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浅谈反证法在在中学数学中的运用

时间:2013-03-19


玉 溪 师 范 学 院
(2008 届 毕 业 论 文)

题 院 专

目 系 业

浅谈反证法在中学数学解题中的应用 数学系 数学与应用数学 官晓莉 王明争 2004011147

指导教师 学生姓名 学生学号

浅谈反证法在中学数学解题中的应用
玉溪师范学院数学系 04 级(1)班 指导教师:官晓莉
[摘要]:反证法是从问题的反面思考的证明方法,此方法可使许多问题处理起来相当简捷, 所以反证法是一种常用的、 重要的数学思想方法。 本文从以下几方面论述了反证法在中学数 学解题中的应用,1. 证明不可能命题;2. 证明“唯一性”命题;3. 证明有些涉及无理数 的命题;4. 证明有些几何量的画法;5. 证明涉及“至多”和“至少”的问题。 [关键词]:反证法 解决数学问题 应用

王明争

2004011147

前言 有些命题采用直接证法不容易、甚至不能证明,这时,可以采用一种间接 证法——反证法,其逻辑根据是排中律。因为有时证原命题不易下手,则改证与 其等价的逆否命题,从而使原命题得证。反证法是证明原命题的逆否命题,即要 证命题“若 A 则 B”成立,需证明其逆否命题“若不 B 则不 A”成立,也就是说, 要把原命题中的结论加以否定, 然后经过各种推理而达到否定原命题中的已知条 件,既要达到与已知条件、公理、定理相矛盾的结论。这就间接证明了原命题。 一、 反证法的定义 证明定理的一种方法,先提出和定理中的结论相反的假定,然后从这个假定 中得出和已知条件相矛盾的结果来,这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也 叫归谬法。 二、反证法的证明步骤、关键和适用范围 步骤: 1. 假设原命题的反面结论成立; 2. 把这个假设看作是已知条件,从这个条件出发推出与已知条件、定理、公理 相矛盾或自相矛盾的结论; 3. 从而肯定原命题的结论成立。 应用反证法的命题结论,必须肯定明确,非此即彼,不能模棱两可。 关键:应用反证法推理的关键在于推出矛盾,要注意:1. 要想据理推出矛盾, 切不可离开已知条件去主观臆造所谓“矛盾” ,必须同直接证法一样,紧扣条件, 方能推出矛盾;2. 推证过程必须步步有据,否则,即使推出矛盾,也很难说明 命题的反面不成立。

适用范围: 证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而否定则比较浅显。 常见的 (1)证题的结论是否定型的; (2)证题的结论涉及唯一性的; (3)证题的结论 涉及到无穷性的; (4)证题的已知条件能直接导出的知识很少的。 三、在解题中的应用 1. 证明不可能命题 证明不可能问题, 可先假设原命题会出现这种可能,由此出发推出与已知条 件或定义或定理或常识相矛盾的结论或推出自相矛盾的结论即可。

b2 例 1 数列{a n }满足 a 1 =2b,a n =2b(b 是不为零的常数),求证:b 不可能 a n ?1
是数列{ a n }的项 [ 5 ] 。 分析:此题用有关数列的知识来解决有很大的难度,我们可反其道而行之,证明 它的逆否命题成立,即也就肯定了原命题的结论。 证明: (1)因为 b 不等于 0,所以 a1 ? 2b ? b 即 n=1 时命题成立;
b2 =b,解之的 a k =b, ak

(2)假设 n=k 时,命题成立,即 ak ? b. 若 a k ?1 ? b ,则 2b这与 a k ? b 矛盾。 a k ?1 ? b ,即 n=k+1 时命题成立。 例 2. 求证:圆内非直径的两弦不可能互相平分 [ 3] 。 已知:如图,AB,CD 是圆 O 内非直径的两弦。 求证:AB,CD 不能互相平分。

分析: 本题结论的反面 AB 和 CD 能相互平分, 十分简单、 明确, 故可试用反证法。 证明:假设 AB,CD 互相平分于一点。由已知条件 P 点与圆心 O 不重合。连结 OP, 那么 OP ? CD, OP ? AB 。也就是过 P 点有两直线 AB,CD 同时垂直于 OP,这与定 理“经过一点,有且只有一条直线垂直于已知直线”相矛盾。所以,AB,CD 不 能互相平分。

