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山东省2013届高三高考模拟卷(一)理科数学 Word版含答案


山东省 2013 届高三高考模拟卷(一) 数学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.把复数 z 的共轭复数记作 z , i

为虚数单位,若 z ? 1 ? i ,则 (2 ? z ) ? z ? A. 4 ? 2i B. 4 ? 2i
2

C. 2 ? 4i

D.4
2

2. 已知集合 A ? {x | y ? A. {x | ?3 ? x ? 0} C. {x | ?3 ? x ? 0}

x ? x ? 6} , 集合 B ? {x | x ? log 1 a, a ? 1} , 则
B. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | ?2 ? x ? 0}

3.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50 名学生的高校招生体检表中的视力 情况进行统计,其频率分布直方图如图所示:

若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学生中能报 A 专业的人数为 A.10 B.20 C.8 D.16
1

4.下列说法正确的是 A.函数 f ( x) ?

1 在其定义域上是减函数 x
2 2

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ?x ? R , x ? x ? 2013 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 2013 ? 0 ” D.给定命题 p、q ,若 p ? q 是真命题,则 ?p 是假命题 5.将函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x 的图象向左平移 象,则下列说法中正确的是 A.函数 F ( x) 是奇函数,最小值是 ? 2 B.函数 F ( x) 是偶函数,最小值是 ? 2 C.函数 F ( x) 是奇函数,最小值是 ? 2 D.函数 F ( x) 是偶函数,最小值是 ? 2

? 个单位后得到函数 F ( x) 的图 8

? x ? y ? 4, ? 2 2 6. 已知点 P( x, y) 满足 ? y ? x, 过点 P 的直线与圆 x ? y ? 14 相交于 A, B 两点, ? x ? 1, ?
则 AB 的最小值为 A.2 B. 2 6 C. 2 5 D.4

7.一个几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是底边长分别为 2 和 4,腰 长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面积是

A. 6?

B. 12?

C. 18?

D. 24?

2

8.执行如图所示的程序框图,若输入 p ? 5 , q ? 6 ,则输出 a , i 的值分别为

A.5,1
2

B.30,3
2

C.15.3

D.30.6

9. 若双曲线

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的 a 2 b2

1 ,则该双曲线的渐近线方程是 4
A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 3 y ? 0 D. 3 x ? y ? 0

10.我们定义若函数 f ( x) 为 D 上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间 D 上 的 任 何 取 值 有 意 义 ; (2) 对 于 区 间 D 上 的 任 意 n 个 值 x1 , x2 ,?, xn , 总 满 足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? nf (
足凹函数定义的是

x1 ? x2 ? ? ? xn ? 那么下列四个图象中在 [0, ] 上满 ), n 2

11.若 (2 ? x)

2013

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2013 x 2013 ,则

a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2012 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2013
D. ?

A.

32013 ? 1 32013 ? 1

B. ?

32013 ? 1 32013 ? 1
3

C.

32012 ? 1 32012 ? 1

32012 ? 1 32012 ? 1

12.已知 a, b, c 为互不相等的三个正实数,函数 f ( x) 可能满足如下性质: ① f ( x ? a) 为奇函数;② f ( x ? a) 为奇函数;③ f ( x ? b) 为偶函数;④ f ( x ? b) 为 偶函数;⑤ f ( x ? c) ? f (c ? x) .类比函数 y ? 2013sin x 的对称中心、对称轴与周期的 关系,某同学得到了如下结论: (i)若满足①②,则 f ( x) 的一个周期为 4a ;(ii)若满足①③;则 f ( x) 的一个周期为

4 | a ? b | ;(iii)若满足③④,则 f ( x) 的一个周期为 3 | a ? b | ;(iv)若满足②⑤;则 f ( x) 的
一个周期为 4 | a ? c | . 其中正确结论的个数为( A.1 B.2 C.3 ). D.4

第Ⅱ卷
4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题纸的相应位置. 13 . 已 知 向 量 a ? ( 2,3) , b ? (1,2) , 且 a, b 满 足 (a ? ? b) ? (a ? b) , 则 实 数

? ? _______.
14.对任意的实数 x ? R ,不等式 x ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

________. 15.由直线 x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 y ? x 以及 x 轴围成的封闭图形的面积为________.
3

16.如图放置的边长为 2 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动.设顶点 P( x, y ) 的轨迹方程是

y ? f ( x) ,则 y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围成的区域的面积为
______.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤, 把答案填写在答题纸的相应位置. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,三个内角分别为 A,B,C,已知 A ?

