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江苏省徐州市六县一区2011届高一第二学期期中数学试题


江苏省高一第二学期期中试题 数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 若点 P(a,3)在不等式 2x+y<3 表示的区域内,则实数 a 的取值范围是 . 2 2 2 2. 在△ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 的形状为 3. 数列{an}的通项公式为 an=2n-49,Sn 达到最小时,n 等于_

______________. 2 4. 2x -3x-2≥0 的解集是 . 5. △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.若 a、 b、 c 成等比数列, 且 c=2a,则 cosB= 6. 等差数列{an}中,已知 a1= 7. 已知 x>0,则 2 ? 3 x ?

.

1 ,a2+a5=4,an=33,则 n 为 3

.

4 的最小值等于________ x


8. 数列 ?an ? 为等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 a1 ? 1 , q ? 3 , Sk ? 364 ,则 ak =
2

9. 三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x -7x-6=0 的根,则此三角形的 面积是____________________.

x,y ) 在 ABC 内部及边界上运动, 10. 在△ABC 中, 三顶点坐标为 A(2, 4), B(?1, 2), C (1,0) , 点 P(
则 z ? x ? y 的最大是 ;最小值是 . .

11. 已知数列 ?an ? 中, a n ?1 ?

an , a9 ? 1 ,则 a2009 9 3a n ? 1

12. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y ) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数

x 成立,则实数 a 的取值范围是

.
0

13. 一船以每小时 15km 的速度向东航行, 船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 , 行驶4h 后, 船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔的距离为
0



14. 设 y ? f (x ) 是一次函数, f (0) ? 1, 且 f (1), f (4), f (13) 成等比数列,则 f (2) ? f (4) ? …

? f ( 2n ) ?

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值;

5 3 , cos B ? . 13 5 (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B.
2 2

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(1)求 A∩B; (2)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A∩B,求不等式 ax ? x ? b ? 0 的解集.
2 2

17. (本小题满分 14 分)

, 2, 3, ) 数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,an?1 ? an ? cn( c 是常数,n ? 1 ,且 a1,a2,a3 是公比不为1 的
等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

18. (本小题满分 16 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且满足 4 cos
2

A 7 ? cos 2( B ? C ) ? 2 2

(1)求角 A 大小; (2)若 b ? c ? 3 ,当 a 取最小值时,判断 ?ABC 的形状.

19. (本小题满分 16 分) 经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的流量 y(千辆∕时)与汽车的平均 速度 v(千米∕时)之间的函数关系为 y ?

920 v (v ? 0) , v ? 3v ? 1600
2

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量是多少?(精确到 0.1 千辆∕时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆∕时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

20.(本小题满分 16 分) 设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的 n

N+,都有 8S n ? (an ? 2) 2 .

(1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ?

m 4 , Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n 20 a n ? a n ?1

N+都成立的最

小正整数 m 的值. 参考答案 一、填空题:
第 2 页 共 5 页

1. (-∞,0) 6. 50

2. 直角三角形 8. 243

3. 24 9. 6 cm
2

1 4. {x|x≥2 或 x≤- } 2 10. 1,-3 11.

5.

3 4
12.

7. 2+4 3

1 6009

1 3 (? , ) 2 2
二、解答题:

13. 30 2 km

14. n (2n ? 3)

15.解: (Ⅰ) ?ABC 中,由 cos A ? ? 由 cos B ?

5 12 ,得 sin A ? 13 13

3 4 ,得 sin B ? .………………………………………………………4 分 5 5 16 所以 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ………………………7 分 65 4 5? BC ? sin B 5 ? 13 (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? …………………………10 分 ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? .…………14 分 所以 △ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? 2 2 3 65 3
2 16. 解: (1)由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A=(-1,3)…………3 分 2 由 x ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 ,所以 B=(-3,2) ,…………6 分

∴A∩B=(-1,2)………………………………8 分 (2)由不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为(-1,2) ,
2

所以 ?

? 1? a ? b ? 0 ,………………………………10 分 ?4 ? 2a ? b ? 0
………………………………12 分

解得 ?
2

?a ? ?1 ?b ? ?2

∴ ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得解集为 R. ………………………………14 分 17. 解: (I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c ,………………2 分 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列,所以 (2 ? c) ? 2(2 ? 3c) ,………………4 分
2

解得 c ? 0 或 c ? 2 .……………………………………6 分 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 .……………………7 分 (II)当 n ≥ 2 时,由于 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , , an ? an?1 ? (n ?1)c ,

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所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c .………………………………10 分 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2 (n ? 2, 3, ) .……………12 分 当 n ? 1 时,上式也成立,…………13 分 所以 an ? n2 ? n ? 2 (n ? 1 , 2, ) .…………14 分 18.解: (1)

A ? B ? C ? ? ,…………1 分

? 4 cos 2
… 4分

A 7 ? cos 2( B ? C ) ? 2(1 ? cos A) ? cos 2 A ? ?2 cos 2 A ? 2 cos A ? 3 ? ,……… 2 2

? 2 cos 2 A ? 2 cos A ?

1 1 ? 0 . ? cos A ? ,…………6 分 2 2 o 0? A?? , ? A ? 60 .…………8 分 b2 ? c2 ? a 2 2 2 2 (2)由余弦定理 cos A ? ,得 bc ? b ? c ? a .…………10 分 2bc 3 b?c 2 9 ? a 2 ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 9 ? 3bc ? 9 ? 3( ) ? , ? a ? .…………13 分 2 2 4 3 3 所以 a 的最小值为 ,当且仅当 b ? c ? 时取等号.此时 ?ABC 为正三角形. 2 2
…………16 分

19、解: (1)依题意, y ?

920 920 920 ? ? …………6 分 1600 83 3 ? 2 1600 3 ? (v ? ) v

当且仅当 v ?

1600 , 即 v=40 时,上式等号成立,…………8 分 v

所以, y max ?

920 ? 11.1 (千辆∕时)…………9 分 83
920 v ? 10 ,…………12 分 v ? 3v ? 1600
2

(2)由条件得:

整理得 v -89v+1600<0,解得 25<v<64…………15 分 答: (1)当汽车的平均速度 v 为 40 千米∕时时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆∕时。 (2)如果要求在该时段内车流量超过 10 千辆∕时,则汽车的平均速度应大于 25 千米∕时 且小于 64 千米∕时。…………16 分 20. 解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2)2 n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)2 n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2 ∴ a1 ? 2 ∴ a2 ? 6 ∴ a3 ? 10 ………………………3 分
第 4 页 共 5 页

2

(2)∵ 8Sn ? (an ? 2)2

∴ 8Sn?1 ? (an?1 ? 2)2 (n ? 1)

两式相减得: 8an ? (an ? 2)2 ? (an?1 ? 2)2 即 an2 ? an?12 ? 4an ? 4an?1 ? 0 ………………………5 分 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4 ………………………8 分

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列 ∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ? ………………………10 分

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)

………………………12 分 ∴ Tn ? b1 ? b2 ?

1 1 1 1 ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5

?(

1 1 ? )] (2n ? 1) (2n ? 1)

?

1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? ………………………14 分 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2 m 对所有 n ? N ? 都成立 20


∵ Tn ?

m 1 ? 20 2

即 m ? 10

故 m 的最小值是 10. ………………………16 分

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