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2016高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算教师用书 理 苏教版


§8.5

空间向量及其运算

1.空间向量的有关概念 名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(a≠0),a 与 b 共线的充要条件是存在实数 λ ,使得 b=λ a. → → 推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要条件是OP=OA+ta,①

→ → → 其中 a 叫直线 l 的方向向量,t∈R,在 l 上取AB=a,则①可化为OP=OA → → → → +tAB或OP=(1-t)OA+tOB. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb,其中 x,y∈R,a,b 为不共 → → → → → → → → → 线向量,推论的表达式为MP=xMA+yMB或对空间任意一点 O,有OP=OM+xMA+yMB或OP=xOM → → +yOA+zOB,其中 x+y+z= 1 (3)空间向量基本定理 如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么对空间任一向量 p 存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使 p=xe1+ye2+ze3,空间中不共面的三个向量 e1,e2,e3 叫作这个空间的一个基底. 3.两个向量的数量积 (1)非零向量 a,b 的数量积 a?b=|a||b|cos〈a,b〉 . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λ a)?b=λ (a?b). . 概念 模为 0 的向量 长度(模)为 1 的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0

a=b a 的相反向量为-a a∥b

1

②交换律:a?b=b?a. ③分配律:a?(b+c)=a?b+a?c. 4.空间向量的坐标表示及应用 向量表示 数量积 共线 垂直 模 坐标表示

a?b a=λ b(b≠0) a?b=0(a≠0,b≠0)
|a|

a1b1+a2b2+a3b3 a1=λ b1, a2=λ b2,a3=λ b3 a1b1+a2b2+a3b3=0
2 2 a2 1+a2+a3

cos〈a,b〉= 夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0)

a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a +a2 +a3? b1+b2+b3
2 1

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)空间中任意两非零向量 a,b 共面.( √ )

(2)在向量的数量积运算中(a?b)?c=a?(b?c).( ? ) (3)对于非零向量 b,由 a?b=b?c,则 a=c.( ? )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ? ) → → → → (5)若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0.( √ ) (6)|a|-|b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件.( ? )

1. 如图所示, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, M 为 A1C1 与 B1D1 的交点. 若 →

AB=a,AD=b,AA1=c,则BM=
1 1 答案 - a+ b+c 2 2 → → → → 1 → → 解析 BM=BB1+B1M=AA1+ (AD-AB) 2 1 1 1 =c+ (b-a)=- a+ b+c. 2 2 2







(用 a,b,c 表示).

2.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是

.(填序号)

→ → → → → 1→ 1→ 1→ → → → → → → → ①OM=2OA-OB-OC;②OM= OA+ OB+ OC;③MA+MB+MC=0;④OM+OA+OB+OC=0. 5 3 2 答案 ③

2

→ → → 解析 ∵MA+MB+MC=0, → → → ∴MA=-MB-MC, → → → 则MA、MB、MC为共面向量,即 M、A、B、C 四点共面. 3.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是 答案 ? 解析 .

2? ? 3 2 4 2 2? ?3 2 4 2 , ,- ?和?- ,- , ? 10 2 ? ? 10 10 2 ? ? 10 因为与向量 a 共线的单位向量是±
2 2 2

a , 又 因 为 向 量 ( - 3 , - 4,5) 的 模 为 |a |
1 5 2 (-3,

?-3? +?-4? +5 =5 2,所以与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是± 2 (-3,-4,5). 10

-4,5)=±

→ → → 4.如图,在四面体 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E → 为 AD 的中点,则OE= 答案 1 1 1 a+ b+ c 2 4 4 (用 a,b,c 表示).

→ 1→ 1→ 1→ 1→ 1→ 解析 OE= OA+ OD= OA+ OB+ OC 2 2 2 4 4 1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4

题型一 空间向量的线性运算 例 1 三棱锥 O-ABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC 的 → → → → → 重心,用基向量OA,OB,OC表示MG,OG. 思维点拨 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可. → → → 1→ 2→ 解 MG=MA+AG= OA+ AN 2 3 1→ 2 → → = OA+ (ON-OA) 2 3 1→ 2 1 → → → = OA+ [ (OB+OC)-OA] 2 3 2 1→ 1→ 1→ =- OA+ OB+ OC. 6 3 3

