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山东省各地市2012年高考数学(理科)最新试题分类大汇编第8部分:立体几何(3):

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山东省各地市 2012 年高考数学(理科)最新试题分类大汇编: 第 8 部分:立体几何(3)
一选择题
【山东省青州市 2012 届高三上学期期中理】5.已知α 、β 是两上不同的平面,m,n 是两条 不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,

则 ? / / ? ③如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n 与α 相交; ④若 ?

? ? m, n / / m, 且n ? ? , n ? ? , 则 n / /?且n / / ? 。
( ) B.②③

其中正确的命题是 A.①② C.③④ D.①④ 【答案】D 【山东省日照市 2012 届高三上学期期末理】 (5)下列四个几何体中,各几何体的三视图有且 仅有两个视图相同的是

(A)①② (B)②③ (C)②④ (D)①③ 【答案】C 解析:①的三个视图都相同;②的主视图与左视图相同,与俯视图不同;③的三 个视图互不相同;④的主视图与左视图相同,而与俯视图不同。 【山东省日照市 2012 届高三上学期期末理】 (8)已知 m,n 是两条不同直线,? , ? 是两个不 同平面,下列命题中的假命题的是 (A) 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? (C) 若m // ? , ? ? ? ? n, 则m // n (B) 若m // n, m ? ? , 则n ? ? (D) 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

【答案】C 解析:由 m // ? , ? ? ? ? n 无法得到 m,n 的确切位置关系。 【山东省青州市 2012 届高三 2 月月考理】 9. 已知某几何体的三视图如右图所示, 其中, 正 (主) 视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的

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数据可得此几何体的体积为 4? 1 2? 1 2? 1 2? 1 ? ? A. B. C. D. ? ? 3 2 6 6 3 6 3 2 【答案】C 【山东省青岛市 2012 届高三期末检测 理】5. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出 的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm

3

D. 4000cm

3

10 20 10 20 正视图 20 侧视图 20 俯视图

【答案】B 【山东省青岛市 2012 届高三期末检测 理】8.已知 a 、 b 、 c 为三条不重合的直线,下面有三 个结论:①若 a ? b, a ? c 则 b ∥ c ; ②若 a ? b, a ? c 则 b ? A. 0 个 【答案】B 【山东省实验中学 2012 届高三第三次诊断理】设有直线 m、n 和平面 ?、? ,下列四个命题中, 正确的是( ) B.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ?

c ;③若 a ∥ b , b ? c 则 a ? c . 其中正确的个数为
C. 2 个 D. 3 个

B. 1 个

A.若 m // ? , n // ? , 则m // n

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C.若 ? ? ? , m ? ? , 则m ? ?

D.若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? , 则m //?

【答案】D 【山东省实验中学 2012 届高三第三次诊断理】在正三棱锥 S-ABC 中,M、N 分别是 SC、BC 的 中点,且 MN ? AM ,若侧菱 SA= 2 3 ,则正三棱 S-ABC 外接球的表面积为( A.12 ? 【答案】C 【山东省潍坊一中 2012 届高三阶段测试理】7.设 m , n 是两条不同的直线,? , ? , ? 是三 个不同的平面,给出一列四个命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; ②若 ? // ? , ? // ? , m ? ? , 则 m ? ? ; ③若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 其中正确 命题的序号是 .. A.①和② B.②和③ 【答案】A 【山东省潍坊一中 2012 届高三阶段测试理】 8.一个空间几何体的正视图、侧视图均是 长为 2、高为 3 的矩形,俯 视图是直径为 2 的圆(如右图) ,则这个几何体的表面积为 B.32 ? C.36 ? D.48 ? )

C.③和④

D.①和④

A.12+ ? 【答案】C

B.7 ?

C. 8?

D. 20?

【山东省烟台市 2012 届高三期末检测理】3.设 b,c 表示两条直线,α ,β 表示两个平面,则 下列命题正确的是 A. 若b ? ? , c // ? , 则c // b C. 若c // ? , ? ? ? , 则c ? ? B. 若b ? ? , b // c, 则c // ? D. 若c // ? , c ? ? , 则? ? ?

【答案】D 【山东省潍坊市重点中学 2012 届高三 2 月月考理】4. 某空间几何体的三视图如图所示,则该
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几何体的体积是 A. 2 【答案】B
? 【山东省日照市 2012 届高三 12 月月考理】 (6)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( 其中 A ? 0, ? ? ) 的图

B. 1

C.

