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2015年高考数学模拟试题及答案

时间:2014-09-25


2015 年高考数学模拟试题及答案
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。第一卷 1 至 2 页,第二卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。考试时间 120 分钟。

第一卷(选择题
注意事项:

共 60 分)

1. 作答第一卷前,请考生务必将自己的姓名、考试证号

用书写黑色字迹的 0.5 毫米的签字 笔填写在答题卡上,并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否正确。 2. 第一卷答案必须用 2B 铅笔填涂在答题卡上,在其他位置作答一律无效。每小题选出答 案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 它答案标号。 参考公式: 三角函数的和差化积公式

sin a ? sin b ? 2sin

a ?b a ?b cos 2 2 a ?b a ?b cos 2 2

sin a ? sin b ? 2cos

a ?b a ?b sin 2 2 a ?b a ?b sin 2 2

cos a ? cos b ? 2cos

cos a ? cos b ? ?2sin

若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,由它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k n?k Pn (k ) ? Ck n p (1 ? p)

一组数据 x1 , x2 ,

, xn 的方差 S 2 ?

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? n?

? ( xn ? x )2 ? ?

其中 x 为这组数据的平均值 一.选择题:本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1) 设集合 A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2, 3? , C ? ?2, 3, 4? ,则 ( A (A) ?1, 2, 3? (B) ?1, 2, 4?

B)

C?
(D) ?1, 2, 3, 4?

(C) ?2, 3, 4?

(2) 函数 y ? 21? x ? 3 ( x ? R) 的反函数的解析表达式为 (A) y ? log 2

2 x?3

(B) y ? log 2

x?3 2

(C) y ? log 2

3? x 2

(D) y ? log 2

2 3? x

(3) 在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 3 ,前三项的和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? (A) 33 (B) 72 (C) 84 (D) 189

(4) 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB ? 2 , AA1 ? 1 ,则点 A 到平面 A1 BC 的距离为
S 数学试题 第 1 页(共 4 页)

(A)

3 4

(B)

3 2

(C)

3 3 4

( D) 3

(5) △ABC 中, A ?

p , BC ? 3 ,则 △ABC 的周长为 3 p p (A) 4 3sin( B ? ) ? 3 (B) 4 3sin( B ? ) ? 3 3 6 p p (C) 6sin( B ? ) ? 3 (D) 6sin( B ? ) ? 3 3 6

(6) 抛物线 y ? 4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 (A)

17 16
9.4 9.4

(B)

15 16
8.4 9.7

(C)

7 8
9.9

( D) 0

(7) 在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下: 9.4 9.6

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 (A) 9.4,0.484 (B) 9.4,0.016 (C) 9.5,0.04 (D) 9.5,0.016 (8) 设 a 、 b 、 g 为两两不重合的平面, l 、 m 、 n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若 a ? g , b ? g ,则 a // b ; ② 若 m ? a , n ? a , m // b , n // b ,则 a // b ; ③ 若 a // b , l ? a ,则 l // b ; ④ 若a b ? l ,b g ? m,g 其中真命题的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 ( D) 4 (9) 设 k ? 1, 2, 3, 4, 5 ,则 ( x ? 2)5 的展开式中 xk 的系数不可能 是 ... (A) 10 (10) 若 sin( ? a ) ? (B) 40 (C) 50 (D) 80

a ? n , l // g ,则 m // n .

1 2p ,则 cos( ? 2a ) ? 3 3 7 1 1 (B) ? (C) ( D) 9 3 3 2 2 x y (11) 点 P (?3,1) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a ? (2, ?5) 的光线, a b 经过直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为
3 2 1 1 (B) (C) ( D) 3 2 2 3 (12) 四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在
(A) 同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的.现打 算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种 数为 (A) 96 (B) 48 (C) 24 ( D) 0

p 6 7 (A) ? 9

S

数学试题

第 2 页(共 4 页)

第二卷(非选择题
注意事项:

共 90 分)

请用书写黑色字迹的 0.5 毫米的签字笔在答题卡上指定区域内作答,在试题卷上作答一律无 效。

二.填空题:本大题共有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填写在答题卡相应位置上. (13) 命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为 (14) 曲线 y ? x3 ? x ? 1 在点 (1, 3) 处的切线方程是 (15) 函数 y ? log0.5 (4x2 ? 3x) 的定义域为 ▲ ▲ ▲ . ▲ . . .

