想的灵活运用. 11. 5 分) ( 在△ ABC 中, b, 分别为内角 A, C 的对边, a =b +c +bc, sinB+sinC=1, a, c B, 若 且 则角 B= 30° . 考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 2 2 2 利用余弦定理由 a =b +c +bc, 可求得 A=120°, 利用和差化积公式可求得 cos 从而可求得 B=C=30°. 2 2 2 解答: 解:由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 2 又 a =b +c +bc, ∴﹣2cosA=1, ∴cosA=﹣ . ∵A∈(0,180°) , ∴A=120°, ∴B+C=60°, ∵sinB+sinC=1, ∴2sin cos =1, =1, =30°.
2 2 2

=1,

即 2sin30°cos ∴cos

=1,B,C∈(0,60°) ,

∴B=C=30°. 故答案为:30°. 点评: 本题考查余弦定理,考查和差化积公式,求得 A=120°是关键,属于中档题. 12. 分)如图,甲船以每小时 (5 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线 航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海 里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两 船相距 海里,则乙船每小时航行 海里?

5

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 连接 A1B2,依题意可知 A2B2,求得 A1A2 的值,推断出△ A1A2B2 是等边三角形,进 而求得∠B1A1B2,在△ A1B2B1 中,利用余弦定理求得 B1B2 的值,进而求得乙船的速 度. 解答: 解:连接 A1B2, 由题意可得,A2B2=10,A1A2= =10

△ A1A2B2 是等边三角形,∠B1A1B2=105°﹣60°=45°, 2 2 2 在△ A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B2 =A1B1 +A1B2 ﹣2A1B1?A1B2cos45° = ∴B1B2=10 因此乙船的速度的大小为 =30 . =200

故答案为:30 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用. 要能综合运用余弦定理, 正弦定理等基础知识, 考查了综合分析问题和解决实际问题的能力. 13. 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a =b +bc,sin C=2sin B, (5 则 A= 60° . 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 分析: 由正弦定理化简 sinC=2sinB,得到 c=2b,代入 a =b +bc 得到 a 与 b 的关系,利用余 弦定理表示出 cosA,将得出的关系代入求出 cosA 的值,利用特殊角的三角函数值即 可求出 A 的度数. 解答: 解:由正弦定理化简 sinC=2sinB 得:c=2b, 2 2 2 2 2 2 将 c=2b 代入 a =b +bc 中,得:a =b +2b =3b ,即 a= b, 由余弦定理得:cosA= ∵A 为三角形的内角, ∴A=60°. 故答案为:60°
6
2 2

=

= ,

点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题 的关键. 14. 分)在棱长为 4 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、D1C1 上的动 (5 点,点 G 为正方形 B1BCC1 的中心.则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所 构成的图形中,面积的最大值为 12 . 考点: 棱柱的结构特征;简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 通过作图, 分析出空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形的形 状,求出其面积,得到面积的最大值. 解答: 解:如图,

若投影投在 AA1D1D 或 BB1CC1 平面上,投影面积由 E 点确定,最大面积为 8,E 与 A1 重合时取最大面积; 若投影投在 ABCD 或 A1B1C1D1 平面上,投影面积由 F 点确定,最大面积为 8,F 与 D1 重合时取最大面积; 若投影投在 ABA1B1 或 DD1CC1 平面上,投影面积由 E 点与 F 点确定,当 E 与 A1,F 与 C1 重合时, 可得最大面积, 投在 BB1 的中点, G 是个直角梯形 S= =12.

故答案为 12. 点评: 本题考查了棱柱的结构特征,考查了空间几何图形在平面上的正投影,考查了学生观 察问题和分析问题的能力,是中档题. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)已知直线 l 过点 A(﹣2,3) (1)直线 l 的倾斜角为 135°,求直线 l 的方程; (2)直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 2,求直线 l 的方程. 考点: 直线的一般式方程;直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)有直线的倾斜角求出其斜率,直接利用直线方程的点斜式写出方程,然后化为 一般式; (2)设出直线的斜截式方程,由点 A 在直线上得到一个关于 k,b 的方程,求出直线 在两坐标轴上的截距, 由截距之和等于 2 得另一方程, 联立方程组后求出斜率和截距,
7

则直线方程可求. 解答: (1)由直线 l 的倾斜角为 135°,所以其斜率为﹣1, 解: 又直线 l 过点 A(﹣2,3) ,所以直线 l 的方程为 y﹣3=﹣(x+2) ,即 x+y﹣1=0; (2)设线方程为:y=kx+b 因为过点 A(﹣2,3) 所以 3=﹣2k+b. 当 y=0,x=﹣ . 当 x=0,y=b. 由题意得,﹣ +b=2