3

→ → → 1→ 1→ 1→ 1→ OG=OM+MG= OA- OA+ OB+ OC 2 6 3 3 1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC. 3 3 3 思维升华 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要 正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 如图所示, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 为 AC 的中点. 设

E 是棱 DD1 上的点,且DE= DD1,试用AB,AD,AA1表示EO.
→ → → 2 → 1→ 2 → 1 → → 2 → 1→ 1→ 1 解 EO=ED+DO= D1D+ DB= D1D+ (DA+AB)= A1A+ DA+ AB= 3 2 3 2 3 2 2 2 →

→ 2→ 3









AB- AD- AA1.
题型二 共线定理、共面定理的应用 例 2 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; → 1 → → → → (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有OM= (OA+OB+OC+OD). 4 → → → → → 思维点拨 对于(1),只要证出向量EG=EF+EH即可;对于(2),只要证出BD与EH共线即可; → 对于(3),易知四边形 EFGH 为平行四边形,则点 M 为线段 EG 与 FH 的中点,于是向量OM可由 → → → → → → → → 向量OG和OE表示,再将OG与OE分别用向量OC,OD和向量OA,OB表示. 证明 (1)连结 BG, → → → 则EG=EB+BG → 1 → → =EB+ (BC+BD) 2 → → → → → =EB+BF+EH=EF+EH, 由共面向量定理的推论知:

1→ 2 → 2 3

E、F、G、H 四点共面.
→ → → (2)因为EH=AH-AE 1→ 1→ 1 → → 1→ = AD- AB= (AD-AB)= BD, 2 2 2 2

4

所以 EH∥BD. 又 EH? 平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH. (3)找一点 O,并连结 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH= BD,同理FG= BD, 2 2 → → 所以EH=FG,即 EH 綊 FG, 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分. 1→ 1→ → 1 → → 故OM= (OE+OG)= OE+ OG 2 2 2 1?1 → → ? 1?1 → → ? = ? ?OA+OB??+ ? ?OC+OD?? 2?2 ? 2?2 ? 1 → → → → = (OA+OB+OC+OD). 4 思维升华 (1)证明点共线的方法 → → 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题, 如证明 A, B,C 三点共线, 即证明AB, AC共 → → 线,亦即证明AB=λ AC(λ ≠0). (2)证明点共面的方法 → 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明 P,A,B,C 四点共面,只要能证明PA → → → → → → → → → =xPB+yPC或对空间任一点 O,有OA=OP+xPB+yPC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)即 可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B 上的点,F 是 AC 上的点,且 A1E =2EB , CF= 2AF ,则 EF 与平面 A1B1CD 的位置关系 为 .

答案 平行 → → → 解析 取AB=a,AD=b,AA1=c 为基底, 1 → 易得EF=- (a-b+c), 3 → → → 而DB1=a-b+c,即EF∥DB1,故 EF∥DB1, 且 EF?平面 A1B1CD,DB1? 平面 A1B1CD, 所以 EF∥平面 A1B1CD. 题型三 空间向量数量积的应用

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→ → 例 3 已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值. 解 (1)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a?b=(1,1,0)?(-1,0,2)=-1, 又|a|= 1 +1 +0 = 2, |b|= ?-1? +0 +2 = 5,
2 2 2 2 2 2

a?b -1 10 ∴cos〈a,b〉= = =- , |a||b| 10 10
即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- (2)方法一 ∵ka+b=(k-1,k,2). 10 . 10

ka-2b=(k+2,k,-4),
且 ka+b 与 ka-2b 互相垂直, ∴(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k -8=0, 5 ∴k=2 或 k=- , 2 5 ∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时,实数 k 的值为 2 或- . 2 方法二 由(1)知|a|= 2,|b|= 5,a?b=-1, ∴(ka+b)?(ka-2b)=k a -ka?b-2b =2k +k-10=0, 5 得 k=2 或 k=- . 2 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明直线的垂直关系; 也可以利用垂直关系, 通过向量共 线确定点在线段上的位置;(2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角; (3)可以通过|a|= a ,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求 解. 如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于
2 2 2 2 2 2

a,点 M、N 分别是 AB、CD 的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长; (3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值. → → → (1)证明 设AB=p,AC=q,AD=r.
6