?
4

, cos B ?

4 . 5

(1)求 cosC 的值; (2)若 BC=10,D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 18.(本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF,BC⊥ CF, AD ? 3 ,EF=2,BE=3,CF=4. (1)求证:EF⊥平面 DCE; (2)当 AB 的长为何值时,二面角 A ? EF ? C 的平面角的大小为 60? . 19.(本小题满分 12 分) 为迎接 2013 年“两会” (全国人大 3 月 5 日-3 月 18 日、全国政协 3 月 3 日-3 月 14 日)的胜利召开,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题,问题 A 有四个 选项,问题 B 有五个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题 A 可获奖金 m 元, 正确回答问题 B 可获奖金 n 元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第
5

一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中止.假设一个参与者在回答问题前,对这两 个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大. 20.(本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 Sn ?

1 2 2 n ? n?3 , 数 列 4 3

{log 3 bn }( n ? N *) 为等差数列,且 b1 ? 3 , b3 ? 27 .
(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ? an ?

5 , Tn ? b1c1 ? b2c2 ? b3c3 ? ? ? bncn ,求 Tn 的值. 12

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 1 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,以椭圆的短半 a 2 b2 2

轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P(4,0),A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; (3)在(2)的条件下,设过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,求 OM ? ON 的取值 范围. 22.(本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c( x ? 1) ?a ln x( x ? 1)

, 的 图 象 过 点 (?1,2) , 且 在 点

(?1, f (?1)) 处的切线与直线 x ? 5 y ? 1 ? 0 垂直.
(1)求实数 b, c 的值; (2)求 f ( x) 在 [?1, e](e 为自然对数的底数)上的最大值; (3)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P,Q,使得△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上?

山东省 2013 届高三高考模拟卷(一)

6

数学(理科)参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.A 【解析】由 z ? 1 ? i 得 (1 ? z ) ? z ? (3 ? i)(1 ? i) ? 3 ? 1 ? 3i ? i ? 4 ? 2i .

2.D【解析】由题意得集合 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 3} ,故 集合 B ? {x | x ? 0} ,所以

? {x | ?2 ? x ? 3} ,又

? {x | ?2 ? x ? 0} .

3.B【解析】该班学生视力在 0.9 以上的频率为 (1 ? 0.75 ? 0.25) ? 0.2 ? 0.4 ,故 该班 50 名学生中能报 A 专业的人数为 0.4 ? 50 ? 20 .

1 在其定义域上不是减函数,A 错;两 x 个 三 角 形 全 等 是 这 两 个 三 角 形 面 积 相 等 的 充 分 条 件 , B 错 ; 命 题 “ ?x ? R ,
4.D 【解析】由减函数的定义易知 f ( x) ? ,C 错;由 p ? q 是真命题 x 2 ? x ? 2013 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x 2 ? x ? 2013 ? 0 ” 可知 p 和 q 都是真命题,故 ?p 一定是假命题,D 正确,选 D. 5.C【解析】由题易得 f ( x) ? 后,得 F ( x) ?

2 cos(2 x ?

?
4

) ,将 f ( x) 的图象向左平移

2 cos[2( x ? ) ? ] ? ? 2 cos(2 x ? ) ? ? 2 sin 2 x 的图象,易知 8 4 2

?

?

?

? 个单位 8

F ( x) 为奇函数,最小值为 ? 2 ,故选 C.
6.D 【解析】当 P 点同时满足(1)P 为 AB 的中点;(2)P 点到 D 点的距离最大时,AB 取得最小值.P 点的可行域如图所示,因为直 线 y ? x 和直线 x ? y ? 4 垂直, 故 P 点的坐标是(1, 3)时, OP 最大. 易 知此时 AB=4,故选 D. 7.B【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台,其上,下底 面的半径分别为 2 , 1 ,其直观图如图所示.则该几何的侧面积

S ? ? (2 ? 4 ? 1? 4) ? 12? .

