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数学:在解析几何中求参数范围的9种方法


从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景

解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题,历年高考试题中也常出 现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手,不知道确定参数范围的函数关系或 不等关系从何而来,本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法,期望对 考生的备考有所帮助。 背景之一:题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲

线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系,建立不 等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例 1:椭圆

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? c ? b ? 0, c为半焦距) 的焦点为 F1、F2,点 P(x, y)为其上

的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 的横坐标的取值范围是___。 解:设 P(x1, y),∠F1PF2 是钝角 ? cos∠F1PF2 =
2 2 2 | PF 1 | ? | PF 2 | ?| F 1 F2 | 2 | PF 1 | ? | PF 2 |

? 0 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?| F1 F2 |2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 4c 2 ? x 2 ? y 2
? c2 ? x2 ?
??

b2 2 a2 ? b2 2 a2 2 2 2 2 2 2 ( a ? x ) ? c ? x ? c ? b ? x ? (c ? b 2 ) c2 a2 a2

a 2 a 2 c ? b2 ? x ? c ? b2 。 c c

说明: 利用∠F1PF2 为钝角, 得到一个不等式是解题的关键。 把本题特殊化就可以得到 2000 年全国高考题理科第 14 题: 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 横坐标 9 4

的取值范围是__________。 (答案为 x ? (?

3 5 3 5 )) , 5 5
梯形 双曲线

例 2: (2000 年全国高考题理科第 22 题)如图,已知 ABCD 中,AB =2 CD , 点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? , 过点 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点。当

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率 e 的取值范围。 3 4

-1-

解:如图,以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴。因为双曲线经过点 C、D ,且与 A、B 为焦 点,由双曲线的对称性知 C、D 关 y 轴对称,依题意,记 A (?c, 0) ,C( 中c=

1 AB 为双曲线的半焦距,h 是梯形的高。 2 c ?c? 2 ? ( ? ? 2) c ?h 。 由定比分点坐标公式得:x0= = ,y0= 1? ? 2(? ? 1) 1? ?
设双曲线方程为

c ,h),E(x0,y0), 其 2

c x2 y2 - =1,则离心率 e = 。 2 2 a a b

由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和 e =

c 代入双曲线方程得 a

e2 h2 ? ?1 4 b2 e2 ? ? 2 2 ? 2 h2 ( ) ?( ) ?1 4 ? ?1 ? ?1 b2
由①式得





h2 e2 ? ?1 4 b2



e2 ?1 3 ? 1? 2 将③式代入②式,整理得: ? ? 2 2?e e ?2


2 3 3 ? 1? 2 ? ? 7 ? e ? 10 3 e ?2 4

说明:建立 ? 与 e 的函数关系式,再利用已知 ? 的范围,即可求得 e 的范围。 背景之二:曲线自身的范围

x2 y2 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围,如椭圆 2 ? 2 ? 1( a >b>0) a b
中,x ? [?a, a], y ? [?b, b], 0 ? e ? 1, ??,利用这些范围是确定参数范围的途径之一。 例 3: (2002 年全国高考题)设点 P 到点 M(-1,0)、N(1,0)距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴距离之比为 2,求 m 的取值范围。 解:设点 P 的坐标为(x,y),由题设得

| y| ? 2 ,即 y = ? 2 x, x ? 0 ① |x|

由于 x ? 0 ,所以点 P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得

0 ? | PM | ? | PN | ? 2 | m |?| MN |? 2 ? 0 ?| m |? 1

-2-

因此,点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2 m 的双曲线上,故

x2 y2 ? =1 m2 1 ? m2



将①式代入②,解得 x ?
2

m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m 2

由 x ? m 且 1 ? m ? 0 ,得 1 ? 5m 2 ? 0 ?
2 2 2

5 5 ,又 m ? 0 ?m? 5 5

∴ m ? (?

5 , 0) ? (0, 5

5 ) 5

说明:P 到 x 轴、y 轴距离之比为 2,所以 P 不能在 x 轴上,由此得到 m ? 0 ,这一隐含条 件容易忽视。 例 4: (2004 年全国卷Ⅲ理科 21 题 文科 22 题)设椭圆

x2 ? y 2 ? 1的 m ?1

两个焦点是 F1(-c, 0)与 F2(c, 0) (c > 0),且椭圆上存在一点 P,使得直线 PF1 与 PF2 垂直。 (1)求实数 m 的取值范围; (2)设 l 相应于焦点 F2 的准线,直线 PF2 与 l 相交于 Q,若 方程。 解:(1)依题设有 m+1>1,即 m > 0,c = m ,设点 P 的坐标为(x0, y0),由 PF 1 ⊥PF2 ,得

