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2017届高考数学一轮复习 第三章 函数 课时11 函数的单调性学案 文

时间:2016-07-25


课时 11
一、高考考纲要求 1.理解单调性及其几何意义; 2.会判断函数的单调性. 3.会运用函数的单调性解决相关问题. 二、高考考点回顾 1.函数的单调性的定义:

函数的单调性(课前预习案)
班级: 姓名:

给定区间 D 上的任意 x1 , x2 ,如果 x1 ? x2 ,都有 调递增函数(或单调递减函数).

r />
(或

) ,则函数 f ( x ) 为这个区间 D 上的单

如果一个函数在某个区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说这个函数在这个区间 D 上具有单调性, 区间 D 称为单 调区间. 2.利用导数判断函数单调性的方法: 设函数 y ? f ( x) 在某区间内可导,如果 函数. 3. 证明函数单调性的一般方法: ,则函数 f ( x ) 为单调增函数;如果 ,则函数 f ( x ) 为单调减

①定义法:设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ;作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因 式的正负号能清楚地判断出) ;判断正负号;不结论。 ② 用 导 数 证 明 : 若 f ( x) 在 某 个 区 间 A 上 有 导 数 , 则 f ?( x) ? 0, (x ? A) ? f ( x) 在 A 上 为 增 函 数 ;

f ?( x) ? 0 ,( x? A) ? f ( x) 在 A 上为减函数.
4. 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法.

5.复合函数 y ? f ?g ( x)? 在公共定义域上的单调性: ①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g ( x)? 为 ②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g ( x)? 为 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集. 函数; 函数.

三、课前检测 1.设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则 a 的范围为( A. a ? )

1 2

B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2
1

2. 函数 y= x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 0 )的单调增区间是 ( A. (0,+∞)
2

)

B. (1,+∞)
2

C.(-∞,-1)

D(-∞,-3] ( C.( )

3.函数 y ? log 1 (2 x ? 3x ? 1) 的递减区间为 A.(1,+ ? ) B.(- ? ,

3 ] 4

3 ,+ ? ) 4

D.(- ? ,

1 ] 2


4.已知在区间 (0,??) 上函数 f ( x) 是减函数,且当 x ? 0时, f ( x) ? 0, 若0 ? a ? b ,则( A. bf (a) ? af (b) 5.若 f ( x) ? B. af (a) ? f (b) ) C. f (a) ? f (b) D. f (a) ? f (b) ? 1 C. af (b) ? bf (a) D. bf (b) ? f (a)

ln x , e ? a ? b ,则( x

A. f (a) ? f (b) 6.有下列几个命题:

B. f (a) ? f (b)

①函数 y ? 2 x 2 ? x ? 1在 (0, ??) 上不是增函数; ②函数 y ?

1 在 (??, ?1) ? (?1, ??) 上是减函数; x ?1

③函数 y ? 5 ? 4 x ? x 2 的单调区间是 [?2, ??) ; ④已知 f ( x ) 在 R 上是增函数,若 a ? b ? 0 ,则有 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .其中正确命题的序号是 ___________________. 课内探究案 班级: 考点一 判断或证明函数的单调性 【典例 1】 讨论函数 f ( x) ? x ? 姓名:

a (a ? 0) 的单调性. x

【变式 1】 判断函数 f ( x) ?

ax ( a ≠0)在区间(-1,1)上的单调性。 x ?1
2

2

考点二

求函数的单调区间

【典例 2】(1)作出函数 f ( x) ?| x2 ?1| ? x 的图象,并根据函数图象写出函数的单调区间. (2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x2 , 若 g ( x) ? f (2 ? x2 ) ,试确定 g ( x) 的单调区间和单调性.

【变式 2】 设函数 f ( x) ?

x?a (a>b>0) ,求 f ( x ) 的单调区间,并证明 f ( x ) 在其单调区间上的单调性. x?b

考点三

函数单调性的应用

【典例 3】函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 ?? 2,??? 上为增函数,则 a 的取值范围是 x?2



【变式 3】 若 f(x)=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)



3

考点四

抽象函数的单调性

【 典 例 4 】 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 x ? 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 都 有

f(x x)? 1? x 2 ) ? f( 1

x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , ,且当 f( 2x )

(1)求证: f ( x ) 是偶函数; (2) f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 .