由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°. → → → 1 → → 1→ MN=AN-AM= (AC+AD)- AB 2 2 1 = (q+r-p), 2 1 → → 1 2 ∴MN?AB= (q+r-p)?p= (q?p+r?p-p ) 2 2 1 2 2 2 = (a cos 60°+a cos 60°-a )=0. 2 → → ∴MN⊥AB.即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD. → 1 (2)解 由(1)可知MN= (q+r-p), 2 → 2 1 2 ∴|MN| = (q+r-p) 4 1 2 2 2 = [q +r +p +2(q?r-p?q-r?p)] 4 1 2 2 2 a a a = [a +a +a +2( - - )] 4 2 2 2 1 a 2 = ?2a = . 4 2 2 2 → ∴|MN|= a.∴MN 的长为 a. 2 2 → → (3)解 设向量AN与MC的夹角为 θ . 1 → 1 → → ∵AN= (AC+AD)= (q+r), 2 2 1 → → → MC=AC-AM=q- p, 2 1 → → 1 ∴AN?MC= (q+r)?(q- p) 2 2 1 2 1 1 = (q - q?p+r?q- r?p) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 = (a - a cos 60°+a cos 60°- a cos 60°) 2 2 2 1 2 a a a a = (a - + - )= . 2 4 2 4 2 3 → → 又∵|AN|=|MC|= a, 2
2 2 2 2 2 2 2 2

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3 3 a → → → → ∴AN?MC=|AN||MC|cos θ = a? a?cos θ = . 2 2 2 2 ∴cos θ = . 3 2 2 → → ∴向量AN与MC的夹角的余弦值为 ,从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 . 3 3

2

“两向量同向”意义不清致误 典例: 已知向量 a=(1,2,3), b=(x, x +y-2, y), 并且 a, b 同向, 则 x, y 的值分别为 易错分析 将 a,b 同向和 a∥b 混淆,没有搞清 a∥b 的意义:a、b 方向相同或相反. 解析 由题意知 a∥b,所以 = 1 即?
?y=3x, ? ?x +y-2=2x ?
2 2 2



x x2+y-2 y
2

= , 3 ①



把①代入②得 x +x-2=0,(x+2)(x-1)=0, 解得 x=-2,或 x=1 当 x=-2 时,y=-6;当 x=1 时,y=3. 当?
? ?x=-2, ?y=-6 ?

时,b=(-2,-4,-6)=-2a,

两向量 a,b 反向,不符合题意,所以舍去. 当?
? ?x=1, ?y=3 ?

时,b=(1,2,3)=a,a 与 b 同向,所以?

? ?x=1, ?y=3. ?

答案 1,3 温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的, 同向是平行的一种情况. 两向量同向能 推出两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不 必要条件;(2)若两向量 a,b 满足 a=λ b(b≠0)且 λ >0 则 a,b 同向;在 a,b 的坐标都是 非零的条件下,a,b 的坐标对应成比例.

方法与技巧 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解 决一些距离、夹角问题.
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3.利用向量解立体几何题目的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未 知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题. 失误与防范 1.向量的数量积满足交换律、分配律,即 a?b=b?a,a?(b+c)=a?b+a?c 成立,但 (a?b)?c=a?(b?c)不一定成立. 2.求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后 应进行转化.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) → → 1. 空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等, E 是 BC 的中点, 则判断大小: AE?BC (填“>”、“<”或“=”). 答案 > 1 → → → → → → 解析 取 BD 的中点 F, 连结 EF, 则 EF 綊 CD, 因为 〈AE, EF〉=〈AE,CD〉>90°, 因为AE?BC 2 → → → → → → =0,AE?CD<0,所以AE?BC>AE?CD. 2.如果三点 A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,则 a,b 的值分别 为 答案 3,2 → → → 解析 AB=(1,-1,3),AC=(a-1,-2,b+4),因为三点共线,所以存在实数 λ 使AC= .

AE?CD

→ →

a-1=λ , ? ? → λ AB,即?-2=-λ ,

? ?b+4=3λ ,

∴a=3,b=2.