QF2 | PF |

? 2 ? 3 ,求直线 PF2 的

y0 y 2 ? 0 ? ?1 ? x0 ?y2 0? m x0 ? c x0 ? c
将①与 由此得



2 x0 m ?1 2 1 2 2 ? , y0 ? ? y0 ? 1 联立,解得 x 0 m m m ?1

? m2 ?1 0 ? ? m ?1 ? m ? 1 ? ?0 ? ? 1 m ? m ? 0 ? ? ?
故 m ? [1 , + ? )

? m ?1

-3-

(2)答案为 y = ? ( 3 ? 2 ) (x- 2 ) 背景之三:二次方程有解的条件

( 解答略)

直线和圆锥曲线的关系,是解析几何中最常见的关系,它们联立消元后所得的判别式非 负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件;若有限制条件,则还应考虑根的分布情况等,这 是确定参数取值范围的一个常见背景。

y2 例 5: (全国高考题)给定双曲线 x - = 1,过点 B(1,1)能否作直线 2


l,使 l 与所给双曲线交于 P1 及 P2,且点 B 是线段 P1P2 的中点?这样的直线 l 如果存在,求出 它的方程;如果不存在,说明理由。 解:画出图像知,当直线斜率不存在时,满足题设条件的 l 不存在。 当直线 l 斜率存在时,设为 k,则 l 方程为 y = k(x-1)+1,联立 x ?
2

y2 ? 1 ,得 2

(2 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 2k ) x ?k 2?2k ? 3 ? 0 。
x1 ? x2 2k 2 ? 2k ? 1, 即 2 ? 2 ? k ? 2, 此时 设P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ), 则 2 k ?2

? ? (2k 2 ? 2k ) 2 ? 4(2 ? k 2 )(?k 2 ? 2k ? 3) ? 0, 不满足2 ? k 2 ? 0且? ? 0 。
故满足已知条件的直线 l 不存在。 例 6: (2004 年湖北省高考题理科 20 题 文科 20 题)直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线

C : 2 x 2 ? y 2 ? 1的右支交于不同的两点 A、B。
(1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由。
2 2 解:(1)将直线 y ? kx ? 1 代入双曲线方程,并整理得 (k ? 2) x ? 2kx ? 2 ? 0

依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故

-4-

?k 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ( 2k ) ? 8( k ? 2) ? 0 ? ? ?2 ? k ? ? 2 ?? 22k ? 0 ? k ?2 ? 2 ?0 ? 2 ?k ? 2
(2)答案是存在 k ? ?

6? 6 满足题设。 5

说明:问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题,转化为方程有不等 的两正根,由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。 背景之四:已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围,或由已知条件求出某个变量的范围,然后找出这 个变量与欲求的参变量之间的关系,进而求解。 1、双参数中知道其中一个参数的范围; 例 7: (2004 年浙江省高考题理科 21 题 文科 22 题)已知双曲线的中心在原点,右顶点 为 A(1, 0),点 P、Q 在双曲线的右支上,点 M(m, 0)到直线 AP 的距离为 1。 (1)若直线 AP 的斜率为 k,且 | k |? [ (2)当 m ?

3 , 3 ] ,求实数 m 的取值范围; 3

2 ? 1 时, ?APQ 的内心恰好是点 M,求此双曲线的方程

解:(1)由条件知直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1), 即kx ? y ? k ? 0 ,因为点 M 到直线 AP 的距离为 1,所以

| mk ? k | k 2 ?1

? 1 ?| m ? 1 |?

k 2 ?1 1 ? 1? 2 。 |k| k

∵ | k |? [

3 , 3] 3



2 3 2 3 2 3 ?| m ? 1 |? 2 ? ? 1 ? m ? 3或 ? 1 ? m ? 1 ? 3 3 3 2 3 2 3 ] ? [1 ? , 3] 3 3

故 m ? [?1, 1 ?

(2)答案是 x 2 ? (2 2 ? 1) y 2 ? 1(解答略) 例 8: (2004 年全国高考卷Ⅱ理科 21 题)给定抛物线 C : y ? 4 x ,F 是 C 的焦点,过点
2

-5-

F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点。 (1)设 l 的斜率为 1,求 OA 与OB 的夹角的大小; (2)设 FB ? ? AF, 若? ?[4, 9] ,求 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围。 解:(1)答案为 ? ? arccos

3 14 (解答略) 。 41

(2)F(1, 0), 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 由题设 FB ? ? AF , 得

( x2 ? 1, y2 ) ? ? (1 ? x1 , ? y1 ) ,
即?

