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贵州省七校联盟2015届高三第一次联考(1月)数学(文)试题


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秘密★考试结束前 【考试时间:1 月 3 日 14:30—16:30 】

贵州省七校联盟 2015 届高三第一次联考试卷
文科数学
命题学校:清华中学 联考学校:贵阳六中 清华中学 遵义四中 凯里一中 都匀一中 都匀二中 安顺一中 本试卷分为第

I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分, 考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号,并将条形码粘 贴在指定位置。 2.选择题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

第I卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1. 已知集合 A= ?0,1, 2,3, 4? ,B ? x x ? A.5 2. B.6

?

n, n ? A 则 A
C.7

?

B 的真子集个数为(
D.8 )



m-2i 复数 Z= ( m ? R, i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在( 1+2i
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2 2

3.

已知双曲线 x ? my ? 1 的虚轴长是实轴长的两倍,则实数 m 的值是( A.4 C. B. -



1 4

1 4

D.-4

4.

如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助 作用) ,则四面体 ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形) ( )

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A.①②⑥ 5.

B.①②③

C.④⑤⑥

D.③④⑤

设直角三角形的直角边长 x,y 均为区间 ? 0,1? 内的随机数,则斜边长小于 ( A. )

3 的概率为 4

9? 64

B.

9 64

C.

9? 16

D.

9 16

6.

已知函数 f ? x? 的图像如图所示,则 f ? x? 的解析式可以是 ( )

A. f ? x ? ? C. f ? x ? ?

ln x x
1 ?1 x2

B. f ? x ? ?

ex x
1 x

D. f ? x ? ? x ?

7.

在 ?ABC 中, AB ? 4, ?ABC ? 30 , D 是边 BC 上的一点,且
0

AD ? AB ? AD ? AC 则 AD ? AB 的值为(
8. A.0 B.4 以下四个命题中,真命题的个数是( )

) C.8 D.-4

①“若 a ? b ? 2 则 a, b 中至少有一个不小于 1”的逆命题。 ②存在正实数 a, b ,使得 lg ? a ? b ? ? lg a ? lg b ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数” 。 ④在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的充分不必要条件。 A.0 B.1 C.2 9.

D.3

已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则

?? ? sin ? 2? ? ? 的值为( 4? ?
A. ?



7 2 10 2 10

B.

7 2 10
D.

C. ?

2 10


10. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( A.-1 B.1 C.-2 D.2

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11. 一个平行四边形的三个顶点的坐标为 ? ?1, 2 ? , ? 3, 4 ? , ? 4, ?2 ? , 点 ? x, y ? 在这个平行四边 形的内部或边上,则 z ? 2 x ? 5 y 的最大值是( A.16 B.18
2

) D.36

C.20

12. 已知圆 C 的方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 , P 是椭圆 切点为 A、B,则 PA ? PB 的取值范围为( A. ? , ?? ?

x2 y 2 过 P 作圆的两条切线, ? ? 1 上一点, 4 3
) B. ? 2 2 ? 3, ??

?3 ?2

? ?

?

?

C. ? 2 2 ? 3,

? ?

56 ? 9? ?

D. ? ,

? 3 56 ? ?2 9 ? ?

第 II


2? , 半径为 2, 则 ?ABC 的面积为 3

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知扇形 AOB ( ?AOB 为圆心角) 的面积为 ,

14. 某高中共有学生 1000 名, 其中高一年级共有学生 380 人, 高二年级男生有 180 人.如果 在全校学生中抽取 1 名学生,抽到高二年级女生的概率为 0.19,现采用分层抽样(按年 级分层)在全校抽取 100 人,则应在高三年级中抽取的人数等于 . 15. 已知椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 有相同的焦点 F,点 A 2 a b

是两曲线的交点,且 AF ? x 轴,则椭圆的离心率是

? 2 1 ?? x ? x ? x ? 0 ? 16. 已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? ex ?1 ? x ? 0? ?
的取值范围是 .

若函数 y ? f ? x ? ? kx 有 3 个零点,则实数 k

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 且

?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? b1 ? 1,

b3 S3 ? 36, b2 S 2 ? 8 ? n ? N ? ?

(1) 求 an 和 bn

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(2) 若 an ? an ?1 ,求数列 ? 18. (本小题满分 12 分)

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn ? an an ?1 ?

