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甘肃省2015年高三第一次高考诊断数学(理)试题


甘肃省 2015 年高三第一次高考诊断 数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自已的姓名、准考 证号填写 答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 时

,将合案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0

?

?

,集合 B ? Z ,则 (CR A)

AB =

A.??3, ?2, ?1,0,1? C.?0,1,2?
2.设 i 是虚数单位,复数 Z ? 1 ?

B.??1,0,1,2,3? D.??2, ?1,0?

1? i 为 1? i A.1 ? i B.1 ? i C. ? 1 ? i 2 3 5 1 1 1 1 1 1 3.已知向量 a = ? dx, b ? ? dx, c ? ? dx ,则下列关系式成立的是 1 1 2 x 3 x 5 1 x
A. a<b<c B. b<a<c C. a<c<b D.c<a<b 4.函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 A. y ? cos(2 x ?

D. ? 1 ? i

?
3

)

B.

? ? 个单位后与函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象重合,则 y ? f ( x) 的解析式为 2 6 ? ? ? y ? cos(2 x ? ) C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin(2 x - ) 6 3 6

5.数字―2015‖中,各位数字相加和为 8,称该数为―如意四位数‖,则用数字 0,1,2,3,4,5 组成的无重复数字且大于 2015 的―如意四位数‖有( )个 A.18 B.22 C.23 D .24

6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

A. (

3 ? 2)? 2 3 ? 4)? 3 3 ? 2)? 6 3 ? 2)? 3

B. (

C. (

D. (

7.阅读如图所示的程序框图,若输入的 n= 10,则该算法的功能是 - A.计算数列{2n 1}的前 11 项和 - B.计算数列{2n 1}的前 10 项和 C.计算数列{2n-1}的前 11 项和 D.计算数列{2n-1}的前 10 项和

? 2 x ? 2 y ≥ 1, ? 8.若 x,y 满足约束条件 ? x ≥ y , 且向量 a=(3,2),b=(x,y),则 a,b 的取值范围 ? 2 x ? y ≤ 1, ?
5 A. [ , 5] 4 5 C . [ , 4] 4 7 B. [ , 5] 2 7 D. [ , 4] 2

9.已知面积为 S 的凸四边形中,四条边长分别记为 a1,a2,a3,a4,点 P 为四边形内任意一点,且点 P 到四边的 距离分别记为 h1,h2,h3,h4,若

a1 a2 a3 a4 2S ? ? ? ? k ,则 h1 ? 2h2 ? 3h3 ? 4h4= 类比以上性质,体积 1 2 3 4 k

为 y 的三棱锥的每个面的面积分别记为 Sl, S2, S3, S4, 此三棱锥内任一点 Q 到每个面的距离分别为 H1,H2,H3,H4,

S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K ,则 H1+2H2 +3H3+4H4 = 1 2 3 4 4V 3V 2V A. B. C. K K K
若 A.[ 2 5, 2 7 ] B.( 2 5, 2 7 ] C.[ 2 6, 2 7 ]

D.

V K
]

10.已知△ ABC 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 a2 +b2+c2= 84,则实数 b 的取值范围是 D. (2 6 2 ,7

x2 y 2 11.在平面直角坐标系 xOy 中,以椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上的一点 A 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的一个 a b
焦点,与 y 轴相交于 B,C 两点,若△ ABC 是锐角三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 A. (

6? 2 5 1? ) , 2 2

B. (

6? 2 5 ?1 ( ,1 ) C. ,1 ) 2 2

D. ( 0,

5 ?1 ) 2

12.已知函数 f ( x ) ? x cos 是 A. (一 (? 3,0)

?x 2 2 2 2 ,存在 f ( x ) 的零点 xo(xo≠0) ,满足 ? f '( x0 ) ? ? ? (? ? x0 ) ,则 ? 的取值范围 ?
3 3 , 0) (0, ) 3 3 3 3 ) ( , ??) 3 3

(0, 3)

B. (?

C. (??, ? 3)

( 3, ??)

D. (??, ?

第Ⅱ 卷

(非选择题,共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (2 x ?

