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哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学(文)试题


东北四校 2012 届第一次高考模拟考试

数 学 试 题(文)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考 试时间 120 分钟。 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚; 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工 整,字迹清楚; 3

.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草 稿纸、试 题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。 参考公式:圆锥侧面积 S ? ? rl

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的) 1.集合 ? x ? N |
*

? ?

12 ? ? Z ? 中含有的元素个数为 x ?
( ) B.6 C.8 D.12

A.4 2.已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 2 ? k 2k ? 1
( ) C. (1, 2) D. ?

A. ? , 2 ?

?1 ?2

? ?

B. (1, ??)

?1 ? ,1? ?2 ?

3.已知平面向量 a 和 b,|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 120? ,则 | 2a ? b | 等于 ( )

A.2

B.4

C. 2 5

D.6

4.某程序框图如右图所示,则输出的结果是 ( ) A.46 B.45

C.44

D.43

5. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,右图是据 北京某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM 2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米) 列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 ( ) A.甲乙相等 B.甲 C.乙

D.无法确定

6.下列有关命题的说法中,正确的是 ( ) A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1”
2 2

B. x ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “
2

C.命题“ ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 都有x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.命题“若 ? ? ? , 则 tan ? ? tan ? ”的逆命题为真命题 7.若曲线 y ? x 在点 (a, a )(a ? 0) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 2,则 a
2 2

等于 ( )

A.2

B.4

C. 2

D. 3 4

8.已知函数 f ( x) ? ?2sin(2 x ? ? ) (| ? |? ? ) ,若 f ( ) ? ?2 ,则 f ( x) 的一个单调递增区

?

8

间可以是 ( A. [? )

? 3?
8 8 ,

]

B. [

5? 9? , ] 8 8

C. [?

3? ? , ] 8 8

D. [

? 5?
8 , 8

]

9.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,则 该几何体的表面积是 ( ) A. 12? B. 14? C. 16? D. 28?

10.过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于 A,B 两点,设双曲线的左顶 点 M,若点 M 在以 AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率 e 的取值范围为 ( ) A. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

B. ? 1, ?

? 3? ? 2?

C. (2, ??)

D. (1,2)

11.已知长方形 ABCD 中,AB=4,BC=1,M 为 AB 的中点,则在此长方形内随机取一点 P,P 与 M 的距离小于 1 的概率为 ( ) A.

? 4

B.1-

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

?
8

12.已知 f ( x ) ? ?

? a ? x 2 ? 4 x ( x ? 0) ? f ( x ? 2)( x ? 0)
( )

,且函数 y ? f ( x) ? 2 x 恰有 3 个不同的零点,则实数

a 的取值范围是 A. ? ?8, ?? ? B. ? ?4, ?? ? D. (0, ??)

C.[-4,0]

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上。 13.已知 i 为虚数单位,则复数

14. 已知圆 C 过点 A (1, 和 B 0) (3, , 0) 且圆心在直线 y ? x 上, 则圆 C 的标准方程为 15 . 给 出 下 列 不 等 式 : 1 ?

1 ? 3i 的虚部是 3?i

。 。

1 1 1 1 1 3 1 1 1 ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ? 2 , 2 3 2 3 7 2 2 3 15


1 1 1 5 1 ? ? ? ? ? ? ,?,则按此规律可猜想第 n 个不等式为 2 3 31 2

16.在 ?ABC 中, A ? 30?, BC ? 2 5, D 是 AB 边上的一点,CD=2, ?BCD 的面积为 4, 则 AC 的长为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等比数列, a1 ? 1, a4 ? 27.Sn 为等差数列 {bn } 的前 n 项和,b1 ? 3, S5 ? 35. (1)求 {an }和{bn }的通项公式; (2)设 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ,求 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是正三角形,侧面 ABB1A1 是边长为 2 的菱形,且

?A1 AB ? 60? ,M 是 AB 的中点, MA1 ? AC.
(1)求证: MA1 ? 平面 ABC; (2)求点 M 到平面 AA1C1C 的距离。

19. (本小题满分 12 分) 哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客, 现准备在景区内开设经营热饮等食品的 店铺若干。根据以往对 500 名 40 岁以下(含 40 岁)人员和 500 名 40 岁以上人员的统 计调查,有如下一系列数据:40 岁以下(含 40 岁)人员购买热饮等食品的有 260 人, 不购买热饮食品的有 240 人;40 岁以上人员购买热饮等食品的有 220 人,不购买热饮 等食品的有 280 人,请根据以上数据作出 2 ? 2 列联表,并运用独立性检验思想,判断 购买热饮等食品与年龄(按上述统计中的年龄分类方式)是否有关系? 注:要求达到 99.9%的把握才能认定为有关系。

s 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 M 的中心为坐标原点,且焦点在 x 轴上,若 M 的一个顶点恰好是抛物线

y 2 ? 8 x 的焦点,M 的离心率 e ?
M 于 A,B 两点。 (1)求椭圆 M 的标准方程;

1 ,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l ,交 2

(2)设点 N(t,0)是一个动点,且 ( NA ? NB) ? AB ,求实数 t 的取值范围。

??? ??? ? ?