如 图 , 几 何 体 EF ? ABCD 中 , CDEF 为 边长 为 2 的 正 方 形 , ABCD 为 直 角梯 形 ,

AB / / CD , AD ? DC , AD ? 2 , AB ? 4 , ?ADF ? 90 .
E F

D A
(1)求证: AC ? FB (2)求几何体 EF ? ABCD 的体积.

C B

19. (本小题满分 12 分) 从某校高三年级学生中抽取 40 名学生,将他们高中学业水平考试的数学成绩(满分 100 分 , 成 绩 均 为 不 低 于 40 分 的 整 数 ) 分 成 六 段 :

? 40,50 ? , ?50, 60 ? ,

, ?90,100? 后得到如下图的频率

分布直方图。 (1) 若该校高三年级有 640 人,试估计这次学业水平 考试的数学成绩不低于 60 分的人数及相应的平均分; (2)若从 ? 40,50 ? 与 ?90,100? 这两个分数段内的学生中 随机选取两名学生, 求这两名学生成绩之差的绝对值不 大于 10 的概率。 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? (1) 当 a ? ?

a ?1 2 x ?1 2

1 ?1 ? 时,求 f ( x ) 在区间 ? ,e ? 上的最值; 2 ?e ?

(2) 讨论函数 f ? x ? 的单调性

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(3) 当 ?1 ? a ? 0 时,有 f ? x ? ? 1 ?

a ln ? ?a ? 恒成立求 a 的取值范围 2

21. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O , 左焦点为 F1 (?1, 0) 的椭圆 C 的左顶点为 A , 上顶点为 B , F1 到直线 AB 的距离为

7 | OB | . 7

y N

l

M O x

(1) 求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C1 方程为:

x2 y 2 , ? ? 1( m ? n ? 0 ) m2 n2

椭圆 C2 方程为:

x2 y 2 ,则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 ? 倍相似椭 ? ? ? ( ? ? 0 ,且 ? ? 1 ) m2 n2

N, 圆.已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆, 若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M 、
试求弦长 | MN | 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 5,⊙O1 和⊙O2 公切线 AD 和 BC 相交于点 D,A、B、C 为切点,直线 DO1 与⊙O1 与 E、 G 两点,直线 DO2 交⊙O2 与 F、H 两点。 (1)求证: ?DEF ~ ?DHG ;

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(2)若⊙O1 和⊙O2 的半径之比为 9:16,求

DE 的值。 DF

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

已知在一个极坐标系中点 C 的极坐标为 ? 2,

? ?

??

? 。 3?

(1)求出以 C 为圆心,半径长为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形

(2)在直角坐标系中,以圆 C 所在极坐标系的极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角 坐标系,点 P 是圆 C 上任意一点, Q 5, ? 3 运动时,求点 M 的轨迹的普通方程。

?

?

, M 是线段 PQ 的中点,当点 P 在圆 C 上

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? 1 。 (Ⅰ)当 a ? 3 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集;

(Ⅱ)若 f ? x ? ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。

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贵州省六校联盟 2015 届高三第一次联考试卷 (文科数学)参考答案及评分细则
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 题 号 答 案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13、 3 14、
25 15、 2 ? 1 16、 ?1, ?? ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0 A 1

1 2 C

1

C

A

B

B

A

A

B

C

D

C

三、解答题: (

共 70 分。 )

17、解: (1)由题意 ? ?

2 ? ?d ? 2 ?d ? ?? 或? 3 ? q ?2 ? d ? ? 8 ?q ? 2 ? q ? 6 ? ? ?q 2 ? 3 ? 3d ? ? 36

3分

所以 an ? 2n ? 1或an ?

1 ? 5 ? 2n ? 3

bn ? 2n ?1 或 bn ? 6n ?1

6分 8分 10 分

(2)若 an ? an ?1 ,由(1)知 an ? 2n ? 1 ,

?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ? 1? ? ? 1 1 ? n ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ? 1? ? ? 2n ? 1?