2 3

D.

1 3

象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象

2

(A)向右平移 ? 个长度单位
6

(B)向右平移 ? 个长度单位
3

(C)向左平移 ? 个长度单位
6

(D)向左平移 ? 个长度单位
3

【答案】A

T 7? ? ? 2? ? ? ? ? T ? ? ,从而 ? ? ? 2 ,将 4 12 3 4 T 7? 7? ? ? ( ,?1) 代入到 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 中得, sin( ? ? ) ? ?1 ,根据 ? ? 得到 ? ? ,所 12 6 2 3
解析:由图象可知 A=1,又

以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? sin(2 x ?

?

3

) 。将 f ( x) 图象右移

? 个长度单位即可得到 6

g ( x) ? sin2 x 的图象。

二、填空题
【山东省青岛市 2012 届高三期末检测 理】13.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别 为 1 、 2 、 3 ,则这个长方体的外接球的表面积为 【答案】 14? 【山东省烟台市 2012 届高三期末检测理】15.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 表面积为 .

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【答案】24+12 ? 【山东省潍坊市寿光现代中学 2012 届高三 12 月段考理】13.在空间直角坐标系中,已知 点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1) ,点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标 是 。 【答案】 (0,-1,0) 【山东省潍坊市寿光现代中学 2012 届高三 12 月段考理】15.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M, 若圆 M 的面积为 3π , 则球 O 的表面积等 于 。 【答案】16π 【山东省潍坊市寿光现代中学 2012 届高三 12 月段考理】16.设α 和β 为不重合的两个平 面,给出下列命题: (1)若α 内的两条相交直线分别平行于β 内的两条直线,则α 平行于β ; (2)若α 外一条直线 l 与α 内的一条直线平行,则 l 和α 平行; (3)设α 和β 相交于直线 l,若α 内有一条直线垂直于 l,则α 和β 垂直; (4)直线 l 与α 垂直的充分必要条件是 l 与α 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号) 【答案】 (1) (2) 【山东省淄博市第一中学 2012 届高三第一学期期中理】19、 (满分12 分) :务必把几何图形 画在答卷纸上 如图所示的几何体是由以等边三角形 ABC 为底面的棱柱被平面 DEF 所截而得,已知

FA ? 平面 ABC , AB ? 2, AF ? 2, CE ? 3, BD ? 1, O 为 BC 的中点
(1) 求证: AO ∥平面 DEF (2) 求证:平面 DEF ? 平面 BCED (3) 求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐角二面角的余弦值

【答案】19. 证明:⑴取 DE D 中点 G,建系如图,则 A(0, 3,0)、B(0,-1,0)、C(1,0,0)、
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D(-1,0,1),E(1,0,3)、F(0, 3,2)、G(0,0,2), ? ? DE=(2,02),DF=(1, 3,1).

设平面 DEF 的一法向量 m =(x,y,z), ? ? ? ? m ?DE=0 ?x+z=0 则? 即? ,不妨取 x=1,则 y=0,z=-1, ? ? 3y+z=0 ?x+ ? ? m ?DF=0
? ? ? ∴ m =(1,0,-1),平面 ABC 的一法向量 n =(0,0,1),OA=(0, 3,0).

?

? ? ? ? OA? n =0,∴OA? n .又 OA? 平面 DEF,∴OA??平面 DEF. ⑵显然,平面 BCED 的一法向量为 v =(0,1,0),v ? n =0,∴平面 DEF?平面 BCED ⑶由⑴知平面 DEF 的一法向量 m =(1,0,-1),平面 ABC 的一法向量 n =(0,0,1), m?n 2 cos<m ,n >= ? ? =2 | m |?| n |
? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 ∴求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐角二面角的余弦值为 2 . 【山东省青州市 2012 届高三上学期期中理】18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PD ? 底面 ABCD,M、N 分别 为 PA、BC 的中点,且 PD ? AD ? 2, CD ? 1. (I)求证:MN//平面 PCD; (II)求证:平面 PAC ? 平面 PBD; 【答案】