解方程组



得 k1=﹣1,b=1;k2= ,b=6. 所以直线方程为:y=x+1 或 3x﹣2y+12=0. 点评: 本题考查了直线的一般式方程和截距式方程,考查了方程组的解法,需要注意的是截 距不是距离,是基础的计算题. 16. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点,AC 与 BD 的交点为 O.求证: (1)直线 OE∥平面 PBC; (2)平面 ACE⊥平面 PBD.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形的中位线性质可得 OE∥PB,再根据直线和平面平行的判定定理证 得 OE∥平面 PBC. (2) 证明 PD⊥AC, BD⊥AC, 再根据直线和平面垂直的判定定理证得 AC⊥平面 PBD, 再根据平面和平面垂直的判定定理证得平面 ACE⊥平面 PBD. 解答: 证明: (1)在正方形 ABCD 中,AC 与 BD 的交点 O 为 BD 的中点,又因为 E 为 PD 的中点,故 OE 是三角形 DPB 的中位线,所以 OE∥PB. 因为 OE?平面 PBC,PB?平面 PBC,所以 OE∥平面 PBC.…(7 分) (2)因为 PD⊥底面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以 PD⊥AC. 在正方形 ABCD 中, AC⊥BD. 又因为 BD?平面 PBD, PD?平面 PBD, BD∩PD=D, 且 所以 AC⊥平面 PBD. 又因为 AC?平面 ACE,所以,平面 ACE⊥平面 PBD. …(14 分)
8

点评: 本题直线和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用,属于中档题.

17. (15 分)已知函数 f(x)=2cos (1)设 x∈ ,且 f(x)= +1,求 x 的值;



(2)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边的边长为 a、b、c,AB=1,f(C)= 的面积为 ,求 a+b 的值.

+1,且△ ABC

考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (1)函数解析式利用单项式乘多项式法则计算,利用二倍角的正弦、余弦函数公式 化简,整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,根据 f(x) 的值,即可求出 x 的值; (2)利用三角形的面积公式及余弦定理列出关于 a 与 b 的方程组,求出方程组的解 得到 a 与 b 的值,即可确定出 a+b 的值. 解答: 2 解: (1)f(x)=2 cos ﹣2sin cos = (1+cosx)﹣sinx=2cos(x+ )+ , 由 2cos(x+ 于是 x+ ∵x∈[0, )+ = +1,得 cos = ,

=2kπ±

(k∈Z) , ; , ,即 ab=2 ,①

],∴x=

(2)∵C∈(0,π) ,∴由(1)知 C= ∵△ABC 的面积为 ,∴ = absin

在△ ABC 中,设内角 A、B 的对边分别是 a、b, 由余弦定理得 1=a +b ﹣2abcos ∴a +b =7,② 由①②可得 或 ,
2 2 2 2

=a +b ﹣6,

2

2

则 a+b=2+ . 点评: 此题考查了余弦定理,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及两角和与差的余弦函数公
9

式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18. (15 分) (2010?石家庄二模)已知△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边的边长为 a、b、c, 且 bcosC=(2a﹣c)cosB. (Ⅰ)求角 B 的大小; 2 2 (Ⅱ)若 y=cos A+cos C,求 y 的最小值. 考 正弦定理;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦;正弦函数的定义域和值域. 点: 专 计算题. 题: 分 (Ⅰ)由正弦定理化简已知的等式,移项后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公 析:式变形,根据 A 为三角形的内角,得到 sinA 不为 0,进而得到 cosB 的值,再由 B 为三 角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ)由第一问求出的 B 的度数,根据内角和定理得到 A+C 的度数,进而得到 2A+2C 的度数,用 2A 表示出 2C,接着把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简,把表 示出的 2C 代入,利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值变形,合并后 再利用两角和与差的正弦函数公式把所求式子化为一个角的正弦函数,由 2A 的范围, 得到这个角的范围,得到正弦函数的值域,即可得到所求式子的范围. 解 解: (Ⅰ)由正弦定理可得:sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB, 分) (2 答:即 sin(B+C)=2sinAcosB, 因为 0<A<π,所以 sinA≠0, ∴ ∴ , ; 分) (4 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 则 y=cos A+cos C =
2 2

= ∵ ∴ 则 所以 y 的取值范围为 , , , 分) (8 . (10 分)

点 此题考查了正弦定理,诱导公式,两角和与差的正弦、余弦函数公式,二倍角的余弦函 评:数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握公式是解本题的关键.
10

19. (16 分) (2011?南通一模)如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道,赛 道的前一部分为曲线段 FBC, 该曲线段是函数 (A>0, ω>0) x∈[﹣ , 千米的直线跑道

4,0]时的图象,且图象的最高点为 B(﹣1,2) .赛道的中间部分为长 CD,且 CD∥EF.赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 .

