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李胜红一道立体几何题探究线面角的多种解法


一道立体几何题探究线面角的多种解法
河北省大城县第一中学 李胜红 【摘要】在高中数学的教学过程中,对于同一问题,由于思考的角度不同,解题的思路和方法多种 多样。在课堂上为解答同一个问题往往需要罗列多种方法,如果每一种方法借助一道例题,浪费了许多 读题、理解题意的时间,增加了学生的负担。我认为要教好数学,还是要从有限的例题和习题上下工夫, 采取一题多解的形式进行教学。本文

以2011年全国高考卷立体几何题为例,从三个方面探究线面角的求 法,通过一题多解,吸引学生学习数学的兴趣,即解决了线面角的求法,又提高了学生的数学思维能力。 【关键词】立体几何;线面角;一题多解;法向量。 【正文】在高中数学的教学过程中,我认为要教好数学,还是要从有限的例题和习题上下工夫,采 取一题多解的形式进行教学。对一道题采用不同的方法、对一类问题的多种解法采用同一道例题,这样 不仅节省了时间、减轻了学生负担、教授了解题技巧,更重要的是通过不同的思路去引导学生讲述各自 解题思路及算法,沟通解与解之间的联系,促进思维发展,提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣。 在高中数学中,立体几何部分一直都占有很高的位置,尤其是线面平行、线面垂直的证明,线线角、 线面角、面面角的计算都是历年高考的重点。作为一位高中数学一线教师,我对 2011 年全国高考卷立 体几何题大加赞赏,简简单单的一个四棱锥,却能在解题中变幻出多种方法,多角度的考查学生对立体 几何知识的掌握,及空间向量在解决立体几何问题中的应用,有助于克服学生的定势思维 ,发展学生的 多向思维,拓宽学生的解题思路。 在讲授如何求解线面角的时候,我以此题为例,从三个方面探究线面角的求法。 线面角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 (19)如图 1,四棱锥 S-ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等边 三角形。AB=BC=2,CD=SD=1。 (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。 分析:在第二问求解线面角的大小时,可从三个角度进行研究: (一) 、利用定义寻找线面角的位置直接求解; (二) 、借助点到平面距离间接求解; (三) 、建立空间直 角坐标系利用法向量求解。 方法一:利用定义寻找线面角的位置直接求解 (1)一般在斜线 L 上找一点 A,过该点作平面的垂线,斜 足 O 与垂足 B 的连线 OB 为斜线在平面内的射影,则射影与斜线

1

所成的角即为该斜线与平面所成的角; (见图 2) 解法 1:如图 3,因为 CD∥AB,所以 CD 与平面 SBC 所成的 角即为 AB 与平面 SBC 所成的角。取 SC 中点 M,连结 BM,DM。 因为 DS=DC,BS=BC,所以 SC⊥DM ,SC⊥BM, 所以 SC⊥平面 BDM, 所以平面 BDM⊥平面 SBC, 作 DN⊥BM,垂足为 N,则 DN⊥平面 SBC,连结 CN。 CN 为 CD 在平面 SBC 上的射影, ∠DCN 即为 CD 与平面 SBC 所成的角。 因为 SD⊥AB ,CD∥AB, SD⊥CD, SC ?

SD 2 ? CD 2 ? 2

BM ? BC 2 ? CM 2 ? 2 2 ? (

2 2 14 ) ? 2 2
2 2

14 2 ? 2 ? ? 5 ?( ) ?? ? 2 ? 2 BD 2 ? BM 2 ? DM 2 ? ? ? 8 COS?DBM ? ? 2 BD ? BM 14 70 2? 5 ? 2

SIN?DBM ?

6 70

, DN ?

5?

6 70

?

21 , 7

SIN?DCN ?

DN ? CD

21 7 ? 21 。 2 7

所以 AB 与平面 SBC 所成的角 arcsin

21 。 7

(2)过直线 L 做平面的垂面, 线与交线的夹角即为线面角。 (见图 4)

解法 2: 如图 5, 由 AB⊥平面 SDE 知, 平面 ABCD⊥平面 SDE。 作 SF⊥DE,垂足为 F,则 SF⊥平面 ABCD,作 FG⊥BC,垂足为 G,连结 SG。 又 FG⊥BC,SF⊥BC,SF∩FG=F,故 BC⊥平面 SFG,平面 SFG⊥平面 SBC,

2

因为 FG∥AB,所以 FG 与平面 SBC 所成的角 ? 即为 AB 与平面 SBC 所成的角。 SF=

SD ? SE 3 ,FG=DC=1, ? DE 2

tan ? ?