8.D【解析】执行程序框图可知,当 i ? 1 时, a ? 5 ?1 ;当 i ? 2 时, a ? 5 ? 2 ;?;
7

当 i ? 6 时, a ? 5 ? 6 ,即 a 能被 q 整除,退出循环,输出 a, i 的值分别为 30,6.

x2 y 2 9.C【解析】由双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的对称性可取其一个焦点 (c,0) 和一 a b

b | ?c ?0| b b 1 条渐近线 y ? x , 则该点到该渐近线的距 离为 a ? b ,而 ? ,因 此 a 2c 4 b2 1? 2 a
b 3 3 1 c ,所以 ? ,因此双曲线的渐近线方程为 b ? c , a ? c2 ? b2 ? a 3 2 2
x ? 3y ? 0 .
10.A【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可 以排除 D,在 A、B、C 这三个选项中可以考虑特值法,取 x1 ? 0 , x2 ? B、C 不满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

?
2

,则显然选项

x1 ? x2 ) ,故选 A. 2

11.B【解析】令 x ? 1得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? a2013 ? 1 ①, 令 x ? ?1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? a2013 ? 3 由①②联立,可得 a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2012 ?
2013

②,

32013 ? 1 , 2

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2013 ?

1 ? 32013 , 2
32013 ? 1 32013 ? 1 2 ? ? ? . 1 ? 32013 32013 ? 1 2
T 两相邻对称 2

从而

a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2012 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2013

12.B【解析】由 y ? 2013sin x 的图象知,两相邻对称中心的距离为 轴的距离为

T T ,对称中心与距其最近的对称轴的距离为 ,若满足①②,则 f ( x) 的两 2 4 T 个相邻对称中心分别为 (a,0) , (?a,0) ,从而有 ? a ? (?a) ? 2a ,即 T ? 4a ;若满足 2
8

①③,则 f ( x) 的对称轴为 x ? b ,与对称轴相邻的对称中心为 (a.0) ,有

T ?| a ? b | , 4

即 T ? 4 | a ? b | ;若满足③④,则 f ( x) 的两个相邻的对称轴为 x ? ?b 和 x ? b ,从而有

T ? b ? (?b) ? 2b ,即 T ? 4b ;若满足②⑤,则 f ( x) 的对称中心为 (?a,0) ,与其相邻 2 T 的对称轴为 x ? c ,从而有 ? c ? (? a) ? a ? c ,即 T ? 4 | a ? c | .故只有(iii)(iv)错误. 4
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题纸的相应位置. 13.? 【解析】 由 a ? ( 2,3) ,b ? (1,2) , 得 a ? ? b ? (2 ? ? ,3 ? 2? ) ,a ? b ? (1,1) , 因为 (a ? ? b) ? (a ? b) ,所以 (a ? ? b) ? (a ? b) ? 0 ,即 (2 ? ? ) ?1 ? (3 ? 2? ) ? 1 ? 0 , 解得 ? ? ? . 14 . [?2,??) 【 解 析 】 当 x ? 0 时 , a ? R ; 当 x ? ? 0 时,原不等式变形可得

5 3

5 3

1 1 a ? ?(| x | ? ) , 因 为 | x | ? ? 2 ( 当 且 仅 当 | x |? 1 时 , 等 号 成 立 ) , 所 以 |1 x| 1 | x| ? (| x | ? ) ? ?2 ,即 ? (| x | ? ) 的最大值是 ? 2 ,所以 a ? ?2 . | x| | x| ? 3 ?x ? y ? 2 ? 0 3 ? 15. 【解析】由 ? ,解得直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 y ? x 的交点坐标 3 ? 4 ? ?y ? x
是(1,1),结合图形可知,由直线 x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 y ? x 以及 x 轴围成的封闭图形的
3

面积为

1 1 3 1 41 1 2 x |0 ? (2 x ? x 2 ) |1 ? ? ? . 2 4 2 4 4 16.4 ? ? 4 【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与 x 轴所围成的区域的面

?

1

0

x3dx ? ? (2 ? x)dx ?
1

2

积,所以为了简便,可以直接将 P 点移到原点,开始运动,如图所示,当 P 点第一次回 到 x 轴时经过的曲线是三段相连的圆弧,它与 x 轴围成的区域面积为

1 1 ? ? ?22 ?[ ? ? (?2 ) 22 4 4

1 ?2 ?2 ] ? ? ? 4

2

? 2 ?? 4. ? 4

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤, 把答案填写在答题纸的相应位置.
9

4 3 2 ,且 B ? (0, ? ) , sin B ? 1 ? cos B ? , 5 5 3? 3? 3? 则 cosC ? cos( ? ? A ? B) ? cos( ? B) ? cos cos B ? sin sin B 4 4 4
17. 【解析】(1)因为 cos B ?