1 8 ) 展开式中的常数项为 3 x



14 .直三棱柱 ABC –A1B1C1 ,的顶点在同一个球面上, AB=3,AC=4,AA1=2

,则球的表面 6 ,∠BAC=90°

积 . 15.下面给出的命题中: ① m=-2‖是直线(m +2)x+my +1=0 与―直线(m -2)x+(m+2))y 一 3=0 相互垂直‖的必要不充分条件; ② 已知函数 f (a) ?

?

a

0

sin xdx ,则 f [ f (

?
2

)] ? 1 ? cos1 ;

2 ③ 已知 ? 服从正态分布 N (0, ? ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0, 4 ,则 P( ? >2)=0.2;

④ 已知 Oc1:X2+ y2 +2x=o,OC2:X2+广+2y -1=o,则这两圆恰有 2 条公切线; ⑤ 线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越小.其中是真命题的序号有 16.设数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 若对一切 n ? N 均有 Tn ? (
*

? ?

1 1 ? ? S1 S2

?

1 a 1 n ,设 bn ? ( ) n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn, ? 2 Sn n ? 1


1 2 16 , m ? 6m ? ) ,则实数 m 的取值范围是 m 3

三、解答题:本大题共 6 小题-共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角以,A,B,C 对边分别为 a,b,c,若 b cosA +a cosB=-2ccos C. (I)求角 C 的大小; (Ⅱ )若 a+b =6,且△ ABC 的面积为 2 3 ,求边 c 的长.

18.(本小题满分 12 分) 多面体 ABCDE 中,△ ABC 是边长为 2 的正三角形,AE >1, AE⊥ 平面 ABC,平面 BCD ⊥ 平面 ABC,BD=CD,且 BD⊥ CD.. (I)若 AE =2,求证:AC∥ 平面 BDE; (Ⅱ )若二面角 A 一 DE 一 B 的余弦值为

5 ,求 AE 的长. 5

19.(本小题满分 12 分) 某市为了治理污染,改善空气质量,市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘,为了给洒水车供水,供 水部门决定最多修建 3 处供水站.根据过去 30 个月的资料显示,每月洒水量 X(单位:百立方米)与气温和降 雨量有关,且每月的洒水量都在 20 以上,其中不足 40 的月份有 10 个月,不低于 40 且不超过 60 的月份有 15 个 月,超过 60 的月份有 5 个月.将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率,并假设各月的洒水量相互独立. (I)求未来的 3 个月中,至多有 1 个月的洒水虽超过 60 的概率; (II)供水部门希望修建的供水站尽可能运行,但每月供水站运行的数量受月洒水量限制,有如下关系:

若某供水站运行,月利润为 12000 元;若某供水站不运行,月亏损 6000 元.欲使供水站的月总利润的均 值最大,应修建几处供水站? 20.(本小题满分 12 分) 已知中心在坐标原点,焦点在石轴上的椭圆 C 的离心率为 (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,且满足向量 PA.PB ? 的直线 l 的方程,若不存在,说明理由. 一 4… 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1n( x ? 1) .
2

1 ,其—个顶点是抛物线 x2 ? ?4 3 y 的焦点. 2 5 ,存在,求出 4

(I)当时 a ? ?

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; 4

(II)当 x ? [0, ??) 时,函数 y= f ( x ) 的图象上的点都在 ? 围,

?x ? 0 所表示的平面区域内,求实数口的取值范 ?y ? x ? 0

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框 涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答题第一题评分;多答按所答第一题评分. 22.(本小题满分 10 分) 如图, 点 C 是圆 O 的直径 BE 的延长线上一点, AC 是圆 O 的 切线,A

为切点, ?ACB 的平分线 CD 与 AB 相交于点 D ,与 AE 相交于点 F . ( I ) 求 ? ADF 的度数; ( II )若 AB ? AC ,求

AC 的值. BC

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? x ? ? t ? 2, ? ? 5 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极 ? y ? 4 t, ? 5 ?
轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? a sin ? . ( I )若 a ? 2 ,求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; ( II )设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍,求 a 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 5 ,且 f ( x) ≥ m 恒成立. ( I )求 m 的取值范围; ( II )当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式: x ? 3 ? 2x ≤ 2m ? 8 .


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