3.已知 a,b 是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b 且 AB=2,CD=1,则异面直线

a,b 所成的角等于
答案 60°



→ → → → 解析 如图,设AC=a,CD=b,DB=c,则AB=a+b+c, ?a+b+c??b 1 → → 所以 cos〈AB,CD〉= = ,所以异面直线 a,b 所成 |a+b+c||b| 2 的角等于 60°. 4.空间四点 A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2) (填“在”或“不在”)同

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一平面内. 答案 不在 → → → 解析 ∵AB=(2,0,-4),AC=(-2,-3,-5),AD=(0,-3,-4). 假设四点共面,由共面向量定理得,存在实数 x,y, 2x-2y=0, ? ? → → → 使AD=xAB+yAC,即?-3y=-3, ② ①

? ?-4x-5y=-4, ③

由①②得 x=y=1,代入③式不成立,矛盾. ∴假设不成立,故四点不共面. 5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、F 分别是 BC、AD 的中点, → → 则AE?AF的值为 答案 1 2 a 4 .

→ → → 解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 → 60°.

AE= (a+b),AF= c,
1 → → 1 ∴AE?AF= (a+b)? c 2 2 1 = (a?c+b?c) 4 1 2 1 2 2 = (a cos 60°+a cos 60°)= a . 4 4 6.已知 2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a?c=4,|b|=12,则以 b,c 为方向向 量的两直线的夹角为 答案 60° 解析 由题意得,(2a+b)?c=0+10-20=-10. 即 2a?c+b?c=-10, 又∵a?c=4,∴b?c=-18, .

1 2



1 2

b?c -18 1 ∴cos〈b,c〉= = =- , |b|?|c| 12? 1+4+4 2
∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为 60°. 7.如图,在空间四边形 OABC 中,若 OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, ∠OAC=45°,∠OAB=60°,则 OA 与 BC 所成角的余弦值为 .

10

答案

3-2 2 5

→ → → 解析 ∵BC=AC-AB, → → → → → → → → → → → → → → → → → ∴OA?BC=OA?(AC-AB)=OA?AC-OA?AB=|OA||AC|cos 〈OA, AC〉 -|OA||AB|cos 〈OA, AB〉 =8?4?cos 135°-8?6?cos 120°=24-16 2. → → OA?BC 24-16 2 3-2 2 → → ∴cos〈OA,BC〉= = = . → → 8?5 5 |OA||BC| 3-2 2 3-2 2 → → 故OA与BC夹角的余弦值为 ,即直线 OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5 5 → → → → → → 8.在空间四边形 ABCD 中,则AB?CD+AC?DB+AD?BC的值为 答案 0 → → → 解析 方法一 如图,令AB=a,AC=b,AD=c, → → → → → → 则AB?CD+AC?DB+AD?BC → → → → → → → → → =AB?(AD-AC)+AC?(AB-AD)+AD?(AC-AB) =a?(c-b)+b?(a-c)+c?(b-a) =a?c-a?b+b?a-b?c+c?b-c?a =0. 方法二 如图,在三棱锥 A-BCD 中,不妨令其各棱长都相等,则正四面 体的对棱互相垂直. → → → → ∴AB?CD=0,AC?DB=0, → → AD?BC=0. → → → → → → ∴AB?CD+AC?DB+AD?BC=0. 9.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; → (2)在直线 AB 上是否存在一点 E,使得OE⊥b(O 为原点)? 解 (1)∵a=(1,-3,2),b=(-2,1,1), ∴2a+b=(0,-5,5), ∴|2a+b|= 0 +?-5? +5 =5 2. (2)假设存在点 E,其坐标为 E(x,y,z), → → 则AE=λ AB, 即(x+3,y+1,z-4)=λ (1,-1,-2),
11
2 2 2



x=λ -3, ? ? ∴?y=-λ -1, ? ?z=-2λ +4,

∴E(λ -3,-λ -1,-2λ +4),

→ ∴OE=(λ -3,-λ -1,-2λ +4). → 又∵b=(-2,1,1),OE⊥b, → ∴OE?b=-2(λ -3)+(-λ -1)+(-2λ +4) =-5λ +9=0, 9 6 14 2 ∴λ = ,∴E(- ,- , ), 5 5 5 5 6 14 2 → ∴在直线 AB 上存在点 E(- ,- , ),使OE⊥b. 5 5 5 10.如图所示,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面为平行四边形,以 顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. → → → 解 (1)记AB=a,AD=b,AA1=c, 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 1 ∴a?b=b?c=c?a= . 2 → 2 2 |AC1| =(a+b+c) =a +b +c +2(a?b+b?c+c?a) 1 1 1 =1+1+1+2?( + + )=6, 2 2 2 → ∴|AC1|= 6,即 AC1 的长为 6. → → (2)BD1=b+c-a,AC=a+b, → → ∴|BD1|= 2,|AC|= 3,
2 2 2