??

2 4 2 3 2 ? ? ? ?? . 2 5 2 5 10
2

(2)由(1)可得 sin ?ACB ? 1 ? cos ?ACB ? ? 1 ? (?

2 2 7 2 ) ? . 10 10

由正弦定理得

10 AB BC AB ,即 ,解得 AB=14. ? ? sin A sin ?ACB 2 7 2 2 10
1 AB ? 7 , 2 4 ? 37 , 5

因为在△BCD 中, BD ?

CD2 ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ? BD ? cos B ? 72 ? 10 2 ? 2 ? 7 ? 10 ?
所以 CD ? 37 . 18. 【解析】 (1)由题易知在△BCE 中, BC ? AD ? 所以 EC ?

3 ,BE=3,

BC 2 ? BE 2 ? 2 3 ,
2 2 2

又在△FCE 中, CF ? 16 ? EF ? CE ,所以 EF⊥CE, 因为平面 ABCD⊥平面 EFCB,DC⊥BC,所以 DC⊥平面 EFCB, 又 EF ? 平面 EFCB,所以 DC⊥EE, 又 DC ? EC=C,所以 EF⊥平面 DCE. (2) 法一过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于点 H,连接 AH. 由平面 ABCD⊥平面 BEFC, 又平面 ABCD ? 平面 BEFC=BC,AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 BEFC,从而 AB⊥EF, 又因为 BH⊥EF,BH ? AB=B,所以 EF⊥平面 ABH. 又 AH ? 平面 ABH,所以 EF⊥AH, 所以∠AHB 为二面角 A ? EF ? C 的平面角. 在 Rt△CEF 中,因为 EF=2,CF=4, 所以∠CFE= 60? ,因为 BE∥CF,所以∠BEH=∠CFE= 60? .
10

又在 Rt△BHE 中,BE=3,所以 BH ? BE ? sin ?BEH ? 3 ?

3 3 3 ? , 2 2

由二面角 A ? EF ? C 的平面角的大小为 60? ,得∠AHB= 60? , 在 Rt△ABH 中,解得 AB ? BH ? tan ?AHB ? 所以当 AB ?

3 3 9 ? 3? . 2 2

9 时,二面角 A ? EF ? C 的平面角的大小为 60? . 2 (2)法二 由题知,平面 ABCD⊥平面 BEFC,又平面 ABCD ? 平面 BEFC=BC,DC⊥BC,

则 DC⊥平面 BEFC.又 CF⊥BC,则 BC,CD,CF 两两垂直,以点 C 为坐标原点,CB, CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴,y 轴和 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz . 设 AB ? a(a ? 0) , 则 C (0,0,0) ,A( 3 ,0, a ) ,B( 3,0,0) ,E ( 3,3,0) ,F (0,4,0) , 从而 EF ? (? 3 ,1,0) , AE ? (0,3,? a ) . 设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y , z ) , 由 EF ? n ? 0 , AE ? n ? 0 得, ?

?? 3 x ? y ? 0 ?3 y ? az ? 0



取 x ? 1,则 y ? 3 , z ?

3 3 , a 3 3 ). a

即平面 AEF 的二个法向量为 n ? (1, 3 ,

不妨设平面 EFCB 的法向量为 BA ? (0,0, a ) , 由条件,得 | cos ? n, BA ?|?| 所以当 AB ?

n ? BA | n || BA |

|?

3 3 4a 2 ? 27

?

1 9 ,解得 a ? . 2 2

9 时,二面角 A ? EF ? C 的平面角的大小为 60? . 2 1 19. 【解析】该参与者随机猜对问题 A 的概率 P , 1 ? 4 1 随机猜对问题 B 的概率 P2 ? . 5
11

回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: ①先回答问题 A,再回答问题 B,参与者获奖金额 ? 的可能取值为 0, m, m ? n ,

3 , 4 1 4 1 P(? ? m) ? P ? ? , 1 (1 ? P 2) ? 4 5 5 1 1 1 P(? ? m ? n) ? P ? ? . 1P 2 ? 4 5 20 3 1 1 m n 数学期望 E? ? 0 ? ? m ? ? (m ? n) ? . ? ? 4 5 20 4 20
则 P(? ? 0) ? 1 ? P 1 ? ②先回答问题 B,再回答问题 A,参与者获奖金额? 的可能取值为 0, n, m ? n ,

