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2013年北京春季会考数学试题及答案


2013 年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷
考 生 须 知 1. 考生要认真填写考场号和座位序号。 2. 本试卷共 4 页,分为两部分,第一部分选择题, 20 个小题(共 60 分) ;第二 部分非选择题,二道大题(共 40 分) 。 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必 须用 2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色的签字笔作答。

4.考试结束后,考生应将试卷、答题卡及草稿纸放在桌面上,待监考员收回。

第一部分

选择题(每小题 3 分,共 60 分)

在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1. 如果集合 A ? ??1,2? , A ? x x ? 0 ,那么集合 A ? B 等于 A. ?
2

?

?

B.

??1?

C.

?2?

D.

??1, 2?

2. 不等式 x ? 2 x ? 0 的解集为 A . {x

x ? 2}

B . {x x ? 0}

C. {x 0 ? x ? 2}

D.

? x x ? 0或x ? 2?

3. 如果向量 a ? (?2,3) ,b ? (1,5) ,那么 a ? b 等于 A. ?13 B. ?7 C. 7 D. 13

4.如果直线 y ? 3x 与直线 y ? ?mx ? 1 垂直,那么 m 的值为 A. ?3 B. ?

1 3

C.

1 3

D. 3

5.如果 a ? 0 ,那么 a ? 1 ? 1 的最小值是 a A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.要得到函数 y ? 2sin( x ? A.向左平移

?
6

) 的图象,只要将函数 y ? 2sin x 的图象

? 个单位; 6 ? C.向左平移 个单位; 3

? 个单位; 6 ? D.向右平移 个单位. 3
B.向右平移

7. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1, s5 ? 25, 那么 a5 等于 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

3 x 8.在函数 y ? cos x , y ? x , y ? e , y ? ln x 中,奇函数是

A . y ? cos x 9. cos

B. y?x

3

C. y?e

x

D . y ? ln x

11? 的值为 6

A. ?

3 2

B. ?

2 2

C.

2 2

D.

3 2

10.函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x ( x ? R) 的最小正周期是 A.

? 2

B. ?

C. 2?

D. 4?

11.已知函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在区间 ?0,1? 上最大值是 2 ,那么 a 等于 A.

1 4

B.

1 2
0

C.2

D.4

12. ?ABC 中, ?A ? 60 , AC ? 2 3, BC ? 3 2, 则角 B 等于

A. 450

B 300 或 600

C. 1350

D. 450 或 1350

13.口袋中装有 4 个大小、材质完全相同的小球,球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色,从口袋中随 机摸出 2 个小球,摸到红色小球和白色小球的概率是

1 A. 6

B.

1 3

C.

1 2 D. 2 3

14.为了解决某学校门前公路的交通状况,从行驶过的汽车中随机抽取 200 辆进行统计分析,绘制出

关于它们车速的频率分布直方图(如图所示) ,那么车速在 [60,70) 区间的汽车大约有
A. 20 辆 B. 40 辆 C. 60 辆 D. 80 辆
0 _. 04 0 _. 03 0 _. 02 0 _. 01 车速 _ 频率 _ 组距 _

15. 已知平面 ? , ? ,直线 a , b ,下面的四个命题

40 _

50 _

60 _

70 _

80 _

a // b ? a ?? ① ? ? b ? ? ;② b ?? a ?? ?
命题的序号是
A. ①② B. ②③

a ?? ? a ??? ? ? ? ? a ∥b;③ b ? ? ? ? a ? b ;④ b ? ? ? ? a / / b 中,所有正确 ? / /? ? ? ? ?? ? ?
C. ①④ D. ②④

x ? y, ? ? y ? 0, 16.当 x, y 满足条件 ? 时,目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值是 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
A. 1 B. 1.5 C. 4 D. 9

17.针对 2020 年全面建成小康社会的宏伟目标,十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民 人均收入比 2010 年翻一番” 的新指标.按照这一指标, 城乡居民人均收入在这十年间平均增长率 x 应 满足的关系式是 A. 1 ? 10 x ? 2 B. 10(1 ? x) ? 2 C.

(1 ? x)10 ? 2 D. 1 ? x10 ? 2

18.一个空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为 A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
3 3

3 4

19.将长度为 1 米的绳任意剪成两段,其中一段长度小于 0.4 米的概率是 A. 1 B. 0.8 C. 0.6 D . 0.5

20.记时钟的时针、分针分别为 OA, OB ( O 为两针的旋转中心).从 12 点整开始计时,经过 m 分钟,

??? ??? ? ? OA ? OB 的值第一次达到最小,那么 m 的值是
A. 30 B.

360 11

C. 31

D.

2? 11

第二部分
1 2
?1

非选择题(共 40 分)
.
2

一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21.计算 ( ) ? log 3 1 的结果为
2

22. 已知圆 C : ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 1 ,那么圆心 C 到坐标原点 O 的距离是 23. 某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的值为 .
开始

.

S ? 1, i ? 1

i?4




S ? S ? 2i

i ? i ?1

输出

SS S
结束

24. 已知数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且各项均为正整数,如果 a1 ? 1, an ? 16, 那么 n ? d 的最小值 为 .

二、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25.(本小题满分 7 分) 如图,在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点. (Ⅰ)证明: AC1 / / 平面 BDE ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD .

D1 A1 B1

C1 E

D A B

C

26. (本小题满分 7 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? , ? (0 ? ? ?

? ?

, ? ? ? ? ) 的顶点与原点 O 重合,始 2 2

边与 x 轴的正半轴重合,终边分别与单位圆交于 A, B 两点, A, B 两点的纵坐标分别为

5 3 , . 13 5
(Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求 ?AOB 的面积. 27.(本小题满分 7 分) 已知圆 C : x ? y ? 5m (m ? 0) ,直线 l 过点且与圆 C 相交于 A, B 两点.
2 2 2

(Ⅰ)如果直线 l 的斜率为 1,且 AB ? 6 ,求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与 y 轴交于点 P ,如果 PA ? 2 PM ,求直线 l 的斜率. 28.(本小题满分 7 分)

??? ?

已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足:
2

① f ( x ) 的一个零点为 2;

② f ( x) 的最大值为 1;
③对任意实数 x 都有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) (Ⅰ)求 a, b, c 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ?

? x, x ? A ' 是定义域为 (0,1) 的单调增函数, 0 ? x0 ? x ? 1.当 f ( x), x ? B ?

x0 ? B 时,证明: x' ? B .
答案: 选择题 1-10 CCDCB 11-20 CAADA 一、填空题 21.2 二、解答题 25. 略 26. (1) tan ? ?

AABDB CCBBB

22、 2

23、31

24、 9

3 4

(2)

28 65

27. (1) m ? 2 (2) m ? ?1, m ? ?

1 3

28. (1) a ? ?1, b ? 2, c ? 0 (2)略


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