O C

B

P A

D

图1 评注:一般地,涉及弦中点问题的可连结圆心与弦中点,这样,就能利用垂径分 弦定理。 2. 证明“唯一性”命题 在几何中需要证明符合某种条件的图形只有一个时,称为“唯一性”问题。 当然,也可以用同一法来证明,但要注意检查命题是否符合同一原理,有的题目 不容易看出是否符合同一原理,此时用反证法要简捷。 例 1. 证明一个圆只有一个圆心 [ 4 ] 。 分析:可事先假设一个圆有两个圆心,以此为条件推出与已知相矛盾的结论。即 用反证法来证之。 证明:假定一个圆有两个圆心 O 和 A,在圆内作弦 CD,取中点 E,连接 OE、AE, 则 OE ? CD,AE ? CD,这样过直线 CD 上一点 E 同时有两条直线 OE、AE ? CD,与经 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线的基本性质矛盾。 所以,一个圆只有一个圆心。

O

A D C E

图2 例 2. 求证:由直线 L 外一点 A 只能引一条直线垂直于直线 L [ 3] 。 已知:直线 L 和 L 外一点 A 。 求证:过 A 只能引一条直线垂直于 L。 证明: 假设过 A 可引两条直线 AB 和 AC 垂直于 L, L 于 B、 点, 交 C 那么 ?ABC ? 90 0 ,
?ACB ? 90 0 。

所以在 ?ABC 中,

?A ? ?B ? ?C ? 180 0 。
这与三角形内角和定理矛盾。故原命题成立。
A

L B C

图3 3. 证明无理数的命题

由于无理数的特殊性,有关无理数的证明题,用一般的方法很难给出证明, 此时用反证法往往比较简捷。 例 1.证:实数 2 是无理数 [ 3] 。
q q , 是既约分数,那么, p p

证明:假设 2 不是无理数,而是有理数,设 2 =

2 p 2 = q 2 , q 2 是偶数, 因而 q 也是偶数, q=2n, 设 于是有 2 p 2 =4n 2 即 p 2 =2 n 2 , 这样 p 也是偶数。由于 p、q 同是偶数,与
q 是既约矛盾。故 2 是无理数。 p

例 2. 证明若 p 是有理数,q 是无理数,则 p+q 定是无理数 [1] 。 分析:此题涉及到了无理数,用一般的方法很难下手,此时用反证法来证明却是 很简捷的。 证明:假设 p+q 不是无理数,而是有理数 。设 p+q= ∴
a m m a mb ? na + q= ∴q= - = b n n b nb m a ,p= ,且 m、n、a、b ? Z n b

又 ∵mb-na∈Z ∴q=

且 nb≠0

mb ? na 是一个有理数,与条件中的 q 是无理数相矛盾。 nb

故原命题成立。 4. 证明有些几何量的画法。 有些几何图形画出来了以后,需要验证它的正确性,此时就需要进行证明, 而反证法就是证明这种题的最好方法。 例 1.在两个相交平面 M 和 N 内,各画一条直线,使成为异面直线。并用反证法 证明你所画的直线,确是异面直线 [ 2 ] 。 [画法 1]在交线 a 上任取两点 A 和 B,在平面 M 内过 A 任画一直线 AC,在平面 N 内过 B 任画一直线 BD,则 AC 和 BD 就是所要画的异面直线。