1? 1 1 1 ?Tn ? ? 1? ? ? ? 2? ? 3 3 5

12 分

18、 (1)证明:由题意得, AD ? DC , AD ? DF ,且 DC DF ? D , ∴ AD ? 平面 CDEF , ∴ AD ? FC , ??????2 分 ∵四边形 CDEF 为正方形. ∴ DC ? FC 由 DC AD ? D ∴ FC ? 平面ABCD ∴ FC ? AC ??????4 分

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又∵四边形 ABCD 为直角梯形, AB
2

CD , AD ? DC , AD ? 2 , AB ? 4

∴ AC ? 2 2 , BC ? 2 2 则有 AC ? BC 2 ? AB 2 ∴ AC ? BC 由 BC FC ? C ∴ AC ? 平面FCB ∴ AC ? FB ?????6 分 (2)连结 EC ,过 B 作 CD 的垂线,垂足为 N , F E 易见 BN ? 平面 CDEF ,且 BN ? 2 .????8 分 ∵ VEF ? ABCD ? VE ? ABCD ? VB ? ECF ?????9 分
D

1 1 16 ? S△ABCD ? DE ? S△EFC ? BN ? 3 3 3 16 ∴ 几何体 EF ? ABCD 的体积为 3
解法二: (传统几何法)略

?????11 分 ????12 分

C A B

N

19、 (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .

??????????1 分

解得 a ? 0.03 . ???????????????????????????2 分 根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .??3 分 由于高三年级共有学生 640 人,可估计该校高三年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人. ???????????????4 分 可估计不低于 60 分的学生数学成绩的平均分为: 45× 0.05 +55× 0.1 +65× 0.2 +75× 0.3 +85× 0.25 +95× 0.1 =74 ??????6 分

50 ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人, (2)解:成绩在 ? 40 ,
成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人, 分 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 15 种 分

?????? 7 分

??????????????8 ??????? 9

50 ? 分数段内或都在 ?90 , 100? 分数段内, 如果两名学生的数学成绩都在 ? 40 , 那么这两名学
50 ? 分数段内, 生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40 , 另一个成绩

100? 分数段内, 在 ?90 , 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. ???
分 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 7 种 分 所以所求概率为 P ? M ? ? 分 20、解: (1)当 a ? ? ??

10 11

7 . 15

?????????????????????12

1 1 x2 ?1 x x2 ?1 时, f ( x) ? ? ln x ? ------1分 ? 1 ,∴ f ?( x) ? ? ? 2 2 4 2x 2 2x
------------------2 分

∵ f ( x) 的定义域为 (0,??) ,∴由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 .

∴ f ( x) 在区间 [ , e] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到, 而 f (1) ?

1 e

1 e

5 1 3 1 1 e2 , f ( ) ? ? 2 , f (e) ? ? , 4 e 2 4e 2 4

-----------------3 分

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∴ f ( x) max ? f (e) ?

1 e2 5 . ? , f ( x) min ? f (1) ? 2 4 4

-----------------4 分

(a ? 1) x 2 ? a (2) f ?( x) ? ,x ? (0, ??) . x
①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;-------------5 分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递增; 分 ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x 2 ? 分 ∴ f ( x) 在 ( 分 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递增; 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 ( ----------------6

?a ,? x ? a ?1

?a 或 x ? ? ? a (舍去)---7 a ?1 a ?1

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减; a ?1 a ?1

------------------8

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减. a ?1 a ?1
---------------9 分

当 a ? ?1 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递减; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 ? 1 ? a ? 0 时, f min ( x) ? f (

?a ) a ?1
---------------------10 分

即原不等式等价于 f (

?a a ) ? 1 ? ln(?a) a ?1 2

即 a ln ∴a ?

?a a ? 1 ?a a ? ? ? 1 ? 1 ? ln(? a) a ?1 2 a ?1 2
1 ? 1, e

整理得 ln(a ? 1) ? ?1 ---------------------11 分

又∵ ? 1 ? a ? 0 ,所以 a 的取值范围为 ?

?1 ? ? 1, 0 ? . ?e ?

------------------12 分

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21、解:(1)设椭圆 C1 方程为: 所以直线 AB 方程为:

x2 y 2 , ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2
x y ? ? 1 ??????????????????1 分 ?a b

∴ F1 (?1, 0) 到直线 AB 距离为 d ? 又 b2 ? a 2 ? 1, 解得: a ? 2 , b ? 3 故:椭圆 C1 方程为:

| b ? ab | a 2 ? b2

?