【变式 4】 设 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的增函数, f (2) ? 1 ,且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求满足不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的 x 的取值范围.

【当堂检测】 1.下列四个函数:① y ? 函数的是( A.① ) B.④ C.①、④ D.①、②、④ )

x x ? 2 ,其中在 (-?,0) 上为减 ; ② y ? x2 ? x ; ③ y ? ?( x ? 1)2 ; ④ y ? x ?1 1? x

2.函数 f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x 2 那么( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定

3. 已知函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ,实数 m 的取值范围为( A. m ? 0 B. 0 ? m ?

)

3 2

C. ?1 ? m ? 3

D. ?

1 3 ?m? 2 2

4. f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在 (??, 4] 上是减函数,则 a 的取值范围是( ) A. a ? ?3 5.已知 f ( x) ? ? B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 3 )

1, ?(3 ? a) x ? 4 a, x< 是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是( log x , x ? 1 ? a

4

A. ?1, ?? ? B. ? ??,3?

?3 ? C. ? ,3 ? ?5 ?

D.

?1,3?

课后巩固案 班级:

姓名:

完成时间:30 分钟

1.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 是减函数的区间是 ( A.(2,+∞) B .(-∞,2) C.(- ∞,0) D.(0,2)

)

2.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f (| A.(- ? ,1) B.(1,+ ? )

1 |) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是( x
D. (- ? ,-1) ? (1,+ ? )



C.(- ? ,0) ? (0,1)

3.若函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上具有单调性,且 f (a)?f (b) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 [ a, b] 上( A.至少有一个实数根
2



B.至多有一个实数根

C.没有实数根

D.必有唯一的实数根

4.函数 y=loga(x +2x-3) ,当 x=2 时,y>0,则此函数的单调递减区间是 A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,+∞) )

2 5.若 f(x)= ? x ? 2ax 与 g ( x ) ?

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的值范围是( x ?1
C. (0,1) D. (0,1]

A. (?1,0) ? (0,1)

B. (?1,0) ? (0,1]

5

6.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (8, ? ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数,则 A. f (6) ? f (7) B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10)





7.若 f ( x) ? 2 x2 ? mx ? 3 ,当 x ? [?2, ??) 时是增函数,当 x ? (??, ?2] 时是减函数,则 f (1) = 8.函数 y ? log0.5 ( x 2 ? 2x ? 3) 的单调减区间为 。

.

1 函数 f ( x) ? a ? loga
x

( x ?1)

在[0,1] 上的最大和最小值的和为 a ,则 a =

. .

2.函数 f ( x) ? log2 (3 ? a x )在(??,1) 上是减函数,则 a 的取值范围是 3.设 a ? 0 , f ( x) ? (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数.

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

参考答案 课前检测 1. 【答案】D【解析】当 2a ? 1 ? 0 即 a ? 当 2a ? 1 ? 0 时,函数 f ( x ) 为一次函数.

1 时, f ( x) ? b ,为常数函数,无单调性; 2

1 1 时, f ( x ) 为增函数;若 2a ? 1 ? 0 即 a ? 时, f ( x ) 为减函数. 2 2 2. 【答案】A【解析】二次函数的对称轴为 x ? ?1 ,又因为二次项系数为正数,抛物线开口向上,对称轴在定义
若 2a ? 1 ? 0 即 a ? 域的左侧,所以其单调增区间为 (0, ??) .

1 1 或 x ? 1 ,即函数的定义域为 {x | x ? 或 x ? 1} . 2 2 3 3 3 2 令 t ? 2 x ? 3x ? 1 ,其对称轴为 x ? ,在 (??, ) 上为减函数,在 ( , ??) 上为增函数. 4 4 4
2 3. 【答案】A【解析】由 2 x ? 3x ? 1 ? 0 解得 x ?