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【山东省日照市 2012 届高三上学期期末理】 (19) (本小题满分 12 分) .如图, 在空间中的直角三角形 ABC 与直角梯形 EFGD 中, 平面 ABC//平面 DEFG, AD⊥平面 DEFG, AC∥DG.且 AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1. (Ⅰ)求证:四点 B、C、F、G 共面; (Ⅱ)求平面 ADGC 与平面 BCGF 所组成的二面角余弦值; A C B

D

G

(Ⅲ) 求多面体 ABC-DEFG 的体积. E F 【答案】18.向量法 由 AD⊥面 DEFG 和直角梯形 EFGD 可知, AD、DE、 DG 两两垂直,建立如图的坐标系, 则A (0, 0,2) ,B(2,0,2) ,C(0,1,2) ,E(2,0,0) ,G(0,2,0) ,F(2,1,0) (1) BF ? (2,1,0) ? (2,0, 2) ? (0,1, ?2)

A B

C

D E F

M

G

CG ? (0, 2,0) ? (0,1, 2) ? (0,1, ?2)
∴ BF ? CG ,即四边形 BCGF 是平行四边形. 故四点 B、C、F、G 共面. ……………………4 分 (2) FG ? (0, 2,0) ? (2,1,0) ? (?2,1,0) ,

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设平面 BCGF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 则?

? ?n1 ? CG ? y ? 2 z ? 0

? ?n1 ? FG ? ?2 x ? y ? 0 令 y ? 2 ,则 n1 ? (1,2,1) ,



而平面 ADGC 的法向量 n2 ? i ? (1,0,0)

n1 ? n2 1?1 6 = ? 6 | n1 | ? | n2 | 12 ? 22 ? 12 ? 12 ? 02 ? 02 6 故面 ADGC 与面 BCGF 所组成的二面角余弦值为 . ……………………8 分 6 (3)设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM,则 V多面体A = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG B C D E F G 1 1 = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG = 2 ? ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 2 ? 1 = 4 . ……………12 分 2 2
∴ cos ? n1 , n2 ?? 解法二 (1)设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM,则由已知条件易证四边形 DEFM 是 平行四边形,所以 MF//DE,且 MF=DE 又∵AB//DE,且 AB=DE ∴MF//AB,且 MF=AB ∴四边形 ABMF 是平行四边形,即 BF//AM,且 BF=AM 又∵M 为 DG 的中点,DG=2,AC=1,面 ABC//面 DEFG A C ∴AC//MG,且 AC=MG,即四边形 ACGM 是平行四边形 B ∴GC//AM,且 GC=AM 故 GC//BF,且 GC=BF, 即四点 B、C、F、G 共面………………4 分 (2)∵四边形 EFGD 是直角梯形,AD⊥面 DEFG N M ∴DE⊥DG,DE⊥AD,即 DE⊥面 ADGC , D G ∵MF//DE,且 MF=DE , ∴MF⊥面 ADGC E F 在平面 ADGC 中,过 M 作 MN⊥GC,垂足为 N,连接 NF,则 显然∠MNF 是所求二面角的平面角. ∵在四边形 ADGC 中,AD⊥AC,AD⊥DG,AC=DM=MG=1 ∴ CD ? CG ? 5 , ∴ cos ?DGC = ∴ sin ?DGC ? A C

GC 2 ? GD 2 ? CD 2 5? 4?5 5 = = 2 ? GC ? GD 5 2? 5 ? 2

2 5 2 5 , ∴MN= MG ? sin ?DGC ? 5 5

N D M G

在直角三角形 MNF 中,MF=2,MN ?

2 5 5

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MF 2 6 = = 5 , cos ?MNF = MN 6 2 5 5 6 故面 ADGC 与面 BCGF 所组成的二面角余弦值为 ……………………8 分 6 (3) V多面体ABC-DEFG = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG
∴ tan ?MNF = = 2?

