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12.6.1双曲线的性质(1)


第十二章 圆锥曲线 12.3双曲线的标准方程 12.4 双曲线的性质(1) 一、双曲线的定义 定义. 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值为常数 2a(0 ? 2a ?| F1F2 |) 的点的轨迹称为双曲线. 定点F1,F2称为双曲线的焦点; 焦点间的距离| F1F2 |称为焦距; 要点: (1)平面内; (2)距离之差的绝对值; (3) 0 ? 2a

?| F1F2 |. 记作: 2c. F1 F2 二、双曲线的标准方程 坐标平面内到两焦点 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) 的距离之差的绝对值为2a的双 y 曲线的方程为 (0 ? a ? c) : x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 其中: b2 ? c2 ? a 2 . M F1 O F2 x 坐标平面内到两焦点 F1 (0, ?c), F2 (0, c) 的距离之差的绝对值为 2a的双 y 曲线的方程为 (0 ? a ? c) : y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 其中: b ? c ? a . 2 2 2 F2 O x F1 三、与椭圆的比较 椭圆 M 双曲线 y y M x 图像 F1 O F2 F1 O F2 x 定义 标准 方程 系数 关系 平面内到两个定点距离之和等于 常数(大于定点间距离)的点的轨 迹称为椭圆. 平面内到两个定点距离之差的绝 对值等于常数(小于定点间距离) 的点的轨迹称为双曲线. x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 大小决定焦点 a 2 ? b2 ? c 2 , a最大. x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 正负决定焦点 a ? b ? c , c最大. 2 2 2 2 2 四、练习 例1.若动圆过定点A(?3,0) 且和定圆B : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 外切,求动圆圆心P的轨迹方程. 解: 设两圆相外切与点N, 动圆半径为r; 由两圆外切, PB y ? r ? 2 PA ? r P r O N ?| PB | ? | PA |? 2 所以动点P的轨迹是以A,B为焦点 A 的双曲线的左支. B x x2 y 2 所以动点P的方程为 ? ? 1 ( x ? ?1) 1 8 2a ? 2, a ? 1 c?3 2 2 2 ?b ? c ? a ? 8 定义法求轨迹 变式训练 若动圆过定点A(?3,0)且和定圆B : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 相切,求动圆圆心P的轨迹方程. y PB ? PA ? 2 PA ? PB ? 2 ? PA ? PB ? 2 P 的轨迹是以 A, B 为焦点的双曲线 2 A y P 的轨迹方程是 x 2 ? ? 1 8 P O P x B 四、练习 例2. x2 y 2 双曲线 9 ? 16 ? 1 的两个焦点为F1F2, 点P在双 曲线上,若PF1 ? PF2 , 求点P到x轴的距离h. 解: 设 | PF1 |? m,| PF2 |? n 由双曲线定义? m ? n ? ?6 由 PF1 ? PF2 ? m ? n ? (10) 2 2 2 y (1) (2) F1 O P F2 x (1) 2 ? (2) ? ?2mn ? ?64 ? mn ? 32 1 1 32 16 mn ? | F1 F2 | ?h ? h ? ? 2 2

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