6

而 y ? log 1 t 为关于 t 的减函数, 由复合函数的单调性可知, 函数 y ? log 1 (2 x2 ? 3x ? 1) 的单调减区间是 (1, ??) .
2
2

4.【答案】C【解析】∵ f ( x) 在区间 (0,??) 上是减函数, 0 ? a ? b ,∴ f (a) ? f (b) . ∴ bf (a) ? bf (b) ? af (b) ,故选 C. 5. 【答案】A【解析】 f ?( x) ? (

ln x 1 ? ln x )? ? , x x2

当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,函数在 (e, ??) 上为减函数. ∵ e ? a ? b ,∴ f (a) ? f (b) ,故选 A. 【易误警示】本题容易出现的问题是不能利用导数分析函数的单调性. 6. 【答案】④【解析】①函数 y ? 2 x 2 ? x ? 1的对称轴为 x ? ? ②函数 y ? ∴②错; ③要研究函数 y ? 5 ? 4 x ? x 2 的单调区间,首先要求函数的定义域,由被开方数 5 ? 4 x ? x 2 ? 0 ,解得

1 ,故在(0, +∞)上是增函数,∴①错; 4

1 的单调减区间为(-∞,- 1) 、 (- 1,+∞) ,但单调区间不能并起来写,不符合减函数定义, x ?1

?1 ? x ? 5 ,而[-2,+∞)不是上述区间的子区间,∴③错;
④ ∵ f ( x ) 在 R 上 是 增 函 数 , 且 a ? ?b , ∴ b ? ? a , f (a) ? f (?b) , f (b) ? f (?a) ,

f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ,因此④是正确的.
【典例 1 】 【解析】方法一(定义法) :函数的定义域为 {x | x ? 0} . 设 x1 , x2 ? {x | x ? 0} ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 )? x 1?

a a ( x ? x )( x x ? a) a . ? x2 ? ? 1 2 1 2 ? (x ? ) 1? x 2 )(1 x1 x2 x1 x2 x1 x2
a ? 0 可得到 x ? ? a , x0 2
y

令 x1 ? x2 ? x0 , 1 ?

这样就把 f ( x ) 的定义域分为 (??, ? a ] , [? a ,0) ,

y ? x?

a (a ? 0) x y?x

(0, a ]



[ a , ??) 四个区间,
下面讨论它的单调性. 若 0 ? x1 ? x2 ? ∴ x1 x2 ? a ? 0 . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

? a
O

a , 则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,

a

x
0 ? x1 x2 ? a ,

a a ( x ? x )( x x ? a) ? x2 ? ? 1 2 1 2 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 x2 x1 ?x2

∴ f ( x ) 在 (0, a ] 上单调递减.
7

同理可得, f ( x ) 在 [ a , ??) 上单调递增;在 (??, ? a ] 上单调递增;在 [? a ,0) 上单调递减. 故函数 f ( x ) 在 (??, ? a ] 和 [ a , ??) 上单调递增,在 [? a ,0) 和 (0, a ] 上单调递减. 方法二(导数法) : f ?( x ) ? 1 ?

a . x2

由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a 或 x ?

a ,即函数在 (??, ? a ] , [ a , ??) 上为增函数;

由 f ?( x) ? 0 ,解得 ? a ? x ? 0 或 0 ? x ? a ,即函数在区间 (? a ,0) , (0, a ) 上为减函数. 【变式 1】 【解析】设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ax a( x1 x2 ? 1)( x2 ? x1 ) , ? 22 = 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

2 2 ∵ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,



( x1 x2 ? 1)( x2 ? x1 ) ? 0, ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)
当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在(-1, 1)上为增函数.

∴ 当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在(-1, 1)上为减函数,

【典例 2】【解析】(1)当 x ? 1或x ? ?1 时,

1 2 5 当 ?1 ? x ? 1 时, y ? ? x ? x ? 1 ? ?( x ? ) ? ; 2 4 1 由函数图象可以知道函数增区间为 ( ??, ?1],[ ,1] 2 1 由图象可知:函数减区间为 [ ?1, ],[1, ?? ) 2
2
4 2 2 2 2 (2) g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) ? ? x ? 2 x ? 8 ,

y

1 2 5 y ? x2 ? x ? 1 ? ( x ? ) ? ; 2 4

-1 01 2 1 x

g ?( x) ? ?4 x3 ? 4 x ,
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 , 令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 (??, ?1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ??), (?1, 0) . 【变式 2】 【解析】函数 f ( x) ?

x?a 的定义域为(-∞,-b)∪(-b,+∞) , x?b

任取 x1、x2∈(-∞,-b)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=

x ?a (a ? b)( x 2 ? x1 ) x1 ? a - 2 = . ( x1 ? b)( x 2 ? b) x2 ? b x1 ? b

∵a-b>0,x2-x1>0, (x1+b) (x2+b)>0, ∴f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x)在(-∞,-b)上是减函数.
8

同理可证 f(x)在(-b,+∞)上也是减函数. ∴函数 f(x)=

x?a 在(-∞,-b)与(-b,+∞)上均为减函数. x?b

【典例 3】 【答案】( ,?? ) 【解析】方法一: f ( x) ?

