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1.2.3 简易逻辑(三)

时间:2012-01-18


简易逻辑(三 §1.2.3 简易逻辑 三)

一、命题的有关概念
1.命题 可以判断真假的语句 命题 可以判断真假的语句. 2.逻辑联结词 “或”、“且”、 逻辑联结词 “ 非” . 3.简单命题 不含逻辑联结词的命题. 简单命题 不含逻辑联结词的命题 4.复合命题 含有逻辑联结词的命题 复合命题 含有逻辑联结词的命题. 5.复合命题真值表 复合命

题真值表
p 真 假 非p 假 真 p 真 真 假 q 真 假 真 p或q 真 真 真 p 真 真 假 q 真 假 真 p且q 真 假 假

假 “非 p” 假 假 假 假 假 形式的复合 命题与 p 的 “p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同时为 形式的复合命题当 真假相反; 假时为假 其它情形为真 真假相反 假时为假, 其它情形为真;

“p 且 q” 形式的复合命 题当p 与q同时 题当 同时 为真时为真, 为真时为真 其它情形为假. 其它情形为假

二、命题的四种形式
原命题: 原命题 若 p, 则 q; 否命题: 否命题 若?p, 则?q; 原命题 若p则q 互 互 否 为 逆 逆命题: 逆命题 若 q, 则 p; 逆否命题: 若?q, 则?p. 逆否命题 互逆 逆命题 若q则p



逆 否

互 否


否命题 若?p 则?q 互逆

逆否命题 若?q 则?p

互为逆否命题的两个命题同真假. 注: 互为逆否命题的两个命题同真假

三、反证法
1.一般步骤 一般步骤 ①反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立; 反设 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾; ②归谬 从假设出发 经过推理论证 得出矛盾 结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确. ③结论 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 2.命题特点 命题特点 结论本身以否定形式出现; ①结论本身以否定形式出现 结论是“至少” 至多” 唯一” 都是” ②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是” 等形式; 等形式 结论涉及“存在或不存在” 有限或无限” ③结论涉及“存在或不存在”,“有限或无限”等 形式; 形式 结论的反面比原结论更具体或更易于证明. ④结论的反面比原结论更具体或更易于证明 3.特殊结论的反设 特殊结论的反设
原结论词 反设词 原结论词 反设词 大于(>) 不大于(≤) 有无穷多个 只有有限多个 小于(<) 不小于(≥) 都是 不都是 存在唯一的 不存在或至少存在两个 都不是 至少有一个是 至少 n 个 至多 n-1 个 至多 n 个 至少 n+1 个

对任意 x, 使…恒成立 至少有一个 x, 使…不成立

4.引出矛盾的形式 引出矛盾的形式 不成立, 不成立; ①由假设结论 q 不成立 得到条件 p 不成立 不成立, 成立; ②由假设结论 q 不成立 得到结论 q 成立 不成立, 得到一个恒假命题; ③由假设结论 q 不成立 得到一个恒假命题 分别由假设与条件推得的两个结论矛盾. ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾

四、充要条件
1.充分与必要条件 充分与必要条件
的充分但不必要条件. ①若 p?q, 但 q?p, 则 p 是 q 的充分但不必要条件 ? ? 的必要但不充分条件. ②若 q?p, 但 p?q, 则 p 是 q 的必要但不充分条件 ? ? ③若 p?q, 且 q?p, 则 p 是 q 的充要条件. ? ? 的充要条件 ④若 p?q, 且 q?p, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. ? ? 的既不充分也不必要条件

2.与四种命题的关系 与四种命题的关系: 与四种命题的关系 的充分条件, 则原命题“ ①如果 p 是 q 的充分条件 则原命题“若 p 则 q”以及逆否命 以及逆否命 都是真命题. 题“若 ?q 则 ?p”都是真命题 都是真命题 的必要条件, 则逆命题“ ②如果 p 是 q 的必要条件 则逆命题“若 q 则 p”以及否命题 以及否命题 为真命题. “若 ?p 则 ?q”为真命题 为真命题 ③如果 p 是 q 的充要条件, 则四种命题均为真命题. 的充要条件 则四种命题均为真命题 3.集合观点 集合观点 成立}, 成立}, 设 P={x | p(x)成立 Q={x | q(x)成立 成立 成立 ①若 P Q, 则 p 是 q 的充分但不必要条件 的充分但不必要条件; 的必要但不充分条件; ②若 Q P, 则 p 是 q 的必要但不充分条件 的充要条件( 的充要条件) ③若 P=Q, 则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件); 的既不充分也不必要条件. ④若 P?Q 且 Q?P, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 ? ?

典型例题
的什么条件: 例1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件 (1) p: x>5, q: x≥5; (2) p: 1+sinθ =a, q: sin θ +cos θ =a; 2 2 (3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切 轴相切; (4) p: 多面体是正四棱柱 q: 多面体是长方体 多面体是正四棱柱, 多面体是长方体; (5) p: △ABC中, acosB=bcosA, q: △ABC为等腰三角形 为等腰三角形. 中 为等腰三角形 解: (1)设 P={x | x>5}, Q={x | x≥5}, 设 ∵P (2)∵ 1+sinθ =a?|sin θ +cos θ |=a ?sin θ +cos θ =a, ∵ ? 2 2 2 2 Q, ∴p 是 q 的充分但不必要条件 的充分但不必要条件.

