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广东省2014届高三数学理二轮专题复习:概率与统计


2014 珠海四中高三数学(理)专题复习—概率与统计
一、选择题 1、(2013 广东高考)已知离散型随机变量 X 的分布列为

X
P
则 X 的数学期望 EX ? ( A. )

1 3 5
C.

2 3 10

3 1 10
D. 3

>
3 2

B. 2

5 2

2.(2012 广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 ( ) A.

4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.

1 9

3、(2011 广东高考)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队 需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.

1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

4、(2014 广州一模)某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图 1 的频率分 布直方图.样本数据分组为 50,60? , 60,70? , 70,80? ,

?

?

?

频率/组距

?80,90? , ?90,100? .若用分层抽样的方法从样本中抽取分
数在 80,100 范围内的数据 16 个,则其中分数在 90,100 范围内的样本数据有 A.5 个 C.8 个 B.6 个 D.10 个

?

?

?

?

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0
50 60 70 80 90 100 分数

图1

5、(2014 梅州 3 月一模)如图,设 D 是图中连长为 2 的正方形区域,E 是函数 y=x3 的图象与 x 轴 及 x=±1 围成的阴影区域,向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为

A、

1 16

B、

1 8

C、

1 4

D、

1 2

二、解答题 6、(2013 广东高考)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所 示,其中茎为十位数,叶为个位数.

1 2

7 0 0

9 1

5

3

第 17 题图

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有 几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.

7 、(2012 广东高考)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分

组区间是: ? 40,50 ? 、 ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、

?90,100? .
(Ⅰ)求图中 x 的值; (Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人 中成绩在 90 分以上 (含 90 分) 的人数记为 ? , 求 ? 的数学期望.

8、(2011 广东高考)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产 品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x , y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产 品的测量数据: 编号 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

x
y

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x , y 满足 x ? 175 且 y ? 75 时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙 厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其

均值(即数学期望).

9、(2014 广州一模)甲,乙,丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是 同时不能被聘用的概率是

2 ,甲,丙两人 5

6 3 ,乙,丙两人同时能被聘用的概率是 ,且三人各自能否被聘用相互 25 10

独立. (1)求乙,丙两人各自能被聘用的概率; (2)设 ? 表示甲,乙,丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求 ? 的分 布列与均值(数学期望).

10、为了解高中一年级学生身高情况,某校按 10%的比例对全校 700 名高中一年级学生按性别进行 抽样检查,测得身高频数分布表如下表 1、表 2. 表 1:男生身高频数分布表
身高(cm) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190)

频数

2

5

14

13

4

2

表 2:女生身高频数分布表
身高(cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180)

频数

1

7

12

6

3
频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
160 165

1

(1)求该校男生的人数并完成下面频率分布直方 图; (2)估计该校学生身高(单位:cm)在 [165,180) 的概率; ( 3 ) 在男生 样本中 ,从 身高( 单位: cm )在 的男生中任选 3 人,设 ? 表示所选 3 人 [180,190) 中身高(单位:cm)在 [180,185) 的人数,求 ? 的 分布列和数学期望.

身高/cm
170 175 180 185 190

男生样本频率分布直方图

11、袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个( n =1,2,3,4). 现从袋 中任取一球. ? 表示所取球的标号. (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差;

(Ⅱ)若 ? ? a? ? b , E? ? 1, D? ? 11 , 试求 a,b 的值.

12、为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙 柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期望 E? ? 3 ,标

准差 ?? 为

6 。(Ⅰ)求 n,p 的值并写出? 的分布列; 2

(Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

13、现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入的频数 分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入(单位百元) [15,25 ) 频数 赞成人数 5 4 [25,35 ) 10 8 [35,45 ) 15 12 [45,55 ) 10 5 [55,65 ) 5 2 [65,75 ) 5 1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为分界点对 “楼市限购令” 的态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若对在[15,25) ,[25,35)的被调查中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中不赞 成“楼市限购令”人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望。 14、( 2014 韶关一模)某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所 得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组 为 [0, 20) , [20, 40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] . (1)求直方图中 x 的值; (2)如果上学路上所需时间不少于 60 分钟的学生可申请在学 校住宿,请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿;
x

月收入低于 55 百元的人数

合计

a?
b?

c?
d?

频率/组距

0.0125 0.0065 0.003

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

(3)现有6名上学路上时间小于 40 分钟的新生,其中2人上学路上时间小于 20 分钟. 从这6人 中任选2人,设这2人中上学路上时间小于 20 分钟人数为 X , 求 X 的分布列和数学期望.