1 2

ax ? 1 1 ? 2a 1 ?a? ,故当 1 ? 2a ? 0 即 a ? 时,函数 f ( x ) x?2 x?2 2

在 (??, ?2) 上为减函数,在 (?2, ??) 上为减函数,不符合题意;

1 时,函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 上为增函数,在 (?2, ??) 上为增函数; 2 1 1 1 当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? 时, f ( x) ? 为常数函数,无单调性.故 a 的取值范围是 ( ,?? ) . 2 2 2
当 1 ? 2a ? 0 即 a ? 方法二: (导数法) f ?( x) ? ( 得a ?

ax ? 1 a( x ? 2) ? (ax ? 1) 2a ? 1 ,由函数 f ( x ) 为增函数知 f ?( x) ? 0 ,解 )? ? ? 2 x?2 ( x ? 2) ( x ? 2)2

1 1 1 1 .而当 a ? 时, f ( x) ? 为常数函数,无单调性.故 a ? . 2 2 2 2

【变式 3】 【答案】B【解析】解法一:因为 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,所以 f(0)>f(1), 即 log a 2>log a (2-a).

解法二:由对数概念显然有 a>0 且 a≠1,因此 u=2-ax 在[0,1]上是减函数,y= log a u 应为增函数,得 a>1, 排除 A,C,再令 a=3,则 f ? x ? ? log3 (2 ? 3x) 的定义域为 (??, ) ,但[0,1]不是该区间的子集。故排除 D, 选 B. 【典例 4】 【解析】 (1)令 x1 ? x2 ? 1,得 f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 , 令 x1 ? x2 ? ?1 ,得 f (?1) ? 0 , ∴ f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) , ∴ f ( x ) 是偶函数. (2)设 x2 ? x1 ? 0 ,则

2 3

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ?

x2 x x ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1

∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴

x2 x ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 , x1 x1

即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数.
9

(3)? f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 , ∵ f ( x ) 是偶函数 ∴不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 可化为 f (| 2 x2 ? 1|) ? f (4) , 又∵函数在 (0, ??) 上是增函数,

∴ | 2 x2 ? 1|? 4 ,解得: ?

10 10 , ?x? 2 2

即不等式的解集为 (?

10 10 , ). 2 2

【变式 4】【解析】由题意可知: f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x2 ? 3x) 又 2 ? 2 f (2) ? f (2) ? f (2) ? f (4) , 于是不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 可化为: f ( x2 ? 3x) ? f (4) 因为函数在 (0, ??) 上为增函数,所以不等式可转化为: 解得 3 ? x ? 4 ,

所以 x 的取值范围是 (3, 4] . 【当堂检测】 1.【答案】A【解析】① y ? 数,满足题意. ② y ? x2 ? x 的对称轴为 x ? ?

x 1 ? 1? ,故函数的单调减区间为 (??,1) , (1, ??) .故在 (??, 0) 上为减函 x ?1 x ?1
1 1 1 ,所以函数在 (??, ? ) 上为减函数, 在 (? , ??) 上为增函数, 故不符合题意; 2 2 2

③函数的对称轴为 x ? ?1 ,函数在 (??, ?1) 上为增函数,在 (?1, ??) 上为减函数,故不符合题意; ④y?

x 1 ? 2 ? 1? ,在 (??,1) 上为增函数,在 (1, ??) 上为增函数,不符合题意. 1? x x ?1
1 2

综合上述,只有①满足条件. 2.【答案】D【解析】由于 x , x 分别在两个不同的单调区间内,虽然两个自变量之间的大小关系确定,但对应函 数值之间的大小关系不确定,故选 D.