? x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ) ? y 2 ? ??y1
2 2 2

1 2

由得②得 y 2 ? ? y1

2 2 ∵ y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2

∴ x2 ? ?2 x1



联立①、③解得 x 2 ? ? ,依题意有 ? ? 0 ∴ B(?, 2

? ), 或B(?, ? 2 ? ), 又F (1, 0) 得直线 l 方程为:

(? ? 1) y ? 2 ? ( x ? 1), 或(? ? 1) y ? ?2 ? ( x ? 1)
当 ? ? [4, 9] 时,方程 l 在 y 轴上的截距 m ?

2 ? 2 ? 。 或m ? ? ? ?1 ? ?1



2 ? 2( ? ? 1) ? 2 ? ? ? ? 1 ( ? ? 1)( ? ? 1)

2

? ?1

?

2 ,可知在 [ 4, 9] 上是递减的。 ? ?1

∵ ? ? [4, 9] ∴

3 4 4 3 ? m ? 或? ? m ? ? 。 4 3 3 4 4 3 3 4 , ? ] ? [ , ]。 3 4 4 3

故直线 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围是 [?

说明:例 7 和例 8 都是已知一个变量的范围求另一变量的范围,可先利用题设条件建立 变量的关系式,将所求变量和另一已知变量分离,得到函数关系,再由已知变量的范围求出 函数的值域,即为所求变量的范围。这类背景也可归结为背景一。 2、双参数中的范围均未知 例 9: (2004 年全国卷Ⅰ文 2 理 21) 设双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 a2

-6-

相交于不同的点 A、B。 (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

5 PB ,求 a 的值。 12

? x2 2 ? ? y ?1 解:(1)由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程 ? a 2 有两个不同的实数解,消 ?x ? y ? 1 ?
去 y 并整理得: (1 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 ? 0
2 ? ?1 ? a ? 0 ? 0 ? a ? 2且a ? 1 由? 2 2 2 2 ? ?? ? (2a ) ? 4(1 ? a )(?2a ) ? 0

∴双曲线的离心率 e ? ∵0 ? a ? ∴e ?

1? a2 1 ? ?1 a a2

2且a ? 1

6 且e ? 2 2 6 , 2 ) ? ( 2 , ? ?) 2

故e?(

(2)略 说明:先求出 a 的范围,再建立 e 与 a 的函数关系式,即可求出 e 的范围。 例 10: 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支交于 A、 B 两点, 直线 l 经过点 (?2, 0) 和 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围。 解:由方程组 ?

? y ? kx ? 1 ?x ? y ? 1
2 2

,消去 y 得: (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), x1 ? 0, x2 ? 0 ,AB 中点 M ( x0 , y0 ) ,则有:

? ?? ? 4k 2 ? 8(1 ? k 2 ) ? 0 ? 2k ? ?0 ?1? k ? 2 ? x1 ? x 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x 2 ? ?0 ? 1? k 2 ?

-7-

∵ x0 ?

x1 ? x 2 k 1 k 1 ? , y 0 ? kx0 ? 1 ? , 即M ( , ) 2 2 2 2 1? k 1? k 1? k 1? k 2

设直线 l 的方程为 y ? m( x ? b), 则b ? 2m, 而m ?

y0 ? 0 1 ,则有 ? x0 ? 2 k ? 2 ? 2k 2

1 1 17 ? ?2k 2 ? k ? 2 ? ?2(k ? ) 2 ? ,它在 (1, 2 ) 上单调递减。 m 4 8 1 ?1 ∵ 2 ?2? m
∴ b ? 2m ? (??, ? 2 ? 2 ) ? (2, ? ?) 说明:这类问题可先求出一个变量的范围,另一个变量范围就相应可求出来了。 背景之五:点在圆锥曲线内域或外域的充要条件 如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内域,同时坐标平面被圆锥曲线 所划分的另一部分称为圆锥曲线的外域,则点 P( x0 , y0 ) ,在
2 2 x0 y0 x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 内(外)域的充要条件是 2 ? 2 ? 1 ( ? 1) ;点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a b a b 2 2 x0 y0 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 ( ? 1) ;点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 内(外)域的充要条件是 a2 b2 a2 b2

2 2 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的内(外)域的充要条件是 y0 ? 2 px0 ( y0 ? 2 px0 ) 。以这些充要条件为