(16) 若 3a ? 0.618 , a ? [k , k ? 1) , k ? Z ,则 k ?

(17) 已知 a 、 b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 , f (ax ? b) ? x2 ? 10 x ? 24 ,则 5a ? b ? ▲ .

(18) 在 △ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2 ,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值是 ▲ . 三.解答题:本大题共 5 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (19) (本小题满分 12 分) 如图圆 O1 与圆 O2 的半径都等于 1, O1O2 ? 4 .过动点 P 分别作圆 O1 、圆 O2 的切线 PM 、

PN ( M 、 N 分别为切点),使得 PM ? 2PN .试建立平面直角坐标系,并求动点 P 的轨 迹方程.

P M O1
(20) (本小题满分 12 分,每小问满分 4 分) 甲、乙各两人射击一次,击中目标的概率分别是

N O2

2 3 和 .假设两人射击是否击中目标,相 3 4

互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (Ⅰ) 求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中 目标的概率; ... (Ⅱ) 求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率;
S 数学试题 第 3 页(共 4 页)

(Ⅲ) 假设某人连续 2 次未击中 目标,则中止其射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击 ... 的概率是多少? (21) (本小题满分 14 分,第一小问满分 6 分,第二、第三小问满分各 4 分) 如图,在五棱锥 S ? ABCDE 中, SA ? 底面 ABCDE , SA ? AB ? AE ? 2 ,

BC ? DE ? 3 , ?BAE ? ?BCD ? ?CDE ? 120 .
(Ⅰ) 求异面直线 CD 与 SB 所成的角(用反三角函数值表示); (Ⅱ) 求证 BC ? 平面 SAB ; (Ⅲ) 用反三角函数值表示二面角 B ? SC ? D 的大 小(本小问不必写出解答过程).
S

A

E D

(22) (本小题满分 14 分,第一小问满分 4 分,第二小 问满分 10 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x2 | x ? a | . (Ⅰ) 当 a ? 2 时,求使 f ( x) ? x 成立的 x 的集合; (Ⅱ) 求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值.

B C

(23) (本小题满分 14 分,第一小问满分 2 分,第二、第三小问满分各 6 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , a2 ? 6 , a3 ? 11 ,且

(5n ? 8)Sn ?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B , n ? 1, 2, 3,
其中 A 、 B 为常数. (Ⅰ) 求 A 与 B 的值; (Ⅱ) 证明数列 ?an ? 为等差数列;



(Ⅲ) 证明不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数 m 、 n 都成立.

S

数学试题

第 4 页(共 4 页)

参考答案
一.选择题:本题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 题 答 解析: (1) ( A 号 案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 B 7 D 8 B 9 C 10 A 11 A 12 B

B) C ? ?1, 2?

?2, 3, 4? ? ?1, 2, 3, 4? .
2 ,因此 y ?3

(2) 由已知得, 21? x ? y ? 3 ,∴ 1 ? x ? log 2 ( y ? 3) , x ? 1 ? log 2 ( y ? 3) ,即 x ? log 2 所求的反函数为 y ? log 2

2 . x?3 (3) 设数列 ?an ? 的公比为 q (q ? 0) ,则 a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 21 ,∵ a1 ? 3 ,∴ q 2 ? q ? 6 ? 0 ,这个方
程的正根为 q ? 2 ,∴ a3 ? a4 ? a5 ? (a1 ? a2 ? a3 )q2 ? 21? 4 ? 84 . (4) 取 BC 的中点 M ,连结 AM 、 A1M ,可证平面 A1 AM ? 平面 A1 BC .作 AH ? A1M ,垂足 为 H ,则 AH ? 平面 A1 BC .在 Rt △A1 AM 中, AA1 ? 1 , AM ? 3 , A1M ? 2 ,∴

AH ?