??2 ? m ? 1 ? 2 3 ? 3. 【答案】B【解析】由题意得 ??2 ? 2m ? 1 ? 2 ,解得 0 ? m ? . 2 ? m ? 1 ? 2m ? 1 ?
4. 【答案】A【解析】函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? 1 ? a ,由题意得 1 ? a ? 4 ,解得 a ? ?3 . 5. 【答案】 D 【解析】 依题意, 有 a ? 1且3 ? a ? 0 , 解得 1 ? a ? 3 , 又当 x ? 1 时,(3 ? a) x ? 4a ? 3 ? 5a , 当 x ?1 时, loga x ? 0 ,所以 3 ? 5a ? 0 ,解得 a ?

3 ,所以 1 ? a ? 3 .故选 D. 5
10

1. 【答案】D【解析】? f ?( x) ? 3x2 ? 6x ,令 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 .故函数的单调减区间为 (0, 2) .

1 |? 1 ,解得 x ? ?1 或 x ? 1 . x 3. 【答案】D【解析】由 f (a) ? f (b) ? 0 可知,在区间 ( a, b) 上必有一根,而函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上为单调函 数,所以函数在该区间上只有一个零点,即方程 f ( x) ? 0 在该区间上必有唯一的实数根.
2. 【答案】D【解析】由已知可得 | 4.【答案】A【解析】当 x=2 时, y=loga5> 0,∴ a> 1. 2 2 2 由 x + 2x- 3> 0 ? x<- 3 或 x> 1,易见函数 t=x +2x-3 在(-∞,-3)上递减,故函数 y=loga(x +2x -3) (其中 a>1)也在(-∞,-3)上递减. 5. 【答案】D【解析】函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? a ,由题意得 a ? 1 ;而当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在 (??, ?1) 上为 减函数,故 0 ? a ? 1 . 6. 【答案】 D 【解析】∵ y ? f ( x ? 8) 为偶函数,∴函数 f ( x ) 关于直线 x ? 8 对称,即 f ( x) ? f (16 ? x) . ∴ f (6) ? f (10), f (7) ? f (9) ,∵ f ( x ) 在 (8, ? ?) 上为减函数, ∴ f (9) ? f (10) ,∴ f (7) ? f (10) , f (7) ? f (6) .故选 D. 7. 【答案】13【解析】由题可知二次函数的对称轴是 x ? ?2 ,即 故 f (1) ? 2 ?1 ? 8 ? 3 ? 13 .
2

m ? ?2 ,解得 m ? ?8 . 4

8.【答案】 (3,??) 【解析】设 t ? x 2 ? 2 x ? 3 ,则 y ? log0.5 t .由 t ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 3 .
2 而 t ? x ? 2 x ? 3 的对称轴为 x ? 1 ,故 t 在 (??,1) 上为减函数,在 (3, ??) 上为增函数.

又因为 y ? log0.5 t 为 t 的减函数,故由复合函数的单调性可知:函数的单调减区间是 (3, ??) .

1 【答案】 1 【解析】若 0 ? a ? 1 ,则函数 f ( x ) 为减函数,而当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 为增函数,根据题意有

2
f (0) ? f (1) ? a ,求得 a =

1 . 2

x 2. 【答案】 (1,3] 【解析】若 0 ? a ? 1 ,则函数 t ? a 为减函数,而当 x ? 1 时, f ( x ) 可能没意义;

x x 若 a ? 1, 则函数 t ? a 为增函数函数 u=3- a 为减函数, 当 x ? 1 时, f ( x ) 为增函数, f ( x ) 为减函数,符合题意,

由 3 ? a ? 0, x ? 1 解得 a ? 3 .故 a 的取值范围是 (1,3] .
x

3. 【解析】 (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ,即

1 ex a x ? ae ? ? x ae x a e
11

1 1 1 ) ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a ? ? 0 ,∴ a ? ?1 , x a e a ∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 . 1 1 x x (2)(定义法)设 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e 1 ? e 2 ? x ? x 1 e e2
x ∴ ( a ? )(e ?

? (e ? e )(
x2 x1

1 e x1 ? x2

? 1) ? e (e
x1

x2 ? x1

1 ? e x2 ? x1 ? 1) x2 ? x1 , e
x2 ? x1

由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 0, ex2 ? x1 ?1 ? 0 , 1 ? e ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数. (导数法)∵ a ? 1 , x ? (0, ??)
x ∴ f ?( x) ? (e ?

? 0,

1 1 (e x ) 2 ? 1 x ? ) ?e ? x ? ?0 ex e ex

∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数.

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