背景的范围问题利用上述不等式可获解。 例 11: (1986 年全国高考题)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ,试确定 m 的取 4 3

值范围,使得对于直线 l : y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同的两点 P,Q 关于该直线对称。 解:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ), PQ 中点 M ( x0 , y0 ) ,则:

x12 y12 ? ?1 4 3
2 2 x2 y2 ? ?1 4 3





①-②得, 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ? 3( x1 ? x2 ) =?

x 4( y1 ? y 2 ) 1 y ( y1 ? y 2 ) ? 3 ? 0 ? ?4(? ) ? 0 ? y0 ? 3x0 x1 ? x2 2 4 2



-8-

又 y0 ? 4 x0 ? m



由③、④解得 x0 ? ?m, y0 ? ?3m 又点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部 ∴
2 x0 y2 (?m) 2 (?3m) 2 2 13 2 13 ? 0 ? 1 ,即 ? ?1 ?? 。 ?m? 4 3 4 3 13 13

背景之六:三角形两边之和大于第三边 椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形,具有这一背景的问题往往可 以利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。

x2 y2 ? 例 12:已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a, b ? R ) 的左、右两个焦点分别为 F1、 a b
F2,左准线为 l,在双曲线的左支上存在点 P,使|PF1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项, 求离心率 e 的取值范围。 解:由|PF1|2 = d |PF2| ?

?| PF2 |? e | PF1 | | PF1 | | PF2 | ? ?e? ? d | PF1 | ?| PF1 |? ed


1 2

又|PF2| = 2a+|PF1| 由①、③得|PF1| ?

2a 2ea , |PF2| ? e ?1 e ?1

在△PF1F2 中,|PF1|+|PF2| ? |F1F2|,即

2a 2ea e ?1 ? ? 2c ? ? e (e ? 1) e ?1 e ?1 e ?1

?1 ? e ? 2 ?1。
说明:因为 P 点还可能在双曲线顶点上,所以|PF1|+|PF2| ? |F1F2|。 背景之七:参数的几何意义 解析几何是一门数与形相结合的学科,其中许多的变量都有十分明显的几何意义,以此为背 景的范围问题只要抓住了参数的几何意义都可以达到目的。 例 13:椭圆 C 的上准线是抛物线 x ? ?4 y 的准线,且 C 经过这条抛物
2

线的焦点,椭圆的离心率 e ?

1 ,求椭圆的长半轴 a 的范围。 2

| FA | 解:设椭圆的上焦点为 F(x, y),由定义知, ? 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 1 ?e? 2 2

? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 。故椭圆上焦点 F 的轨变是以 A(0, -1)为圆心,半径为 1 的圆。

-9-

由此易知焦点 F 到准线 y = 1 的距离 p 的范围是 1 ? p ? 3 。

a2 a2 3 ?c ? ? ae ? a 又p? c ae 2
∴1 ?

3 2 a ?3? ? a ? 2 2 3

背景之八:平均值不等式 解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。利用代数基本不等式是求范围的又 一方法。 例 14:已知直线 l 过定点 A(3, 0),倾斜角为 ? ,试求 ? 的范围,使得曲线 C : y ? x 2 的所 有弦都不能被直线 l 垂直平分。 解:当直线的斜率为 0 或不存在时,符合题意。
2 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,被它垂直平分的弦的两端点为 B(t1 , t12 ) , C (t 2 , t 2 ),
2 t1 ? t 2 t12 ? t 2 , ) (t1 ? t 2 ), k BC ? t1 ? t 2 。 2 2

则 BC 中点 P (

1 ? t1 ? t 2 ? ? ? k ? 当线段 BC 被 l 垂直平分时,有 ? 2 ? t1 ? t 2 2 t ? t t ? t 1 2 1 2 ? ? k( ? 3) ? 2 ? 2
?

t ?t 1 1 1 1 ( 2 ? 6k ? 1) ? ( 1 2 ) 2 ? 2 ? k ? ? 。 2 k 2 2 4k
∴符合题意的直线斜率 k ? ? ∴ ? ? [0,

?
2

1 1 , 即 tan ? ? ? 。 2 2

] ? [? ? arctan

1 ,?)。 2

说明:本题的求解利用补集法,即先求弦能被 l 垂直平分的直线 l 的斜率,取其补集就是 满足题设的斜率,再利用斜率和倾斜角的关系,就可以求出 ? 的范围。 背景之九:目标函数的值域 要确定变量 k 的范围,可先建立以 k 为函数的目标函数 k ? f (t ) ,从而使这种具有函数 背景的范围问题迎刃而解。