??? ?

21. (本小题满分 12 分) 设 二 次 函 数 f ( x) ? mx ? nx , 函 数 g ( x) ? ax ? bx ? 3( x ? 0) , 且 有
2 3

f ' ( 0 ) f 0 , ? ? (, 1 (1) ? g (1), f '(1) ? g '(1). ? ? ' f ) 2
(1)求函数 f ( x), g ( x) 的解析式;

(2)是否存在实数 k 和 p,使得 f ( x) ? kx ? p和g ( x) ? kx ? p 成立,若存在,求出 k 和 p 的值;若不存在,说明理由。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,? O1与 ? O2 相交于 A、 两点, 是 ? O2 的直径, A 点作 ? O1 的切线交 ? O2 B AB 过 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与 ? O1 、 ? O2 交于 C,D 两点。 求证: (1)PA·PD=PE·PC; (2)AD=AE。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 L : ? sin ? ? 2cos ? ,过点 A(5,α ) 为锐角且 tan ? ? (α
2

作平行于 ? ?

?
4

3 ) 4

( ? ? R) 的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点。

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角 坐标系,写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (2)求|BC|的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2 x ? 1| ? | x ? 1|? log 2 a (其中 a ? 0 ) 。 (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围。

参考答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 D 9 C 10 C 11 C 12 B

二、填空题: 13. ? 1 14. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 15.1 ?

1 1 1 n ?1 ? ? ? ? n ?1 ? 2 3 2 ?1 2

16. 2 2 或

4
三、解答题: 17.(Ⅰ) a n ? 3 n ?1 , (3 分) (6 分)

bn ? 2n ? 1 .
(Ⅱ) Tn ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? ? 3n ?2 ? ?2n ? 1? ? 3 n ?1 ①

3Tn ?

3 ? 3 ? 5 ? 32 ? ? ? ?2n ? 1? ? 3n?1 ? ?2n ? 1? ? 3n ②

①-②得: ? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ?1 ? ?2n ? 1? ? 3n 整理得:Tn ? n ? 3n 18.(Ⅰ)∵侧面 ABB1 A1 是菱形, 且 ?A1 AB ? 60 ,∴ ?A1 AB 为正三角形.
o

?

?

(9 分) (12 分)

C1 A1

又∵点 M 为 AB 的中点,∴ A1M ? AB , 由已知 A1M ? AC ,∴ A1M ? 平面 ABC .(4 分)

B1

O
(Ⅱ)作 ME ? AC 于 E , 连接 A1E , 作 MO ? A1E 于 O ,
A
E

C

E
M B

由已知 A1M ? AC , 又∵ ME ? AC ,∴ AC ? 面 A1ME , 由 MO ? 面 A1ME , 得 AC ? MO ,

∵ MO ? A1E ,且 A1E ? 面A1 ACC1 , A1E ? AC ? E ,∴ MO ? 面 A1 ACC1 , 于是 MO 即为所求, ∵菱形 ABB1 A1 边长为 2,易得 ME ? (8 分)

15 3 , A1M ? 3 , A1 E ? , 2 2
(12

∴ MO ? 分) 19. 由题得列联表:

15 . 5

购买 热饮等食品 40 岁以下 41 岁以上 总计 260 220 480

不购买 热饮等食品 240 280 520
2

总计 500 500 1000 (4 分) (10

K2 ?

1000 ? 260 ? 280 ? 220 ? 240 ? 500 ? 500 ? 480 ? 520

? 6.410 ? 10.828

分) 所以没有 99.9%的把握认定为有关系.

(12 分) (4 分)

x2 y2 20.(Ⅰ)椭圆 M 的标准方程: ? ?1 4 3
(Ⅱ)设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? ,设 l : x ? my ? 1 ?m ? R, m ? 0?

? x ? my ? 1 ? 2 ? ?3m 2 ? 4?y 2 ? 6my ? 9 ? 0 y2 ?x ? 4 ? 3 ?1 ?
由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ?

6m 3m 2 ? 4



(6 分)

( NA ? NB) ? AB ? NA ? NB ?

?x1 ? t ?2 ? y12 ? ?x2 ? t ?2 ? y 2 2 ?
?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? 2t ? ? ?y12 ? y 2 2 ? ? 0

将 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my 2 ? 1 代入上式整理得:

? y1 ? y2 ???m 2 ? 1?? y1 ? y2 ? ? m?2 ? 2t ?? ? 0 ,由 y1 ? y 2 知

?m

2

将①代入得 t ? ? 1 ? y1 ? y 2 ? ? m?2 ? 2t ? ? 0 ,

?

1 3m ? 4
2

(10 分)

所以实数 t ? ? 0, ? 分) 21. (Ⅰ)? f ?( x) ? 2mx ? n , g ?( x) ? 3ax 2 ? b ,

? ?