(1)求 ω 的值和∠DOE 的大小; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路 EF 上,一个顶点在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 的面积取最大值时 θ 的值. 上,且∠POE=θ,求当“矩形草坪”

考点: 已知三角函数模型的应用问题;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)依题意,得 A=2, .根据周期公式 T= 可得 ω,把 B 的坐标代入结合已 知可得 φ,从而可求∠DOE 的大小; (2)由(1)可知 OD=OP,矩形草坪的面积 S 关于 θ 的函数,有 正弦函数的性质可求 S 取得最大值. 解答: 解: (1)由条件,得 A=2, . 分) (2 ∵ ,∴ . 分) (4 . ,∴ . 分) (7 ,结合

∴曲线段 FBC 的解析式为 当 x=0 时, .又 CD=

(2)由(1) ,可知 . 又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点 P 在弧 DE 上,故 设∠POE=θ, ,“矩形草坪”的面积为

. 分) (8

= ∵ ,故

. (13 分) 取得最大值. (15 分)

11

点评: 本题主要考查了在实际问题中,由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定函数的解析式, 一般步骤是:由函数的最值确定 A 的值,由函数所过的特殊点确定周期 T,利用周期 公式求 ω,再把函数所给的点(一般用最值点)的坐标代入求 φ,从而求出函数的解 析式;还考查了实际问题中的最值的求解.关键是要把实际问题转化为数学问题来求 解. 20. (16 分) (2012?盐城三模)在△ ABC 中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D 为线段 BC 的中点,E、F 为线段 AC 的三等分点(如图 1) .将△ ABD 沿着 AD 折起到△ AB'D 的位置, 连接 B'C(如图 2) .

(1)若平面 AB'D⊥平面 AD C,求三棱锥 B'﹣AD C 的体积; (2)记线段 B'C 的中点为 H,平面 B'ED 与平面 HFD 的交线为 l,求证:HF∥l; (3)求证:AD⊥B'E. 考点: 直线与平面平行的性质;空间中直线与直线之间的位置关系. 分析: (1)要求三棱锥的体积,关键要确定高与底面,由于平面 AB'D⊥平面 AD C,则可 让△ ADC 为底,B'到面 ADC 的距离为高,即要找到过 B'点的 AD 的垂线即可; (2)此问是要证明线线平行,又知 l 为平面 B'ED 与平面 HFD 的交线,故可证 HF∥ 面 B'ED,再用线面平行的性质定理即得证; (3)要证 AD⊥B'E,可用线面垂直的性质定理,即让 AD 垂直于 B'E 所在的其中一 个平面即可. 解答: (1)在直角△ ABC 中,D 为 BC 的中点,所以 AD=BD=CD. 解: 又∠B=60°,所以△ ABD 是等边三角形.取 AD 中点 O,连接 B'O,∴B'O⊥AD. ∵面 AB'D⊥面 ADC,面 AB'D∩面 ADC=AD,B'O?面 AB'D, ∴B'O⊥面 ADC. 在△ ABC 中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D 为 BC 的中点, ∴AC= ,B'O= ,∴ . .

∴三棱锥 B'﹣ADC 的体积为 V=

(2)∵H 为 B'C 的中点,F 为 CE 的中点,∴HF∥B'E, 又 HF?面 B'ED,B'E?面 B'ED,∴HF∥面 B'ED, ∵HF?面 HFD,面 B'ED∩面 HFD=l,∴HF∥l. (3)由(1)知,B'O⊥AD.∵AE= ∴ , = , ,∠DAC=30°,

12

∴AO +EO =AE ,∴AD⊥EO 又 B'O?面 B'EO,EO?面 B'EO,B'O∩EO=O,∴AD⊥面 B'EO, 又 B'E?面 B'EO, ∴AD⊥B'E. 点评: 本题考查的是立体几何的平行与垂直的关系和空间体的体积; 立体几何的平行与垂直 的问题是高考的常考必考内容,除了要掌握与平行垂直相关的结论外,理科生还要注 意掌握用空间向量的方法解决立体几何中的平行、垂直、空间角的问题.

2

2

2

13


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