P( x, y) 是椭圆 例 15:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上任一点, F1、 F2 是两个焦点, 求|PF1|· |PF2| a2 b2

- 10 -

的取值范围。 解:∵|PF1|+|PF2| = 2a ∴|PF1|· |PF2| = |PF1|· (2a-|PF1|) =-(|PF1|-a)2+a2 又∵ a ? c ?| PF 1 |? a ? c
2 ∴当 | PF |PF2|有最大值 a2。 1 |? a ? c 时, 有最小值 b ; 当 | PF 1 |? a 时, |PF1|·

故|PF1|· |PF2|的取值范围是 [b 2 , a 2 ] 。 例 16: (2004 年福建省高考题理科 22 题)如图,P 是抛物线 C : y ? 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。 (1)若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨变方程;

1 2 x 上一点,直线 l 2

| ST | | ST | ? 的取值范围。 | SP | | SQ | 解:(1)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,依题意有 x1 ? 0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 1 2 由 y ? x , 得y ? ? x 2
(2)若直线 l 不过原点且 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T,试求 ∴过点 P 的切线的斜率为 x1 ∵ x1 ? 0 不合题意 ∴ x1 ? 0 ∴直线 l 的斜率 k ? ?

1 x1 1 2 1 x1 ? ? ( x ? x1 ) 2 x1
2

∴直线 l 的方程为 y ?

联立直线 l 和抛物线方程,消去 y,得 x ? ∵M 是 PQ 的中点

2 x ? x1 ? 2 ? 0 x1

x1 ? x 2 1 ? x ? ?? 0 ? 2 x1 ? ∴? ? y ? 1 x 2 ? 1 (x ? x ) 0 1 0 1 ? 2 x1 ?
消去 x1,得 y 0 ? x0 ?
2

1 ? 1 ( x0 ? 0) 2 2 x0
2

∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y ? x ?

1 ? 1 ( x ? 0) 。 2x 2

- 11 -

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b , 依题意 k ? 0, b ? 0, 则T (0, b) , 分别过 P、 Q 作 PP ? ? x 轴, QQ ? ? y 轴,垂足分别为 P ? 、 Q ? ,则

| ST | | ST | | OT | | OT | |b| |b| ? ? ? ? ? | SP | | SQ | | P?P | | Q?Q | | y1 | | y 2 |

1 2 ? ?y ? x 由? ? y 2 ? 2(k 2 ? b) y ? b 2 ? 0 2 ? ? y ? kx ? b
∴ y1 ? y2 ? 2 (k 2 ? b), y1 y2 ? b 2 方法 1:∴



| ST | | ST | 1 1 ? ?| b | ( ? ) ? 2 | b | | SP | | SQ | y1 y 2

1 1 ? 2|b| ?2 y1 y 2 b2

∵y1、y2 可取一切不相等的正数 ∴

| ST | | ST | ? 的取值范围是 (2, ? ?) | SP | | SQ |

方法 2:∴

y ? y2 | ST | | ST | 2(k 2 ? b) ? ?| b | 1 ?| b | | SP | | SQ | y1 y 2 b2
| ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) 2k 2 ? ?b ? ? ?2?2 | SP | | SQ | b b b2 | ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) ? ? ?b ? | SP | | SQ | ?b b2

当 b ? 0 时,

当 b ? 0 时,

又由方程①有两个相异实根,得

? ? 4(k 2 ? b) 2 ? 4b 2 ? 4k 2 (k 2 ? 2b) ? 0 ,于是 k 2 ? 2b ? 0 ,即 k 2 ? ?2b
所以

| ST | | ST | 2(?2b ? b) ? ? ?2 | SP | | SQ | ?b 2k 2 可取一切正数 k

∵当 b ? 0 时,



| ST | | ST | ? 的取值范围是 (2, ? ?) | SP | | SQ | | ST | | ST | ? 与 P、Q 两点纵坐标之间的关系,是快速求解第(2)个 | SP | | SQ |

说明:利用图形找到

- 12 -

问题的关键。

- 13 -


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数学:在解析几何中求参... 13页 免费 参数思想与...(三)最值和范围问题 2 例 6 (02 年全国高中...9 4 ,此时 P 点坐标为 。 ? x ? 2 ? 3cos...

高中数学解析几何中求参数取值范围的方法

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2013年高中数学教学论文 在解析几何中求参数范围的9种方法

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解析几何中的参数最值或范围问题举例

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解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

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