15、 (2013?汕头一模)广东省汕头市日前提出,要提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有
大的提速,努力实现“幸福汕头”的共建共享.现随机抽取 50 位市民,对他们的幸福指数进行统计分 析,得到如下分布表: 幸福级别 幸福指数(分) 人数(个) 非常幸福 90 幸福 60 不知道 30 不幸福 0 3

19 21 7 (I)求这 50 位市民幸福指数的数学期望(即平均值) ;

(11)以这 50 人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数,若从全市市民(人数很多)任 选 3 人,记 ξ 表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数.求 ξ 的分布列; (III)从这 50 位市民中,先随机选一个人.记他的幸福指数为 m,然后再随机选另一个人,记他的 幸福指数为 n,求 n<m+60 的概率 P.

答案: 1、A 2、解析: D.两位数共有 90 个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个,个位数为 0 的 有 5 个,所以概率为

5 1 ? . 45 9

3、解析:(D).乙获得冠军的概率为 4、B 5、 B

1 1 1 1 3 ? ? ,则甲队获得冠军的概率为1 ? ? 2 2 4 4 4

6 、( Ⅰ) 样本均值为

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 132 ? ? 22 ; 6 6 2 1 1 ( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知样本中优秀工人占的比例为 ? , 故推断该车间 12 名工人中有 12 ? ? 4 名优秀工人. 6 3 3
( Ⅲ) 设事件 A : 从该车间 12 名工人中, 任取 2 人, 恰有 1 名优秀工人, 则 P ? A? ?
1 1 C4 C8 16 ? . 2 33 C12

7、解析: (Ⅰ)由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054 ? x ? ? 10 ? 1 ,解得 x ? 0.018 . (Ⅱ)分数在 ?80,90 ? 、 ?90,100? 的人数分别是 50 ? 0.018 ? 10 ? 9 人、50 ? 0.006 ? 10 ? 3 人.所以

? 的取值为 0、1、2.

P ?? ? 0 ? ?

0 2 1 1 0 C3 C9 36 6 C3 C9 27 9 C32C9 3 1 , , ,所以 ? ? ? P ? ? 1 ? ? ? P ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C12 66 11 C12 66 22 C12 66 22

6 9 1 11 1 ? 1? ? 2 ? ? ? . 11 22 22 22 2 98 14 ? 8、解:(1)设乙厂生产的产品数量为 a 件,则 ,解得 a ? 35 a 5
的数学期望是 E? ? 0 ? 所以乙厂生产的产品数量为 35 件 (2)从乙厂抽取的 5 件产品中,编号为 2、5 的产品是优等品,即 5 件产品中有 2 件是优等品 由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为 35 ? (3) ? 可能的取值为 0,1,2

2 ? 14 (件) 5

P(? ? 0) ?

C32 3 ? , C52 10

P(? ? 1) ?

1 1 C2 C3 6 ? , C52 10

P(? ? 2 ) ?

2 C2 1 ? , 2 C5 10

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3 10

6 10

1 10

∴ E? ? 0 ?

3 6 1 4 ? 1? ? 2 ? ? . 10 10 10 5

9、解:(1)记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为 A 1 , A2 , A 3, 由已知 A 1 , A2 , A 3 相互独立,且满足

2 ? ? P ? A1 ? ? 5 , ? 6 ? ?? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ? ? 25 , ? 3 ? ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? 10 . ?
解得 P ? A2 ? ?

1 3 , P ? A3 ? ? . 2 5 1 3 , . 2 5

所以乙,丙各自能被聘用的概率分别为 (2) ? 的可能取值为 1,3.

因为 P ?? ? 3? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P A1 A2 A3

?

?

? P? A ? A 1? P 2?

A?? ?P ? 3 ?1

?

A? 1 ? P ?1 ? ? ?

? ? P? 2 A ? ? ?1 ? ??

P3 ?

A ? ?

2 1 3 3 1 2 6 . ? ? ? ? ? ? ? 5 2 5 5 2 5 25 6 19 所以 P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 3? ? 1 ? . ? 25 25
所以 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 1?