1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 . 2 2

【山东省青州市 2012 届高三 2 月月考理】19. (本小题满分 12 分)如图 4,已知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面 (经过圆柱的轴的截面) , BC 是圆柱底面的直径, O 为底面圆心, E 为母线 CC1 的中点,已知 AB ? AC ? AA 1 ?4

(I) )求证: B1O ⊥平面 AEO ; (II)求二面角 B1 ? AE ? O 的余弦值. (Ⅲ)求三棱锥 A ? B1OE 的体积. 【答案】19. 解:依题意可知, AA1 ? 平面 ABC,∠ BAC =90°, 空间向量法 如图建立空间直角坐标系 o ? xyz ,因为 AB ? AC ? AA1 =4, 则 A(0,0,0), B(4,0,0) E(0, 4, 2), O(2, 2,0), B1 (4,0, 4) (I) B1O ? (?2 , 2, ? 4), EO ? (2, ? 2, ? 2) , AO ? (2, 2,0)

B1O EO ? (?2) × 2?2 × (?2) ? (?4) × (?2) ? 0 ,∴ B1O ? EO ,∴ B1O ? EO
∴ B1O ? AO ,∴ B1O ? AO B1O AO ? (?2) × 2?2 × 2 ? (?4) × 0 ?0, ∵ AO EO ? O, A O (4 分) , EO ? 平面 AEO ∴ B1O ⊥平面 AEO (II) 平面 AEO 的法向量为 B1O ? (?2, 2, ? 4) ,设平面 B1AE 的法向量为

? · AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?n , 即? n ? ( x,y,z ),∴? · B1 A ? 0 ?x ? z ? 0 ? ?n 令 x=2,则 z ? ?2,y ? 1 ,∴z ? (2, 1 , ? 2)
∴ cos ? n, B1O ? ?

n · B1O 6 6 ? ? 6 |n· | | B1O | 9× 24

6 (8 分) 6 (Ⅲ)因为 AO EO ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 ,∴ AO ? EO , ∴ AO ? EO
∴二面角 B1—AE—F 的余弦值为 ∵ AO ?| AO |? 22 ? 22 ? 0 ? 2 2 , EO ?| EO |? 2 3
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∴ VA? B1OE ? VB1 ? AOE ?

1 1 1 S?AOE ? B1O ? ? ? 2 2 ? 2 3 ? 2 6 ? 8 3 3 2

(12 分)

【山东省青岛市 2012 届高三期末检测 理】20. (本小题满分 12 分) 已知四边形 ABCD 满足 AD ∥ BC , BA ? AD ? DC ?

1 BC ? a , E 是 BC 的中点,将 2

?BAE 沿着 AE 翻折成 ?B1 AE ,使面 B1 AE ? 面 AECD , F 为 B1D 的中点.

B1
F A D A D

B

E

C

E

C

(Ⅰ)求四棱 B1 ? AECD 的体积; (Ⅱ)证明: B1E ∥面 ACF ; (Ⅲ)求面 ADB1 与面 ECB1 所成二面角的余弦值. 【答案】20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)取 AE 的中点 M , 连接 B1M ,因为 BA ? AD ? DC ? 形,则 B1M ? 所以

1 BC ? a , ?ABE 为等边三角 2

3 a ,又因为面 B1 AE ? 面 AECD ,所以 B1M ? 面 AECD ,……2 分 2

1 3 ? a3 V? ? a ? a ? a ? sin ? 3 2 3 4
…………………4 分 (Ⅱ) 连接 ED 交 AC 于 O , 连接 OF , 因为 AECD 为菱形, OE ? OD ,又 F 为 B1D 的中点, 所 以 FO ∥ B1E , 所 以 B1E ∥ 面

B1
A D A

F
D

B

E

C

E

C

ACF …………………………………………………………………………………………7 分
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(Ⅲ)连接 MD ,分别以 ME, MD, MB1 为 x, y, z 轴 则 E ( ,0,0), C (a,

a 2

3 a 3 3 a,0), A(? ,0,0), D(0, a,0), B1 (0,0, a) 2 2 2 2

a 3a a 3a a 3a a 3a EC ? ( , ,0), EB1 ? (? ,0, ), AD ? ( , ,0), AB1 ? ( ,0, ) ……9 分 2 2 2 2 2 2 2 2

?a 3 ay? ? 0 ? x? ? 3 3 ?2 2 设面 ECB1 的法向量 v ? ( x?, y?, z?) , ? ,令 x? ? 1 ,则 u ? (1, ? , ) 3 3 ?? a x? ? 3 az? ? 0 ? ? 2 2 ?a ? x? ?2 设面 ADB1 的法向量为 u ? ( x, y, z) , ? ?a x ? ? ?2
令 x ? 1 ,则 v ? (1, ?