1? 4?

(12

? f ?(0) ? n ? 0 , f ?(?1) ? ?2m ? n ? ?2m ? ?2 ,即 m ? 1, n ? 0 ,
? f ( x) ? x 2 .
(2 分)

? f (1) ? g (1) ,?1 ? a ? b ? 3 .? f ?(1) ? g ?(1) , ? 2 ? 3a ? b ,
解得 a ? ?1, b ? 5 ,? g ( x) ? ? x 3 ? 5 x ? 3 ( x ? 0 ) . 分) (Ⅱ)令 f ( x) ? g ( x) ,可得 x 2 ? ? x3 ? 5x ? 3 ( x ? 0 ) . (法一) x 3 ? x 2 ? 5x ? 3 ? 0 , ( x 3 ? x) ? ( x 2 ? 4 x ? 3) ? 0 , (4

x( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 , ( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0 ,
( x ? 1) 2 ( x ? 3) ? 0 ,? x ? 0 ,?x ? 1 ,
即 f (x) 与 g (x) 有且仅有一个交点为 (1,1) ,

f (x) 在点 (1,1) 处的切线为 y ? 2x ? 1 .
(法二)设 h( x) ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 3 ( x ? 0 ) ,

(8 分)

h?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1)(3x ? 5) ( x ? 0 ) ,
令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 , 且 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 , h(x ) 单调递减,

x ? (1,??) 时, h?( x) ? 0 , h(x ) 单调递增, ? x ? (0,??) 时, h( x) ? h(1) ? 0 .
所以, f (x) 与 g (x) 有且仅有一个交点为 (1,1) .

f (x) 在点 (1,1) 处的切线为 y ? 2x ? 1 .
分) 下面证明 g ( x) ? 2 x ? 1 . 设 p ( x) ? 2 x ? 1 ? g ( x) ? x 3 ? 3x ? 2 ( x ? 0 ) , (法一) x 3 ? 3x ? 2 ? x 3 ? x ? 2 x ? 2 ? x( x ? 1)( x ? 1) ? 2( x ? 1)

(8

? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 2) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 2)

? x ? 0 ,? p( x) ? x 3 ? 3x ? 2 ? 0 ,即 g ( x) ? 2 x ? 1 .
(法二) p?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,令 p?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 且 x ? (0,1) 时, p?( x) ? 0 , p (x) 单调递减,

(12 分)

x ? (1,??) 时, p?( x) ? 0 , p (x) 单调递增, ? x ? (0,??) 时, p( x) ? p(1) ? 0 ,即 g ( x) ? 2 x ? 1 .
22.(Ⅰ)? PE、PB 分别是⊙ O2 的割线∴ PA ? PE ? PD ? PB
2

(12 分) (2 分)

1 ○ 2 ○

又? PA、PB 分别是⊙ O1 的切线和割线∴ PA ? PC ? PB 由○ ,○ 得 PA ? PD ? PE ? PC 1 2 (Ⅱ)连结 AC 、 ED , 设 DE 与 AB 相交于点 F ∵ BC 是⊙ O1 的直径,∴ ?CAB ? 90? ∴ AC 是⊙ O2 的切线. (6 分)
P

(4 分) (5 分)
E

A

F
C D O1

O2 B

由(Ⅰ)知

PA PC ,∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ DE , ?CAD ? ?ADE (8 分) ? PE PD

又∵ AC 是⊙ O2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED 又 ?CAD ? ?ADE ,∴ ?AED ? ?ADE ∴ AD ? AE (10 分)

23.(Ⅰ)由题意得,点 A 的直角坐标为 ?4,3? 曲线 L 的普通方程为: y ? 2 x
2

(1 分) (3 分) (5 分)

直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 )C( x 2 , y 2 )

? y 2 ? 2x ? ?y ? x ?1

联立得 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

由韦达定理得 x1 ? x 2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1 由弦长公式得 BC ? 1 ? k 24.(Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? 2 ,
2

(7 分) (10 分)

x1 ? x 2 ? 2 6

1 1 x ? ? 时, ? x ? 2 ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ? 2 2 1 1 2 ? ? x ? 1 时, 3x ? 2 ,得 ? ? x ? 2 2 3 x ? 1时, x ? 0 ,此时 x 不存在
∴不等式的解集为 ? x ? 4 ? x ?

(1 分) (2 分) (3 分) (5 分)

? ?

2? ? 3?

? ?? x ? 2, ? ? (Ⅱ)∵设 f (x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?3 x, ? ? x ? 2, ? ?

x?? ?

1 2

1 ? x ?1 2 x ?1

故 f (x) ? ??

3 ? 3 ? ,?? ? ,即 f (x) 的最小值为 ? 2 ? 2 ? 3 2

(8 分)

所以 f ( x) ? log 2 a 有解,则 log 2 a ? ? 解得 a ?

? 2 ? 2 ,?? ? ,即 a 的取值范围是 ? ? 4 ? 4 ?

(10 分)


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