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等比数列前n项和

时间:2017-04-13


§6.3.3 等比数列的前 n 项和(一)
教学目的: 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点:等比数列的前 n 项和公式推导 教学难点:灵活应用公式解决有关问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教材分析:本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙 去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有 一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求, 违背教学规律的做法 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

一、复习: 首先回忆一下前两节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: { an }成等比数列

?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件(前提条件) 。

2. 等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0)
3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 5.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 6.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法
如: 有一个数列满足 an ? 5 ? 3
n ?1

,与公式 an ? a1 ? q

n?1

(a1 ? q ? 0) 比较我们可以

判断出这个数列为等比数列且 a1 ? 5, q ? 3 。 二、讲解新课: *创设情境 兴趣导入

【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准 备对大臣进行奖赏. 国王问大臣: “你想得到什么样的奖赏?” ,这位聪明的大臣达依尔说: “陛下,请您在 这张棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒, 在第二个格子内放上 2 颗麦粒, 在第三个格子内放 上 4 颗麦粒,在第四个格子内放上 8 颗麦粒,…,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的 麦粒数的 2 倍的规律,放满棋盘的 64 个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”. 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个格内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第四个格内放 8 粒,……,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来, 也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺. 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢? 各个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大臣西萨?班?达依尔所要的奖赏 就是这个数列的前 64 项和. *动脑思考 探索新知 如何求数列 1,2,4,?262,263 的各项和 以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:
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S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 262 ? 263

① ②

2 S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16? ? 263 ? 264

由②—①可得: S 64 ? 264 ? 1
这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法” ,是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前 n 项和公式:
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a1 (1 ? q n ) ∴当 q ? 1 时, S n ? ① 1? q
当 q=1 时, S n ? na1

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an
由?

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 得? 2 3 n ?1 n ? ?qSn ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )
= a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利 用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决
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现在我们看一看本节趣味数学内容中,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺? 国王承诺奖赏的麦粒数为
S64 ? 1(1 ? 264 ) ? 264 ? 1 ? 1.84 ? 1019 , 1? 2

据测量,一般麦子的千粒重约为 40g ,则这些麦子的总质量约为 7.36×1017 g,约合 7360 多亿吨.我国 2000 年小麦的全国产量才约为 1.14 亿吨,国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承 诺呢! *巩固知识 典型例题 例 5 写出等比数列

1,?3,9,?27,?
的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项的和. 解 因为 a1 ? 1, q ?
Sn ?
S8 ?

?3 ? ?3 ,所以等比数列的前 n 项和公式为 1

1 ? [1 ? (?3)n ] 1 ? (?3) n ? , 1 ? (?3) 4
1 ? (?3)8 ? ?1640 . 4



例 6 求等比数列 1,2,4,?从第 5 项到第 10 项的和. 解 由 a1 ? 1, a2 ? 2 得q ? 2

? S4 ?

1 ? (1 ? 2 4 ) 1 ? (1 ? 210 ) ? 15, S10 ? ? 1023 1? 2 1? 2

从第 5 项到第 10 项的和为 S10 - S 4 =1008 例 7 一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传 给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人?最快几小时全球(67.6 亿)人都知道这个消息? 解 根据题意可知,获知此信息的人数成首项 a1 ? 1, q ? 2 的等比数列 则:一天内获知此信息的人数为: S 24 ?

1 ? 2 24 ? 2 24 ? 1 ? 16777215 (人) 1? 2

∵ S 32 ?

1 ? 2 32 ? 2 32 ? 1 ? 4294967295 (人) 1? 2 1 ? 2 33 ? 2 33 ? 1 ? 8589934591 (人) 1? 2

S 33 ?

∴最快 33 个小时全球人都知道这个消息。 *运用知识 强化练习 练习 6.3.3 1.求等比数列

1 2 4 8 , , , ,?的前 10 项的和. 9 9 9 9

2.已知等比数列{ an }的公比为 2, S 4 =1,求 S8 . *归纳小结 强化思想 1. 等比数列求和公式:当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?

a1 ? a n q 1? q

或 Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q



2.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(错位相减法、方程法)推导出了等 比数列的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 6.3A 组(必做) ;教材习题 6.3B 组(选做) *教学反思


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