3 ay ? 0 2 , 3 az ? 0 2

3 3 , ? ) …………………………………………………………11 分 3 3

1 1 1? ? 3 3 3 3 则 cos ? u, v ?? ? ,所以二面角的余弦值为 ……………12 分 5 1 1 1 1 5 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3
【山东省潍坊一中 2012 届高三阶段测试理】 (本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABCDE 中, AE ? 面 ABC , DB // AE ,且 AC ? AB ? BC ? AE ? 1 , BD ? 2, F 为 CD 中点。 (Ⅰ)求证: EF ? 平面 BCD ; (Ⅱ)求多面体 ABCDE 的体积; (Ⅲ)求平面 ECD 和平面 ACB 所成的锐二面角的余弦值。

【答案】解: (Ⅰ)找 BC 中点 G 点,连接 AG,FG ∴F,G 分别为 DC,BC 中点

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// 1 DB // EA ∴FG ? ? 2 ∴四边形 EFGA 为平行四边形 ∴ EF // AG ∵AE ? 平面ABC, BD // AE

∴ DB ? 平面 ABC 又∵ DB ? 平面 BCD ∴平面 ABC ? 平面 BCD 又∵G 为 BC 中点且 AC=AB=BC ∴AG ? BC ∴AG ? 平面 BCD ∴EF ? 平面 BCD………………………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)过作 C 作 CH ? AB,则 CH ? 平面 ABDE 且 CH ? ∴ VC ? ABDE ? ? S四边形 ABDE ? CH ? ?
1 3

3 2

1 (1 ? 2) 3 3 ? 1? ? …………………………………7 分 3 2 2 4

(Ⅲ)以 H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则 c(
3 1 3 1 3 1 3 1 ,0,0), E(0, ? ,1), F( , ,1), ED(? , ? ,1),CF(? , ,1) …………………………8 分 2 2 4 4 2 2 4 4

设平面 CEF 的法向量为 n ? (x, y, z) ,
? ?CE ? n ? ? ? 由? ? CF ? n ? ? ? ? 3 1 x? y?z ? 0 2 2 3 1 x? y?z ? 0 4 4

得 n ? ( 3, ?1,1) ………………………………………… 10 分

平面 ABC 的法向量为 u ? (0,0,1) 则 cos(n, u) ?
n?u | n || u | ? 1 5 ? 5 5
5 ………………………………12 分 5

∴平面角 ECD 和平面 ACB 所成的锐二面角的余弦值为

【山东省烟台市 2012 届高三期末检测理】21.(本题满分 12 分) 如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称,?A ? 60? , ?C ? 90? , CD ? 2 , 把△ABD 沿 BD 折起(如图 2) ,使二面角 A―BD―C 的余弦值等于 3 。对于图
3

2,完成以下各小题: (1)求 A,C 两点间的距离; (2)证明:AC ? 平面 BCD; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值。 【答案】21.解: (1)取 BD 的中点 E,连接 AE,CE, 由 AB=AD,CB=CD 得, AE ? BD ,D, ? BD ,
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? ?AEC 就是二面角 A―BD―C 的平面角,? cos?AEC ?
在△ACE 中, AE ? 6,CE ? 2,

3 ??????1分 3

AC 2 ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE· CE穋os?AEC ? 6 ? 2 ? 2? 6 ? 2 ? 3 ? 4,? AC ? 2????3分 3

(2)由 AC=AD=BD=2 2 ,AC=BC=CD=2,

? AC 2 ? BC 2 ? AB2,AC 2 ? CD 2 ? AD2, ? ?ACB ? ?ACD ? 90? ???? 4分 ? AC ? BC,C, ? CD, 又BC ? CD ? C, ? AC ? 平面BCD??????6分
(3)以 CB,CD,CA 所在直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz,

0, 2),B (2,0,0),C(0,0,0), D(0,2,0).????7分 则 A(0,
? ?n ? AB ? 0 ?2 x ? 2 z ? 0 设平面ABD的法向量为n ? ( x, y, z ), 则? , 即? , 2 y ? 2z ? 0 ? ? n ? AD ? 0 ? 取x ? y ? z ? 1, 则n ? (1,1,1),????9分 于是AC与平面ABD所成角?的正弦为 sin ? ? n ? CA n // CA ? 0?0?2 3?2 ? 3 .??????12分 3

