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正弦函数y=sinx的图象与性质

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§ 4.4 正弦函数的性质教学目标:

1、进一步熟悉单位圆中的正弦线; 2、理解正弦诱导公式的推导过程; 3、掌握正弦诱导公式的运用; 4、能了解诱导公式之间的关系,能相互推导; 5、理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、 奇偶性; 6、能熟练运用正弦函数的性质解题。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式,正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用,正弦函数的性质应用。 第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在上一节课中, 我们已经学习了任意角的正弦函数定义,以及终边相同的角 的正弦函数值也相等,即 sin(2kπ +α )=sinα (k∈Z),这一公式体现了求任 意角的正弦函数值转化为求 0°~360°的角的正弦函数值。如果还能把 0°~ 360°间的角转化为锐角的正弦函数,那么任意角的正弦函数就可以查表求出。 这就是我们这一节课要解决的问题。 【探究新知】 1.复习: (公式 1)sin(360?k+?) = sin? 2.对于任一 0?到 360?的角,有四种可能(其中?为不大于 90?的非负角)

? ? 当? ? 0 ? , 90? ) ?为第一象限角 ? ? ? ? 180 ) ?为第二象限角 ?180 ? ? 当? ? 90 , (以下设?为任意角) ??? ? ? 270?) ?为第三象限角 ?180 ? ? 当? ? 180 , ?360? ? ? 当? ? 270? , 360?) ?为第四象限角 ? y 3. 公式 2: 设?的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 180?+? P (x,y) 终边与单位圆交于点 P’(-x,-y), 由正弦线可知: sin(180?+?) = ?sin?

? ? ?

?

o

x , P (-x,-y)

y P(x,y) M P’(x,-y) o x

4.公式 3: 如图:在单位圆中作出α 与-α 角的终边, 同样可得: sin(??) = ?sin?,

5.公式 4:由公式 2 和公式 3 可得:
1

sin(180???) = sin[180?+(??)] = ?sin(??) = sin?, 同理可得: sin(180???) = sin?, 6.公式 5:sin(360???) = ?sin? 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评 例 1:求下列函数值
7 π) 4 解: (1)sin(-1650?)=-sin1650?=-sin(4×360?+210?)=-sin210? 1 =-sin(180?+30?)=sin30?= 2 (2) sin(-150?15’)=-sin150?15’=-sin(180?-29?45’) =-sin29?45’=-0.4962

(1)sin(-1650?);

(2)sin(-150?15’);

(3)sin(-

(3) sin(-

7 ? ? 2 π )=sin(-2π + )=sin = 4 4 4 2

例 2.化简:

sin ?2? ? ? ?sin ?3? ? ? ? sin ?? ? ? ? ?sin ?3? ? ? ?sin ?? ? ? ? ?

解: (略,见教材 P24) 2.学生练习 教材 P24 练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想 方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

第二课时 正弦函数的性质 一、 教学思路 【创设情境,揭示课题】 同学们, 我们在数学一中已经学过函数,并掌握了讨论一个函数性质的几个 角度,你还记得有哪些吗?在上一次课中,我们已经学习了正弦函数的 y=sinx 在 R 上图像,下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?
y

- 【探究新知】 -

-

? 4(1)3正弦函数的定义域是什么? 2 1 (2) 正弦函数的值域是什么? ? ? (3)?它的最值情况如何?
(4) 它的正负值区间如何分?

让学生一边看投影,一边仔细观察正弦曲线的图像,并思考以下几个问题:

y 1 o -

?

2 ?

3 ?

4 ?

5 ?

6 xx ?

2

(5) ?(x)=0 的解集是多少? 师生一起归纳得出: 1. 定义域:y=sinx 的定义域为 R 2. 值域:引导回忆单位圆中的正弦函数线,结论:|sinx|≤1(有界性) 再看正弦函数线(图象)验证上述结论,所以 y=sinx 的值域为[-1,1] ? 3.最值:1?对于 y=sinx 当且仅当 x=2k?+ ,k?Z 时 ymax=1 2 ? 当且仅当时 x=2k?- , k?Z 时 ymin=-1 2 2?当 2k?<x<(2k+1)? (k?Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)?<x<2k? (k?Z)时 y=sinx<0 4.周期性: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 也可以说明 结论:y=sinx 的最小正周期为 2? 5.奇偶性 sin(-x)=-sinx (x∈R) y=sinx (x∈R)是奇函 数 6.单调性 x sinx -

? 2



0 0



? 2
1



π 0



3? 2

-1

-1

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z) ,其值从-1 增至 1; 2 2 ? 3? 减区间为[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z) ,其值从 1 减至-1。 2 2 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评 例 1.利用五点法画出函数 y=sinx-1 的简图,根据函数图像和解析式讨论 它的性质。 解: (略,见教材 P26) 2.课堂练习 教材 P27 的练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方 法有哪些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布置作业:习题 1—4 第 3、4、5、6、7 题. 四、课后反思
增区间为[-

3


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