SF ? FG

3 2 ? 3 , 1 2

所以 AB 与平面 SBC 所成的角为 arct an 方法二:借助点到平面距离间接求解

3 。 2

求直线上一点 A 到平面的距离 h,该点与斜足的距离 OA,h 与 OA 的比值即为线面角的正弦值。即 sin ? 解法 3: VA? SBC

?

h 。 (见图 6) OA

? VS ? ABC

1 1 1 1 1 3 3 VS ? ABC ? S ?ABC SF ? ? AB BC SF ? ? ? 2 ? 2 ? ? 。 3 3 2 3 2 2 3
如图 7, 设 A 到平面 SBC 的距离为 h, 取 SC 中点 M, 连结 BM, 因为 SD⊥AB ,CD∥AB,SD⊥CD, SC ?

SD 2 ? CD 2 ? 2

BM ? BC 2 ? CM 2 ? 2 2 ? (
V A? SBC ?

2 2 14 ) ? 2 2

1 1 1 S ?SBC ? h ? ? SC BM ? h 3 3 2

1 1 14 7 ? ? ? 2? ?h ? h, 3 2 2 6
因为

7 3 2 21 3 6 2 21 h? , 所以 h ? ,即 A 到平面 SBC 的距离为 。 ? ? 7 6 3 3 7 7

又因为 AB=2,设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ? ,

h ? 则 sin ? ? AB

2 21 7 ? 2

21 21 ,AB 与平面 SBC 所成的角 arcsin 。 7 7
3

方法三:建立空间直角坐标系利用法向量求解 建立空间直角坐标系, 求平面的法向量, 直线与法向量所成角 的余弦值即为线面角的正弦值。 (见图 8)

解法 4:如图 9,以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,射线 CB 为 y 轴正半轴,建立如图所示的 空间直角坐标系 C-xyz。D(1,0,0),则 A(2,2,0)、B(0,2,0)。 因为平面 SDE⊥平面 ABCD,

CD=1,DF=

1 3 1 3 1, , ) ,SF= ,所以 S( . 2 2 2 2

设平面 SBC 的法向量 n

? ( x, y, z) ,

3 3 BS ? ( 1, - , ), CB ? (0, 2, 0), 2 2
? 3 3 z ? 0 ? n ? (? 3,0,2) ?x - y ? ? 2 2 故 。 ?2 y ? 0 ?
cos (? 2,0, 0), 又 AB ? AB, n ? AB ? n AB ? n
21 。 7

?

21 。 7

故 AB 与平面 SBC 所成的角为 ?

? arcsin

解法 5:变换建系的方法,空间直角坐标系中各点坐标会发生变化,但求角的方法是不变的。 如图 10,以 D 为坐标原点,射线 DE 为 x 轴正半轴, 射线 DC 为 y 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz。D(0,0,0),A(2,-1,0)、B(2,1,0) ,C(0,1,0)。 因为平面 SDE⊥平面 ABCD,点 S 在 xoz 平面内,

DF=

1 3 1 3 0, ) ,SF= ,所以 S( , . 2 2 2 2
设平面 SBC 的法向量 n

? ( x, y, z) ,
4

3 3 BS ? (- ,?1, ), CB ? (2, 0,0), 2 2

? 3 3 z ? 0 ? n ? (0, 3,2) ?- x ? y ? 故? 2 。 2 ?2 x ? 0 ?


AB ? ( 0, 2,0),

cos AB, n ?

AB ? n AB ? n

?

2 3 ? 2? 7
21 。 7

21 7 。

故 AB 与平面 SBC 所成的角为 ?

? arcsin

解法 6:借助第一问的求证结果建系,虽然图形不是太好看,但会使数据更加简单。多种建系方法 也增强了同学们利用空间向量解决立体几何题的信心。 如图 11,因为 SD⊥平面 SAB,以 S 为坐标原点,射线 SE 为 x 轴正半轴,过 S 做 AB 的平行线为 y 轴,射线 SD 为 z 轴 正 半 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 S-xyz , S(0,0,0)。 点 A,B 在 xoy 平面内, , A( 3, ? 1,0) , B( 3, 1,0) 点 C 在 yoz 平面内,C(0,1,1)。 设 平 面 SBC 的 法 向 量

n ? ( x, y, z)



SB ? ( 3,1 , 0), SC ? (0, 1,1 ),
? ? 3 x ? y ? 0 ? n ? (1,? 3 , 3 ) 故? 。 ? ?y ? z ? 0


AB ? ( 0, 2,0),
AB ? n AB ? n ? ?2 3 ? 21 ? 。 7 2? 7
21 。 7

cos AB, n ?

故 AB 与平面 SBC 所成的角为 ?

? arcsin

通过对上面一道数学题目的六种不同的解法,不仅教会学生从三大角度探究线面角的求解,我们更
5

应该有所感悟:某些数学问题既可以这样解,也可以那样解,不同的解法体现的是解题者思维上的差异; 而实施“一题多解”的前提是需要积累一定的数学知识,善于将零碎的知识进行横向与纵向的联系,并 在平时的实践中不断地总结“一题多解”的规律。学生在平时的数学学习中,也应贯彻“一题多解”的 思想并进行有效地实践,培养自己的创新能力和创造性的思维能力,这样不仅能减轻学习数学的负担, 更能提高学习数学的效率,从而增强学习数学的兴趣。

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