【山东省潍坊市寿光现代中学 2012 届高三 12 月段考理】18.某高速公路收费站入口处的 安全标识墩如图 4 所示, 墩的上半部分是正四棱锥 P—EFGH, 下半部分是长方体 ABCD—EFGH, 图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD⊥平面 PEG

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【答案】18.[解析](1)侧视图同正视图,如下图所示。 (2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH
2 2 (cm 2) = ? 40 ? 60 ? 40 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000

1 3

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO, 由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面 EFGH,∴PO⊥HF 又 EG⊥HF ∴HF⊥平面 PEG 又 BD∥HF ∴BD⊥平面 PEG 【山东省潍坊市寿光现代中学 2012 届高三 12 月段考理】20.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=A,AB=2,以 AC 的中 点 O 为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点 M。 (1)求证:平面 ABM⊥平面 PCD; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小;

【答案】20.(1)依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AM⊥MC。 又因为 PA⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 PAD,则 CD⊥AM,所以 AM⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥平面 PCD。 (2)如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) ,P(0,0,4) , B(2,0,0) ,C(2,4,0) ,D(0,4,0) ,M(0,2,2) ; 设平面 ACM 的一个法向量

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?2 x ? 4 y ? 0 n ? ( x, y, z ),由n ? AC, n ? AM可得:? , 令z ? 1, 则 ?2 y ? 2 z ? 0 n? ( 2,? 1, 1)。 设所求角为?, 则 sin ? ? CD · n CD n ? 6 。 3

所以所求角的大小为 arcsin

6 。 3

【山东省潍坊市寿光现代中学 2012 届高三 12 月段考理】21.如图,正方形 ABCD 所在平 面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角 三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=40° (1)求证:EF⊥平面 BCE; (2)设线段 CD、AE 的中点分别为 P、M,求证:PM∥平 面 BCE (3)求二面角 F—BD—A 的大小。 【答案】21.证明:因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,BC ? 平 面 ABCD,BC⊥AB,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB,所以 BC⊥平面 ABEF。 所以 BC⊥EF。 因为 ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 ? AEB=45°, 又因为 ? AEF=45, 所以 ? FEB=90°,即 EF⊥BE。 因为 BC ? 平面 ABCD,BE ? 平面 BCE, BC∩BE=B 所以 EF⊥平面 BCE (Ⅱ)取 BE 的中点 N,连结 CN,MN 则 MN //

1 AB //PC 2

∴PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN。 ∵CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内。 ∴PM//平面 BCE。 (Ⅲ)因△ABE 等腰直角三角形,AB=AE,所以 AE⊥AB 又因为平面 ABEF∩平面 ABCD=AB,所以 AE⊥平面 ABCD,所以 AE⊥AD 即 AD、AB、AE 两两垂直;如图建立空间直解坐标系, 设 AB=1,则 AE=1,B(0,1,0) ,D(1,0,0) ,

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1 1 ? FA ? FE, ?AEF ? 45?, ? ?AFE ? 90?, 从而F( 0,? , ) 2 2 设平面BDF的一个法向量为 n1 , 并设n1 ? (x , y, z) 3 1 BD ? (1,?1,0), BF ? (0,? , ) 2 2 x? y ?0 ? BD ? 0 ? ?n1 · ? 即? 3 ? 1 ? y ? z?0 ? n · BF ? 0 ? ? 1 2 ? 2 取y ? 1, 则x ? 1, z ? 3, 从而n1 ? ( 1, 1, 3) 取平面ABDD的一个法向量为 n2 ? ( 0, 0, 1) cos ? n1、 n2 ?? n1 · n2 n1 · n2 ? 3 3 11 ? 11 11· 1

3 11 故二面角F ? BD ? A的大小为arccos 11
【山东省潍坊市寿光现代中学 2012 届高三 12 月段考理】22.如图,四棱锥 S-ABCD 的底 面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。 (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE: EC 的值;若不存在,试说明理由。

【答案】22.解法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO⊥AC。 在正方形 ABCD 中,AC⊥BD,所以 AC⊥平面 SBD, 得 AC⊥SD。 (Ⅱ)设正方形边长 a,则 SD= 2a 。

