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浦东新区2013学年度第一学期期末质量测试高三数学(理科)2014.1


浦东新区 2013 学年度第一学期期末质量测试

高三数学(理科)
2014.1.

一、填空题: (本大题共有 14 题,满分 56 分) 1、 lim
n2 ? 1 ? n ?? 2n 2 ? n

2、不等式

x ? 0 的解是 1? x

3、已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 3 , n ? 2, n ? N * ) ( ,则 an ? 4、已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) ? 5、甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方 面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,则应在甲校抽 取的学生数是 6、已知函数 f ( x ) ?
1 ?1 2 4
x x

的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (12) ?

7、已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? a ? 3 i ( a ? R ) z1 ? z2 是实数,则 z1 ? z2 ? ,
1 8、二项式 ( x 2 ? )9 的展开式中,含 x 3 的项的系数是 x

9、在锐角 ?ABC 中, AC ? 4 , BC ? 3 ,三角形的面积等于 3 3 ,则 AB 的长为 10、已知圆锥的底面半径为 3 ,体积是 12? ,则圆锥的侧面积等于 11、某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为社区志愿者,若用随机变量 ? 表示 选出的志愿者中女生的人数,则随机变量 ? 的数学期望 E? ? 分数表示). 12、函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,若 f (x) ?a ?2 恒成立的充分条件是 1 ? x ? 2 ,则实数 a 的取 值范围是 13、用 S 表示集合 S 中的元素的个数,设 A 、 B 、C 为集合,称 ( A, B, C ) 为有序三元组. 如果集合 A 、 B 、 C 满足 A ? B ? B ? C ? C ? A ? 1 ,且 A ? B ? C ? ? ,则称有序 三元组 ( A, B, C ) 为最小相交. 由集合 ?1, 2,3, 4? 的子集构成的所有有序三元组中,最 (结果用最简

小相交的有序三元组的个数为 14、已知函数 y ? f ( x) ( x ? N * , y ? N * ) ,对任意 n ? N * 都有 f [ f (n)] ? 3n ,且 f ( x) 是增 函数,则 f (3) ? 二、选择题: (本大题共有 4 题,满分 20 分) 15、设 a 、 b ? R ,则下列不等式一定成立的是( (A) a2 ? b2 (B)
1 1 ? a b

) (D) 2a ? 2b

(C) a 2 ? ab ) (C) 4

16、方程 log 5 x ? sin x 的解的个数为( (A) 1 17、已知函数 f ( x) ? (B) 3
x2 ,则 x2 ? 1

(D) 5

1 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013) ? f (2014) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f ( )? 2 3 2013 2014 1 1 1 1 (A) 2010 (B) 2011 (C) 2012 (D) 2013 2 2 2 2

18、如图所示,点 A 、 B 、 C 是圆 O 上的三点, 线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点,若 ??? ? ??? ? ??? ? OC ? mOA ? nOB ,则( ) (A) 0 ? m ? n ? 1 (C) m ? n ? ?1 (B) m ? n ? 1 (D) ?1 ? m ? n ? 0

三、解答题: (本大题共有 5 题,满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,
SD ? 平面 ABCD , SD ? AD ? 2 ,

(1)求证: AC ? SB ; (2)求二面角 C ? SA ? D 的大小.

20、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题. 实践证明,声音强度 D (分贝)由公式 D ? a lg I ? b ( a 、 b 为非零常数)给出,其中 I ( W / cm2 )为声音能 量. (1)当声音强度 D1 、 D2 、 D3 满足 D1 ? 2 D2 ? 3D3 时,求对应的声音能量 I1 、 I 2 、 I 3 满 足的等量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10?13W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说 话,声音能量为 10?12W / cm2 时,声音强度为 40 分贝. 当声音强度大于 60 分贝时属于噪 音,一般人在 100 分贝~ 120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪. 问声音能量在什 么范围内时,人会暂时性失聪. 21、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图,设 A(
3 1 , ) 是单位圆上一点,一个动点从点 2 2

A 出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转
了一周. 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动点到达点

P . 设 P( x, y ) ,其纵坐标满足 y ? f (t ) ? sin(? x ? ? )
(?

?
2

?? ?

?
2

) ,

??? ??? ? ? (1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ? t ? 6 ,求 AP ? AB 的取值范围.

22、 (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)
1 ? x2 1 ? x2 ?a 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? . 1 ? x2 1 ? x2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性,并说明理由; (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 [? 以 f (r ) 、 f ( s ) 、 f (t ) 为边长的三角形. 23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设项数均为 k ( k ? 2, k ? N * )的数列 ?an ? 、 ?bn ? 、 ?cn ? 前 n 项的和分别为 S n 、 Tn 、 U n . 已知集合 ?a1 , a2 ,?, ak , b1 , b2 ,?, bk ? ? ?2, 4, 6,?, 4k ? 2, 4k? (1)已知 U n ? 2n ? 2n ,求数列 ?cn ? 的通项公式; (2)若 Sn ? Tn ? 2n ? 2n ( 1 ? n ? k , n ? N * ) ,试研究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合条件的 数列对 ??an ? , ?bn ?? ,并说明理由; (3)若 an ? bn ? 2n ( 1 ? n ? k , n ? N * ) ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对
2 5 2 5 , ] 上的任意三个实数 r 、 s 、t ,都存在 5 5

??a ? , ?b ?? 有偶数对.
n n


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