4 , 5 1 3 3 , P(? ? n) ? P2 (1 ? P ? ? 1) ? 5 4 20 1 1 1 P(? ? m ? n) ? P2 P ? ? . 1 ? 5 4 20 4 3 1 m n 数学期望 E? ? 0 ? ? n ? ? ( m ? n) ? ? ? . 5 20 20 20 5 m n m n 4m ? 3n . E? ? E? ? ( ? ) ? ( ? ) ? 4 20 20 5 20 m 3 于是,当 ? 时, E? ? E? ,即先回答问题 A,再回答问题 B,参与者获奖金额 n 4
则 P(? ? 0) ? 1 ? P2 ? 的期望值较大; 当

m 3 ? 时, E? ? E? ,无论是先回答问题 A,再回答问题 B,还是先回答问题 B, n 4 m 3 ? 时, E? ? E? ,即先回答问题 B,再回答问题 A,参与者获奖金额的期望 n 4 1 2 47 , ? ?3? 4 3 12 1 2 1 2 n 5 ? n2 ? n ? 3 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 3 ? ? , 4 3 4 3 2 12

再回答问题 A,参与者获奖金额的期望值相等; 当

值较大. 20. 【解析】(1)由题意得 a1 ? 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1

12

? 47 , n ? 1, ? 1 5 11 47 ? 12 又 ? ,所以 an ? ? ? ? ? 2 12 12 12 ? n ? 5 , n ? 2. ? ? 2 12
设等差数列 {log 3 bn } 的公差为 d .由 b1 ? 3 , b3 ? 27 , 可得 2(log 3 3 ? d ) ? log3 3 ? log3 27 ,解得 d ? 1 . 所以 log3 bn ? log3 3 ? (n ? 1) ?1 ? n ,所以 bn ? 3 .
n

5 7 n ? ,当 n ? 2 时, cn ? , 12 2 2 7 21 所以当 n ? 1时, T1 ? b1c1 ? 3 ? ? ; 2 2
(2)由(1)得,当 n ? 1时, c1 ? a1 ? 当 n ? 2 时, Tn ? b1c1 ? b2 c2 ? b3c3 ? ? ? bn cn

7 2 3 n ? 3 ? ? 32 ? ? 33 ? ? ? ? 3n ? 2 2 2 2

?

21 1 2 ? (3 ? 2 ? 33 ? 3 ? ? ? 3n ? n) . 2 2
2 3 n

记 Qn ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ,



3Qn ? 33 ? 2 ? 34 ? 3 ? ? ? 3n ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? n ,②
①-②得 ? 2Qn ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 3 ? 3
2 3 n n ?1

? n ? 18 ?

27 ? (3n ? 2 ? 1) ? 3n ?1 ? n , 2

3n ?1 ? 27 3n ?1 ? n ? 故 Qn ? ?9 ? , 4 2
则 Tn ?

21 1 3n ?1 ? 27 3n ?1 ? n (2n ? 1) ? 3n ?1 ? 75 ? ? (?9 ? ? )? (n ? 2) . 2 2 4 2 8

因为

1? 32 ? 75 21 (2n ? 1) ? 3n ?1 ? 75 ? ,所以 Tn ? . 8 2 8
13

c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 2 ? ,即 a 2 ? b 2 . 21. 【解析】(1)由题意知 e ? ? ,所以 e ? 2 ? 2 a a 4 a 2 3
又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆 x ? y ? b ,与直线
2 2 2

x ? y ? 6 ? 0 相切,所以 b ?

6 1 ? ( ?1) 2
2

? 3,

所以 a ? 4 , b ? 3 ,故椭圆 C 的方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)由题意知直线 PB 的斜率存在且不为 0,则直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 得 (4k ? 3) x ? 32 k x ? 64 k ? 12 ? 0 . ① ? ? 1 , ? 3 ?4
设点 B( x1 , y1 ) , E ( x2 , y2 ) ,则 A( x1,? y1 ) .由题意知直线 AE 的斜率存在,则直线 AE 的方程为 y ? y2 ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1 y2 ( x2 ? x1 ) ,将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4)代入整理得 y2 ? y1


令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?

x?