N D

B C

a

A

M

图4

证明: (反证法) 假设 AC 和 BD 不是异面直线,那么 AC 和 BD 应在同一个平面 p 内。 设直线 AC 和点 B 在平面 p 内, 直线 AC 和点 B 在平面 M 内,于是有平面 M 与平面 P 重合; 设直线 BD 和点 A 在平面 P 内, 直线 BD 和点 A 在平面 N 内,于是有平面 N 和平面 P 重合。 所以平面 M 与平面 N 重合,这与已知矛盾。故画法正确。 [画法 2]设平面 M 与 N 相交于直线 a,在平面 M 内画直线 b//a,在平面 N 内画与 a 相交的直线 c,则 b、c 就是所要画的异面直线。 证明: (反证法) (一)假设 b//c,而 b//a,则有 a//c,这与画法 a 与 c 相交矛盾, 故 b 不平行于 c. (二)假设 b 与 c 相交,不妨设 b ? c=A,则有: 由 A∈b,b ? M 知 A∈M, 且 A∈c,c ? N, 所以 A∈M ? N 又 A∈a 且 A∈b, 所以 a ? b=A,这与 a//b 矛盾,故 b 与 c 也不相交。 综上所得 b 与 a 异面。

N

a A

b

M

图5 5. 证明有关“至多”和“至少”的问题 对于有关“至多”“至少”的数学命题的证明,用一般的方法较难, , 利用反证法常常比较奏效。 例 1.若 a、b、c ? R,a= x 2 ?2 y ?

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6

求证:a、b、c 中至少有一个大于 0 [1] 。 分析:此题属于“至少”型题目,用反证法十分奏效,而用别的方法却很复杂。 证 明 : 假 设 a 、 b 、 c 都 不 大 于 0 , 即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 , 即 a+b+c ? 0 ,a+b+c=x 2 ?2 y ?

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6

= ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 +

( z ? 1) 2 ? ? ? 3 ,由于 ? ? 3 且 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 + ( z ? 1) 2 ? 0 ,所以 a+b+c>0 与假设

矛盾。故 a、b、c 中至少有一个大于 0 例 2. 若 a 、 b 、 c
? 0 2, 8 x? b
[2]

为 正 实 数 , 关 于

x

的 方 程 :

8x2 ? 8 a ? x

8 b? x ?2 c 0 , 8x 中至少有一个方程有两个 ? 8 ? x? a 0 c

不等的实数根



证 明 : 假 定 题 中 三 个 方 程 都 没 有 两 个 不 等 实 数 根 , 即
? 1 ? 64 a ? 32b ? 0, ? 2 ? 64b ? 32c ? 0, ? 3 ? 64c ? 32 a ? 0, 则?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 0 =32

(a+b+c) ? 0 ,但是如果依题设 a、b、c 全大于 0,有 a+b+c>0,与推论矛盾,假定不成立,故原命题成立。 反证法是根据“正难则反”的原理,即如果正面证明有困难时,或者直接证 明需要分多种情况而反面只有一种情况时,可以考虑用反证法。以上论述说明了

反证法是一种重要的数学思想方法。 我们在以后的学习中要学会使用这种方法来 解决许多的数学问题。 致谢:忠诚感谢官晓莉老师在写作过程中的指导和帮助。
参考文献: 〔1〕贾遂, 《思路与解题技巧》 ,山西人民出版社,1985、5 〔2〕陈明名、刘彬文、梁仁仰, 《中学数学解题技巧》 ,北京理工大学出版社,1990、7 〔3〕翁抗生、陈桂隆, 《初中数学解题方法与技巧》 ,广东科技出版社,1988、4 〔4〕王向东、刘子芳, 《初中数学实用解题方法与技巧》 ,上海科学文献出版社 〔5〕王向东、贾士代, 《中学数学实用解题方法与技巧》 ,兵器工业出版社 Gneneral analysis of method about giving evidence to the Contrary applay in solving mathamtic problems in the middle school. Yuxi Normal university Department of Mathamatics Class1 Grade 2004 Wang Mingzheng 2004011147 The guide teacher:guan xiao li
[Abstract]:the method of giving evidence to contrary is a proved method which thinking from the contrary of problems.It is a kind of indirected proved method which makes lots of problems easier while dealing with them. It is a pracxical and important thinking method in mathematic .The paper with expound the applyment of giving evidence to contray in solving mathamtic problems from below aspects .First, proving impossible

proposition .Secong, proving unique character of proposition.Third, proving some proposition about irrational numbers .Fourth, proving the method of drawing about some geometry of quantity.Fifth,proving the problem about “at most” and “at least”

[Key words]: the method of giving evidence to contray applyment

solving mathematic problem


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