3 . 2

(5) 由正弦定理得,

a b c p ,而 A ? , BC ? 3 ,∴ b ? 2 3 sin B , ? ? sin A sin B sin C 3

c ? 2 3 sin C ,∴

b ? c ? 2 3(sin B ? sin C ) ? 2 3[sin B ? sin(

2p p p p ? B)] ? 4 3 sin cos( B ? ) ? 6cos( B ? ) 3 3 3 3

p p ? 6sin( B ? ) .∴ a ? b ? c ? 6sin( B ? ) ? 3 . 6 6 1 1 1 (6) 抛物线的标准方程为 x2 ? y , F (0, ) ,准线方程为 y ? ? , M ( x0 , y0 ) ,则由抛物线 4 16 16 1 15 的定义得, 1 ? y0 ? ,即 y0 ? . 16 16 1 (7) 去掉一个最高分 9.9 和一个最低分 8.4 后,平均值为 x ? (9.4 ? 9.4 ? 9.6 ? 9.4 ? 9.7) ? 9.5 , 5 1 方差为 S 2 ? [(?0.1)2 ? (?0.1)2 ? (0.1)2 ? (?0.1)2 ? (0.2)2 ] ? 0.016 . 5
(8) 在四个命题中,①、②是假命题,③、④是真命题.
k k 2 ,其值分别为 1,10,40,80,80,32. (9) 在 ( x ? 2)5 的展开式中 xk 的系数为 C5

2p 2p p p 7 ? 2a ) ? ? cos[p ? ( ? 2a )] ? ? cos[2( ? a )] ? 2sin2 ( ? a ) ? 1? ? . 3 3 6 6 9 a2 (11)首先 ? 3 ,椭圆的左焦点 F (?c,0) 关于直线 y ? ?2 的对称点为 G (?c, ?4) ,则 PG // a ,由 c 3 . PG ? (3 ? c, ?5) , a ? (2, ?5) ,得 c ? 1 .故 a ? 3 ,离心率 e ? 3
(10) cos(
S 数学试题参考答案 第 1 页(共 5 页)

(12)记四棱锥为 P ? ABCD ,首先 PA, PB, PC, PD 必须存放在 4 个不同的仓库内,每个仓库内 不可能存放 3 种或 3 种以上的化工产品,所以每个仓库恰好存放 2 种化工产品,方案只有

?PA, BC? ,?PB, CD?,?PC, DA?,?PD, AB? 和 ?PA, CD? ,?PB, DA?,?PC, AB?,?PD, BC? 两种.
因此,安全存放的不同方法种数为 A4 4 ? 2 ? 48 . 二.填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 24 分.

1 2a ? 2b ? 1 .(14) 4 x ? y ? 1 ? 0 .(15) [? ,0) 4 (16) ?1 .(17)2. (18) ?2 .
(13)若 a ? b ,则 解析: (13)“若 p 则 q ”的否命题是“若 ?p 则 ?q ”.

3 ( ,1] . 4

(14) y? ? 3x2 ? 1 ,在点 (1, 3) 处的切线的斜率为 4,切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即

4x ? y ? 1 ? 0 .
(15)由 log0.5 (4 x2 ? 3x) …0 ,得 0 ? 4 x 2 ? 3x ? 1 ,解得, ? ? x ? 0 或 (16)∵