BD1?AC=(b+c-a)?(a+b)
=b -a +a?c+b?c=1. → → BD1?AC 6 → ∴cos〈BD1,AC〉= = . → → 6 |BD1||AC| → ∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为 6 . 6
2 2





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B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.设向量 a、b、c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是 ①{a+b,b-a,a}; ③{a+b,b-a,c}; 答案 ③ 1 1 1 1 解析 ①中,a= (a+b)- (b-a),故三向量共面,不能作基底;②中,b= (a+b)+ (b 2 2 2 2 -a),故三向量共面,不能作基底;③中,a+b;b-a,c 不共面,可作为基底;④中,c =(a+b+c)-(a+b),故三向量共面,不能作基底. 2.以下命题中,正确的命题个数为 ①若 a,b 共线,则 a 与 b 所在直线平行; ②若{a,b,c}为空间一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底; ③若空间向量 m、n、p 满足 m=n,n=p,则 m=p; → → → → ④对空间任意一点 O 和不共线三点 A、B、C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中 x,y,z∈R),则 P、 . ②{a+b,b-a,b}; ④{a+b+c,a+b,c}. .

A、B、C 四点共面.
答案 2 解析 由共线向量知 a 与 b 所在直线可能重合知①错; 若 a+b,b+c,c+a 共面,则存在实数 x,y,使 a+b=x(b+c)+y(c+a)=ya+xb+(x+

y)c,
∵a,b,c 不共面,∴y=1,x=1,x+y=0,∴x,y 无解, ∴{a+b,b+c,c+a}能构成空间的一个基底,∴②正确; 由向量相等的定义知③正确; 由共面向量定理的推论知,当 x+y+z=1 时,P,A,B,C 四点共面,∴④错. 3.已知 e1、e2 是夹角为 60°的两个单位向量,则 a=e1+e2 与 b=e1-2e2 的夹角为 答案 120° 1 解析 由题意知,|e1|=|e2|=1,e1?e2=|e1||e2|?cos〈e1,e2〉= ,所以 a=e1+e2 与 b 2 1 1-2- 2 ?e1+e2???e1-2e2? 1 =e1-2e2 的夹角的余弦值为 cos θ = = =- ,所以 a=e1 |e1+e2||e1-2e2| 2 3? 3 +e2 与 b=e1-2e2 的夹角为 120°. 4.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). → → (1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积; .

13

→ → (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB,AC垂直,求向量 a 的坐标. 解 (1)由题意可得: →

AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),
→ → AB?AC → → ∴cos〈AB,AC〉= → → |AB||AC| = -2+3+6 7 1 = = . 14? 14 14 2



3 → → ∴sin〈AB,AC〉= , 2 → → ∴以AB,AC为边的平行四边形的面积为

S=2? |AB|?|AC|?sin〈AB,AC〉
=14? 3 =7 3. 2

1 → 2



→ →

(2)设 a=(x,y,z),

x +y +z =3, ? ? 由题意得?-2x-y+3z=0, ? ?x-3y+2z=0,

2

2

2

x=1, ? ? 解得?y=1, ? ?z=1

x=-1, ? ? 或?y=-1, ? ?z=-1.

∴向量 a 的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1). 5.如图, 直三棱柱 ABC—A′B′C′中, AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、

E 分别为 AB、BB′的中点.
(1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值. → → → (1)证明 设CA=a,CB=b,CC′=c, 根据题意,|a|=|b|=|c|, 且 a?b=b?c=c?a=0, 1 1 1 → → ∴CE=b+ c,A′D=-c+ b- a. 2 2 2 1 2 1 2 → → ∴CE?A′D=- c + b =0. 2 2 → → ∴CE⊥A′D,即 CE⊥A′D. 5 → → → (2)解 ∵AC′=-a+c,|AC′|= 2|a|,|CE|= |a|. 2

14

→ → ? ? AC′?CE=(-a+c)??b+ c?= c2= |a|2,

?

1 2 ?

1 2

1 2

→ → ∴cos〈AC′,CE〉=

1 2 |a| 2 2?

5 2 |a| 2



10 . 10

即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为

10 . 10

15


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