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又 OD=

2 a ,所以 ? SOD=60°, 2

连 OP, 由 (Ⅰ) 知 AC⊥平面 SBD, 所以 AC⊥OP, 且 AC⊥OD, 所以 ? POD 是二面角 P-AC-D 的平面角。由 SD⊥平面 PAC,知 SD⊥OP,所以 ? POD=30°, 即二面角 P-AC-D 的大小为 30°。 (Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE//平面 PAC 由(Ⅱ)可得 PD=

2 a ,故可在 SP 上取一点 N,使 PN=PD,过 N 作 PC 的平行线与 SC 4

的交点即为 E。连 BN。在△BDN 中知 BN//PO,又由于 NE//PC,故平面 BEN//平面 PAC,得 BE// 平面 PAC,由于 SN:NP=2:1,故 SE:EC=2:1。 解法二: (1)连 BD,设 AC 交于 BD 于 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD, 以 O 为坐标原点, OB, OC, OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向, 建立坐标系 O-xyz 如图。设底面边长为 a,则

6 6 2 2 a,? s(0,0, a ) D( ? a,0,0)C (0, a,0) 2 2 2 2 2 2 6 OC ? (0, a,0) SD ? (? a,0,? a) ? OC· SD ? 0 ? OC ? SD即AC ? SD 2 2 2 SO ?
(2)由题意知面 PAC 的一个法向量为
DS ? ( 2 6 6 DS· DS 3 a,0, a)面DAC的一个法向量为 DS ? (0,0, a)设二面角为?, 则ax? ? ? 2 2 2 2 DS DS

?二面角的大小为 30?

(3)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE//面 PAC 由(2)知 DS 为面 PAC 的一个法向量,且 DS ? (

2 6 a,0, a) 设 E(x,y,z) 2 2

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? CE ? t CS ? ( x, y ?

2 2 6 a, z ) ? t (0,? a, a) 2 2 2

? ?x ? 0 ? 2 2 2 6 ? ??y ? a? at ? E (0, a (1 ? t ), ) 2 2 2 2 ? ? 6 ?z ? 2 ? ? BE ? (? 2 2 6 a, a (2t ), at) 2 2 2

? BE· DS ? 0 1 6 ? ? a 2 ? a 2t ? 0 2 4 1 ?t ? 3 即当SE:E: ? 2:1时 BE ? DS, 而BE面PAC ? BE // 面PAC
【山东省潍坊市重点中学 2012 届高三 2 月月考理】 (本小题满分 12 分) 如图,已知矩形 ACEF 所在平面与矩形 ABCD 所在平面垂直, AB ? 2 , AD =1,

AF ? 1 , M 是线段 EF 的中点. (1)求证: CM // 平面 BDF ; (2)求二面角 A ? DB ? F 的正弦值; (3)求多面体 EFABCD 的体积. 【答案】19.解: (1)连接 A C 交 BD 于点 O ,连接 OF, 在矩形 ACEF 中, M 为中点,? CM / / OF , ………
2 分

CM ? 平面BDF , OF ? 面BDF , ? CM / / 平面
……… 4 分 (2)由题设易知 CE ? 面 ABCD ,? CE ? CD , CE ? BC , 则建立如图所示的空间直角坐标系,

BDF .

? D( 2,0,0), B(0,1,0), F ( 2,1,1) ……………… 5 分

? DB ? ? 2,1,0 , DF ? (0,1,1) ,
设平面 DBF 的一个法向量为 n ? ( p, q, r ) , 则?

?

?

? ?n ? DB ? 0

? ?? 2 p ? q ? 0 ?? ? ?n ? DF ? 0 ?q ? r ? 0 ?

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取 p ? 1, q ? 2, r ? ? 2 ,得平面 DBF 的一个法向量为 n ? (1, 2, ? 2) , ……8 分 平面 ABD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) , 设二面角 A ? DB ? F 为 ? ,则

| cos ? |?|

n1 ? n n1 ? n
15 . 5

|?

2 1? 5

?

10 , 5

………………… 9 分

? sin ? =

………………… 10 分

(3)过点 B 在面 ABCD 内作 BH 垂直于 AC 于点 H ,则 BH ? 面 ACEF , 即 BH 的大小为四棱锥 B - ACEF 的高, BH =

1? 2 6 = , 3 3
…………… 12 分

1 6 2 2 = . ? V ? 2 ? ? 1? 3 ? 3 3 3

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