7 b ? a 2 ? b 2 ? 7(a ? 1) 2 ?? 2 分 7

??????????????????3 分 ??????????????????4 分

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????? 5 分 4 3

x2 y 2 (2) 椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为: ? ? 1 ????????????6 分 12 9
①若切线 m 垂直于 x 轴,则其方程为: x ? ?2 ,易求得 | MN |? 2 6 ??????7 分 ②若切线 m 不垂直于 x 轴,可设其方程为: y ? kx ? b 将 y ? kx ? b 代人椭圆 C1 方程,得: (3 ? 4k ) x ? 8kbx ? 4b ? 12 ? 0
2 2 2

∴ ? ? (8kb) ? 4(3 ? 4k )(4b ? 12) ? 48(4k ? 3 ? b ) ? 0 即b ? 4k ? 3 (*)?8 分
2 2 2 2 2 2 2

记 M 、 N 两点的坐标分别为 ( x1 , y2 ) 、 ( x2 , y2 ) 将 y ? kx ? b 代人椭圆 C2 方程,得: (3 ? 4k ) x ? 8kbx ? 4b ? 36 ? 0 ?????9 分
2 2 2

此时: x1 ? x2 ? ?

4 3(12k 2 ? 9 ? b 2 ) 4b 2 ? 36 8kb , x x ? ? | x ? x | ? 1 2 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?11 分



| MN |? 1 ? k 2 ?

4 3(12k 2 ? 9 ? b 2 ) 1? k 2 1 ?11 分 ? 4 6 ? 2 6 1? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2

∵ 3 ? 4k 2 ? 3

∴1 ? 1 ?

1 4 ? 2 3 ? 4k 3



2 6 ? 2 6 1?

1 ?4 2 3 ? 4k 2

综合①②,得:弦长 | MN | 的取值范围为 [2 6, 4 2] .???????????????12 分 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 (1)证明:∵AD 是两圆的公切线,

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2

∴AD =DE×DG,AD =DF×DH, ∴DE×DG= DF×DH, ∴

2

DE DF , ? DH DG

又∵∠EDF=∠HDG, ∴△DEF∽△DHG。?????????4 分 (2)连结 O1 A,O2A,∵AD 是两圆的公切线, ∴O1A⊥AD,O2A⊥AD, ∴O1O2 共线, ∵AD 和 BC 是⊙O1 和⊙O2 公切线,DG 平分∠ADB, DH 平分∠ADC, ∴DG⊥DH,∴AD2= O1A×O2A,?????????8 分 设⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 9x 和 16x,则 AD=12x, ∵AD2=DE×DG,AD2=DF×DH, ∴144x2=DE(DE+18x) ,144x2=DF(DF+32x) ∴DE=6x,DF=4x,∴

A

C

DE 3 ? 。?????????10 分 DF 2

O

23.解:(1)如图,设圆 C 上任意一点 A ? ? , ? ? , 则?AOC ? ? ? 由余弦定理得: 4+? 2 -4 cos ? ? 作图………….5 分 (2) 在 直 角 坐 标 系 中 , 点 C 的 坐 标 为 1, 3

?

3



?
3

??

?2 分

? ?

??

? =4 3?

∴ 圆 C 的极坐标方程 ? =4 cos ? ? ?

? ?

??

? ?4 分 3?

?

?

,可设 圆 C 上任意一 点

P 1 ? 2 cos ? , 3 ? 2sin ?

?

? ?
………….7 分

又令 M ? x, y ? 由 Q 5, ? 3 , M 是线段 PQ 的中点

?

6 ? 2 cos ? ? x? ? ? x ? 3 ? cos ? ? 2 ∴M 的参数方程为: ? ?? ? y ? sin ? ? y ? 2sin ? ? ? 2
∴点 M 的轨迹的普通方程为: ? x ? 3? ? y 2 ? 1 …
2

??为参数 ?
……….10 分

………….9 分

24. 试题分析: ( Ⅰ ) 将 a = 3 代入解绝对值不等式

即可; ( Ⅱ ) 由题知

恒成立令 试题解析:(Ⅰ) 时,即求解

,画出图象求解.

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①当

时,

②当

时,

③当

时,

综上,解集为 (Ⅱ)即 恒成立



则函数图象为

,


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