θ

θ

θ +cos θ =a?1+sinθ =a2 ? 1+sinθ =|a| 而 sin 2 2 ? ? 1+sinθ =a,

的既不充分也不必要条件. ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件

(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切 轴相切. 解: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0与 x 轴相切 与 E |= 1 D2+E2-4F 且 E≠0 ? D2-4F=0 . ? |- 2 2 ≠ E≠0 ≠ D2-4F=0 形成的值看作集合 Q, P 形成的集合看作 P, 将 E≠0 ≠ 的必要但不充分条件. 显然 Q P. ∴p 是 q 的必要但不充分条件 (4) p: 多面体是正四棱柱 q: 多面体是长方体 多面体是正四棱柱, 多面体是长方体. 正四棱柱是特殊的长方体, 解: ∵正四棱柱是特殊的长方体 ∴{正四棱柱 {长方体 正四棱柱} 长方体}. 正四棱柱 长方体 的充分但不必要条件. ∴p 是 q 的充分但不必要条件 (5) p: △ABC中, acosB=bcosA, q: △ABC为等腰三角形 为等腰三角形. 中 为等腰三角形 解: ∵acosB=bcosA, ∴2RsinAcosB=2RcosAsinB. ? ∴sin(A-B)=0. ∴A=B . ∴p?q. 中没有指明哪两个角相等, 而 q 中没有指明哪两个角相等 又显然 q?p, ? 的充分但不必要条件. ∴p 是 q 的充分但不必要条件

例2 已知 f(x)=ax2+bx+c(a, b, c∈R), 求证 关于 x 的方程 f(x)=0 ∈ 求证: 恰有两不相等的实数解的充要条件是: 恰有两不相等的实数解的充要条件是 存在 x0∈R, 使 af(x0)<0. 充分性: 证: ①充分性 若存在 x0∈R, 使af(x0)<0, 即 a2x02+abx0+ac<0, 则 a≠0, 且 △=b2-4ac>b2-4(-a2x02-abx0) =(2ax0+b)2≥0. ≠ 恰有两不相等的实数解. ∴关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解 恰有两不相等的实数解, ②必要性: 若关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解 必要性 设为 x1, x2, 且 x1<x2, 则 a≠0(否则 方程 f(x)=0 不会恰有两 ≠0(否则, 个不相等的实数解, 矛盾) 个不相等的实数解 矛盾). x1+x2 ∴f(x)=a(x-x1)(x-x2). 取 x0= , 则 x1<x0<x2, 2 a2(x1-x2)2 <0, ∴af(x0)=a2(x0-x1)(x0-x2)=4 这说明存在 x0∈R, 使af(x0)<0. 故由 ①, ② 可知关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数 解的充要条件是: 解的充要条件是 存在 x0∈R, 使 af(x0)<0.

求证: 例3 已知集合 M={(x, y) | y2=2x}, N={(x, y) | (x-a)2+y2=9}, 求证 M∩N≠? 的充要条件是 -3≤a≤5. ∩ ≠? 由已知M∩ ≠? 证: 由已知 ∩N≠? 的充要条件是 方程组 y2=2x 至少有一组实数解, (x-a)2+y2=9 至少有一组实数解 且 x≥0. 至少有一个非负根. 即关于 x 的方程 x2 +2(1-a)x+a2-9=0 至少有一个非负根 由 △≥0 得 a≤5. 在此前提下考虑至少有一个非负根的反面 即两个负根的充要条件是: 即两个负根的充要条件是 △≥0, x1+x2<0, 解得 a<-3. x1x2>0. 从而使M∩ ≠? 从而使 ∩N≠? 的充要条件是 -3≤a≤5.

求证:关于x 的方程x 有实数根, 例4 求证:关于 的方程 2+2ax+b=0 有实数根 且两根均小于 2的 的 充分但不必要条件是a 且 充分但不必要条件是 ≥2且|b|≤4. 证明: 证明 由a≥2且|b|≤4得: a2≥4≥b. 且 得 方程有实数根x ∴ △=4(a2 -b)≥0. ∴方程有实数根 1 和 x2 . 又由a≥2得: -2a≤-4. 而b≥-4, 又由 得 ∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4= -2a-4≤-4-4= -8<0, (x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=b+4a+4 ≥-4+8+4=8>0, 即 (x1-2)+(x2-2)<0 且 (x1-2)(x2-2)>0. ∴(x1-2)<0 且 (x2-2)<0. ∴x1<2 且 x2<2 . 可推得关于x 有实数根, ∴由a≥2且|b|≤4可推得关于 的方程 2+2ax+b=0 有实数根 且两 且 可推得关于 的方程x 根均小于 2. 另一方面, 对于方程x 其两根为0, 均小于2, 另一方面 对于方程 2 -x=0, 其两根为 1, 均小于 但 a= - 1 ,
2

有实数根, ∴由关于x 的方程 2+2ax+b=0有实数根 且两根均小于 2不一定 由关于 的方程x 有实数根 不一定 推得a 且 推得 ≥2且|b|≤4. 有实数根, 故关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根 且两根均小于 2 的充分 但不必要条件是a 且 但不必要条件是 ≥2且|b|≤4.


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