2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 ? 8

由①式利用根与系数的关系得 x1 ? x2 ?

32 k 2 64 k 2 ? 12 , , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

代入②式整理得 x ? 1. 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0). (3)当过点 Q 的直线 MN 的斜率存在时, 设直线 MN 的方程为 y ? m( x ? 1) , M ( xM , yM ) , N ( x N , y N ) .

14

? y ? m( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 得 (4m ? 3) x ? 8m x ? 4m ? 12 ? 0 , ? 1, ? ? 3 ?4
易知 ? ? (?8m ) ? 4(4m ? 3)( 4m ? 12) ? 144 (m ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2

由根与系数的关系知 xM ? xN ?

8m2 4m 2 ? 12 x x ? , , M N 4m 2 ? 3 4m 2 ? 3
2

9m 2 则 yM y N ? m( xM ? 1) ? m( xN ? 1) ? m [ xM xN ? ( xM ? xN ) ? 1] ? ? , 4m 2 ? 3
则 OM ? ON ? xM xN ? yM y N ? ?

5m2 ? 12 5 33 ?? ? , 2 4m ? 3 4 4(4m2 ? 3)

因为 m ? 0 ,所以 ?
2

11 33 33 5 5 ?? ? 0 ,所以 ? 4 ? ? ? ?? , 2 2 4 4(4m ? 3) 4 4 4(4m ? 3)
5 4

所以 OM ? ON ? [?4,? ) . 当过点 Q 的直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1,代入椭圆方程得 y ? ? 不妨设 M (1, ) , N (1,? ) ,此时 OM ? ON ? ?

3 , 2

3 2

3 2

5 . 4

综上所述, OM ? ON 的取值范围是 [?4,? ] . 22. 【解析】(1)当 x ? 1时, f ?( x) ? ?3x ? 2 x ? b ,
2

5 4

由题意,得 ?

? f (?1) ? 2, ?2 ? b ? c ? 2, 即? 解得 b ? c ? 0 . ? f ?(?1) ? ?5, ?? 3 ? 2 ? b ? ?5,
?? x 3 ? x 2 ( x ? 1), ?a ln x( x ? 1),

(2)由(1),知 f ( x) ? ?

2 ; 由 f ?( x) ? 0 , 3 2 2 2 得 ? 1 ? x ? 0 或 ? x ? 1 .所以 f ( x) 在 [?1,0) 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递 3 3 3
①当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? x(3x ? 2) , 由 f ?( x) ? 0 , 得0 ? x ? 增.
15

因为 f (?1) ? 2 , f ( ) ?

2 3

4 , f (0) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [?1,1) 上的最大值为 2. 27

②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? a ln x , 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, e] 上单调递增. 所以 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值为 a . 所以当 a ? 2 时, f ( x) 在 [?1, e] 上的最大值为 a ; 当 a ? 2 时, f ( x) 在 [?1, e] 上的最大值为 2. (3)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P,Q 满足题意,则 P,Q 只能在 y 轴两侧, 因为△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以 OP ? OQ ? 0 , 不妨设 P(t , f (t ))(t ? 0) ,则由△ POQ 斜边的中点在 y 轴上知 Q(?t , t ? t ) ,且
3 2

(*) t ? 1.所以 ? t 2 ? f (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 . 是否存在两点 P,Q 满足题意等价于方程(*)是否有解. 若 0 ? t ? 1,则 f (t ) ? ?t ? t ,代入方程(*),得 ? t ? (?t ? t )(t ? t ) ? 0 ,
3 2 2 3 2 3 2

即 t ? t ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解;
4 2

当 t ? 1 时 , 则 f (t ) ? a ln t , 代 入 方 程 (*) , 得 ? t ? a ln t ? (t ? t ) ? 0 , 即
2 3 2

1 ? (t ? 1) ln t , a
设 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? ln x ?

1 ? 1 ? 0 在 [1,??) 上恒成立, x

所以 h( x ) 在 [1,??) 上单调递增,从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,即 h( x ) 的值域为 [0,??) . 因为 t ? 1 ,所以 h(t ) ? (t ? 1) ln t 的值域为 (0,??) , 所以当 a ? 0 时,方程

1 ? (t ? 1) ln t 有解,即方程(*)有解. a

所以对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上总存在两点 P,Q,使得△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上.
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