1 4

3 ? x? 1. 4

1 1 ? 0.618 ? 1 ,即 ? 3a ? 1 ,∴ ?1 ? a ? 0 .因此, k ? ?1 . 3 3

(17)对比 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) 和 f (ax ? b) ? ( x ? 4)( x ? 6) 可知, ax ? b ? x ? 3 或

ax ? b ? ? x ? 7 ,令 x ? ?5 ,得 5a ? b ? 2 .
(18) OA ? (OB ? OC ) ? OA ? 2OM ? ?2 OA ? OM …?2 ,当且仅当 O 为 AM 的中点时取等号. 三.解答题: (19)本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力.满分 12 分. 解:如图,以直线 O1O2 为 x 轴,线段 O1O2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则两圆心分别为 O1 (?2,0), O2 (2,0) .设 P( x, y ) , 则 PM 2 ? O1P2 ? O1M 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , 同理 PN 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 . ∵ PM ? 2PN , ∴ ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ? 2[( x ? 2)2 ? y 2 ? 1] , 即 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 33 . 所以动点 P 的轨迹方程为 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 33 .(或
M O1 O O2 N x y P(x, y)

x2 ? y 2 ? 12x ? 3 ? 0 )
S 数学试题参考答案 第 2 页(共 5 页)

(20)本小题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考查运用 概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)设事件 A ? {甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标}, 则 A ? {甲射击 4 次,全部击中目标}.

2 65 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ( )4 ? . 3 81
答:甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率为

65 . 81

(Ⅱ)事件 B ? {甲射击 4 次,恰好 2 次击中目标}, C ? {乙射击 4 次,恰好 3 次击中目标},
2 2 3 3 则 P( B ? C) ? P( B) ? P(C) ? C2 4 ( ) ( ) C4 ( ) ( ) ?

2 3

1 3

3 4

1 4

1 . 8 1 . 8

答:两人各射击 4 次,甲恰好 2 次击中目标且乙恰好 3 次击中目标的概率为

(Ⅲ)事件 D ? {乙恰好射击 5 次后,被中止射击}={乙射击 5 次,前 2 次至少 1 次击中目 标,第 3 次击中目标,后 2 次未击中目标}.

1 3 1 45 . P( D) ? [1 ? ( )2 ] ? ? ( )2 ? 4 4 4 1024
答:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率为

45 . 1024

(21)本小题主要考查异面直线所成角、线面垂直、二面角等基础知识以及空间线面位置关系的证 明、角和距离的计算,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分 14 分. 解:(Ⅰ)连结 BE ,由 BC ? DE ? 3 , ?BCD ? ?CDE ? 120 ,由图形的对称性可知, 四边形 BCDE 是等腰梯形, BE // CD , ∴ ?SBE 即为异面直线 CD 与 SB 所成的角. ∵ SA ? 平面 ABCDE , SA ? AB ? AE ? 2 , ∴ SA ? AB , SA ? AE , SB ? SE ? 2 2 . 在 △ABE , ∵ AB ? AE ? 2 , ?BAE ? 120 , ∴ BE ? 2 3 . 在 △SBE , ∵ SB ? SE ? 2 2 , BE ? 2 3 , ∴ cos ?SBE ?
B C A E D S

3 2 2

?

6 6 , ?SBE ? arccos . 4 4

6 . 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形 BCDE 是等腰梯形, △ABE 是等腰三角形, ∴五边形 ABCDE 是轴对称图形,
因此,异面直线 CD 与 SB 所成的角的 arccos
S 数学试题参考答案 第 3 页(共 5 页)

1 (540 ? 120 ? 120 ? 120 ) ? 90 ,即 BC ? AB . 2 又∵ SA ? 平面 ABCDE ,∴ SA ? BC .而 SA AB ? A ,
∴ ?ABC ? ?AEC ? ∴ BC ? 平面 SAB . (Ⅲ)二面角 B ? SC ? D 的大小为 p ? arccos

7 82 .(提示:作出二面角的平面角 82

?DFG .)
(22)本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想和分析推理能 力.满分 14 分. 解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x2 | x ? 2 | .方程 f ( x) ? x 即为

? x ? 2, ? x ? 2, ? x ? 0 或 x ?1? 2 或 x ?1 . 或? x2 | x ? 2 |? x ? x ? 0 或 ? 2 2 ? x ? 2 x ? 1 ?2 x ? x ? 1
因此,方程 f ( x) ? x 的解集为 0, 1, 1 ? 2 . (Ⅱ)首先 f ( x) ? x2 | x ? a |…0 恒成立. ①若 1 剟a

?