1

3
6 25

19 25

19 6 37 ? 3? ? . 25 25 25

10、解(1)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10%可得全校男生人数为 400.-------2 分 频率分布直方图如右图示:------------------------------------------------6 分
频率

(2)由表 1、表 2 知,样本中身高在[165,180) 的学生人数为:
0.07

组距

5+14+13+6+3+1=42,样本容量为 70 ,所以样本中

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
160 165 170 2 1175 180 185 190

42 3 ? ----8 分 70 5 3 故由 f 估计该校学生身高在 [165,180) 的概率 p ? .-9 分 5
学生身高在 [165,180) 的频率 f ? (3)依题意知 ? 的可能取值为:1,2,3∵ P(? ? 1) ?
3 C4 1 P(? ? 3) ? 3 ? ----------------------------12 分 C6 5 1 4 3 6

身高/cm

C CC 1 3 ? , P(? ? 男生样本频率分布直方图 2) ? 4 3 2 ? , C 5 C6 5

∴ ? 的分布列为:

---------------------------13 分

1 3 1 ? 的数学期望 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .--------------------------------14 分 5 5 5
11、解:(Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

1 3 1 1 20 20 5 10 1 1 1 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. ∴ E ? ? 0 ? ? 1? 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ? ? (0 ? 1.5) 2 ? ? (1 ? 1.5) 2 ? ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75.(Ⅱ)由 2 20 10 20 5

1 2

D? ? a2 D? ,得 a2 ×2.75=11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE? ? b, 所以
当 a=2 时,由 1=2×1.5+b, 得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴?

? a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求. ?b ? ?2 ? b ? 4
(1)由 E? ? np ? 3, (?? ) 2 ? np(1 ? p ) ?

12、

3 1 1 , 得 1 ? p ? , 从而 n ? 6, p ? 2 2 2

? 的分布列为 ?
P
0 1 2 3 4 5 6

1 64

6 64

15 64

20 64


15 64

6 64

1 64

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,

则 P( A) ? P(? ? 3),

P ( A )?

1 ? 6? 1 ? 5 64

20 ?

21 15 ? 6 ? 1 21 , 或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? ? 32 64 32

13、解:(Ⅰ)2 乘 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计 月收入低于 55 百元人数 合计 32 18 50

a?3 b?7
10
2

c ? 29 d ? 11
40

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29) ? 6.27 ? 6.635 . (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)

所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. (6 分)
2 C82 6 28 84 C4 (Ⅱ) ? 所有可能取值有 0,1,2,3, P ?? ? 0 ? ? 2 ? 2 ? , ? ? C5 C10 10 45 225 1 1 1 2 C82 C4 C8 C C4 4 28 6 16 104 P ?? ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 1 1 2 2 C8 C2 C4 C4 C2 4 16 6 1 35 P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 2 C4 C2 4 1 2 P ?? ? 3? ? 2 ? 2 ? ? ? 所以 ? 的分布列是 C5 C10 10 45 225 104 70 6 4 ? ? ? 。 所以 ? 的期望值是 E? ? 0 ? 225 225 225 5

(12 分)

14、(1)由直方图可得:

20 ? x ? 0.0125 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 .
所以 x = 0.025 .???????????2 分 (2)新生上学所需时间不少于 60 分钟的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 ?????????????4 分
频率/组距
x

0.0125 0.0065 0.003

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

因为 1000 ? 0.12 ? 120 所以 1000 名新生中有 120 名学生可以申请住宿.?6 分 (3) X 的可能取值为 0,1,2.???7 分 所以 X 的可能取值为 0,1, 2 ??????7分
0 2 C2 ? C4 2 P( X ? 0) ? ? 2 C6 5 2 0 C2 ? C4 1 ? 2 C6 15 1 1 C2 ? C4 8 P( X ? 1) ? ? 2 C6 15

P( X ? 2) ?

所以 X 的分布列为:

X P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
?????????11 分

2 8 1 2 EX ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ????????????12 分 5 15 15 3
125、 解: (Ⅰ )记 Ex 表示这 50 位市民幸福指数的数学期望, ∴ (Ⅱ )ξ 的可能取值为 0、1、2、3 …(2 分) …(3 分) 分) …(5 分) ∴ ξ 分布列为 ξ P 0 1 2 3 …(6 分) …(4 .…(1 分)

(Ⅲ )设所有满足条件的对立事件 n≥m+60 的概率为 P1 ① 满足 m=0 且 n=60 的事件数为: ② 满足 m=0 且 n=90 的事件数为: ③ 满足 m=30 且 n=90 的事件数为: …(8 分) …(9 分) …(10 分)



…(11 分)

所以满足条件 n<m+60 的事件的概率为

.…(12 分)


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