?

2 ,则在区间 [1, 2] 上,当 x ? a 时, f ( x) 取最小值 0;

②若 a ? 1 ,则在区间 [1, 2] 上, f ( x) ? x2 ( x ? a) , f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? x(3x ? 2a) ? 0 ,即

f ( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,其最小值为 f (1) ? 1 ? a ;
③若 a ? 2 ,则在区间 [1, 2] 上, f ( x) ? x2 (a ? x) , f ?( x) ? ?3x2 ? 2ax ? ?3x( x ? 若 2 ? a ? 3 ,则 f ( x) 在区间 [1,

2a ). 3

2a 2a ] 上是增函数,在区间 [ , 2] 上是减函数,其最小值 3 3

为 f (1) ? a ? 1 与 f (2) ? 4a ? 8 的较小者. ∵ f (1) ? f (2) ? 7 ? 3a , ∴若 2 ? a ? 若

7 ,则在区间 [1, 2] 上, f ( x) 的最小值为 f (2) ? 4a ? 8 ; 3

7 ? a ? 3 ,则在区间 [1, 2] 上, f ( x) 的最小值为 f (1) ? a ? 1 ; 3 若 a …3 ,则 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,其最小值为 f (1) ? a ? 1 .
综上所述,函数 y ? f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为

? f ( x)?min

?1 ? a, a ? 1 ?0, 1 剟a 2 ? ? ? ? 4a ? 8, 2 ? a ? 7 . 3 ? ? 7 ? a ? 1, a ? 3 ?
S 数学试题参考答案 第 4 页(共 5 页)

(23)本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法,考查思维能力、运算能力.满分 14 分. 解:(Ⅰ)由 a1 ? 1 , a2 ? 6 , a3 ? 11 ,得 S1 ? 1 , S2 ? 2 , S3 ? 18 . 把 n ? 1, 2 分别代入 (5n ? 8)Sn ?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B ,得 ? 解得, A ? ?20 , B ? ?8 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 5n(Sn?1 ? Sn ) ? 8Sn ?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 ,即

? A ? B ? ?28, ?2 A ? B ? ?48

5nan?1 ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 ,
又 5(n ? 1)an? 2 ? 8Sn? 2 ? 2Sn?1 ? ?20(n ? 1) ? 8 . ②



②-①得, 5(n ? 1)an? 2 ? 5nan?1 ? 8an? 2 ? 2an?1 ? ?20 , 即 (5n ? 3)an ? 2 ? (5n ? 2)an ?1 ? ?20 . 又 (5n ? 2)an?3 ? (5n ? 7)an? 2 ? ?20 . ④-③得, (5n ? 2)(an?3 ? 2an? 2 ? an?1 ) ? 0 , ∴ an?3 ? 2an? 2 ? an?1 ? 0 , ∴ an?3 ? an? 2 ? an? 2 ? an?1 ? ③ ④

? a3 ? a2 ? 5 ,又 a2 ? a1 ? 5 ,

因此,数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 5 的等差数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, an ? 5n ? 4, (n ? N? ) .考虑

5amn ? 5(5mn ? 4) ? 25mn ? 20 .

( am an ? 1)2 ? am an ? 2 aman ? 1? aman ? am ? an ? 1 ? 25mn ? 15(m ? n) ? 9 .
∴ 5amn ? ( am an ? 1)2 厖 15(m ? n) ? 29

15 ? 2 ? 29 ? 1 ? 0 .

即 5amn ? ( am an ? 1)2 ,∴ 5amn ? am an ? 1 . 因此, 5amn ? am an ? 1 .

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数学试题参考答案

第 5 页(共 5 页)

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数学试题参考答案

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