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1.4正弦函数-余弦函数的性质(1--4)ppt


§1.4.2正弦余弦函数的性质(1)
周期性

周期现象 1.每间隔相同的时间就会出现相同的现象称 为周期现象. 2.现实生活中有很多周期现象: 每隔一年,春天就重复一次,因此“春去春 又回”是周期现象,一年是它的周期;奥运会每 隔四年就重复一次,因此开奥运会为周期现象, 4年是它的周期等等。

思考:
1。今天是2

013年11月25日,星期一,那么7 天后是星期几?30天后呢?为什么?这是 周期现象吗? 2.我们学习的函数具有周期现象吗?如果有, 我们就说它是周期函数,具有周期性。 今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的周 期性

一、周期函数 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零 的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都 有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数, 非零常数T叫做这个函数的周期
最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就 叫做f(x)的最小正周期。

说明:我们现在谈到三角函数周期时,如果 不加特别说明,一般都是指的最小正周期。

知识回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象

思考1:正弦曲线、余弦曲线有周期现象吗?
y
1
-4? -3? -2?

正弦曲 线
? 2? 3? 4? 5? 6?

-?

o
-1

x

y
1 -4? -3? -2? -?

余弦曲 线
? 2? 3? 4? 5? 6?

o
-1

x

二、三角函数的周期性 : y
-2?
y 4π

y=sinx(x∈R)
2?
x
X+2π

0

X

4?

自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
o y x o 6π 12π 8π x

正弦函数 y

? sin x( x ? R)
y

-2?

· ·
-?

o

?

· · · ·
2? 3? 4?

x

结合图像:在定义域内任取一个 , 由诱导公式可知: sin(x ? 2k? ) ? sin x

x

f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ?正弦函数y ? sin x( x ? R)是周期函数,周期是 2k?


思考2:余弦函数是不是周期函数?如 果是,周期是多少? 由诱导公式可知:


cos(x ? 2k? ) ? cos x

f ( x ? 2k? ) ? f ( x)

性质1:正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx都 是周期函数,且它们的周期为 2k? (k ? z, k ? 0) 最小正周期是 2?

例:求下列函数的周期:
(1) y ? 3 cos x, x ? R (2) y ? sin 2 x, x ? R 1 ? (3) y ? 2 sin( x ? ), x ? R 2 6

解:(1) ∵对任意实数

x



f ( x) ? 3 sin x ? 3 sin(x ? 2? ) ? f ( x ? 2? )

?cos x 是以2π 为周期的周期函数.
(2)

Q sin(2 x ) ? sin(2 x ? 2? ) ? sin ? 2( x ? ? )? , ? y ? sin 2 x 是以π 为周期的周期函数.

1 ? 1 ? (3) Q 2sin( x ? ) ? 2sin( x ? ? 2? ) 2 6 2 6 ?? ?1 ? 2sin ? ( x ? 4? ) ? ? , 6? ?2 1 ?
? y ? 2sin( x ? ) 2 6

是以4π 为周期的周期函数.

函数

周期

y ? 3 cos x y ? sin 2 x 1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 6
y ? A sin(? x ? ? )

T ? 2?

2? 1
2? 2
2? 1 2
2? ?

T ??
T ? 4? T ??

探求:函数y ? Asin(? x ? ? ), x ? R的周期公式
解:

Q f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?

? Asin ?? x ? ? ? 2? ?
? A sin ? ??? x ? 2? ? ? ? ? ?
? ? 2? ? ? ? A sin ?? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2? ? ? ? f ?x? ? ? ? ?

?T ?

2?

?

归纳:

一般地,函数y ? A sin(? x ? ? ), x ? R及函 数y ? A cos(? x ? ? ), x ? R(其中A, ?,? 为常 数, 且A ? 0, ? ? 0)的周期为 : T ? 2?

?

.

课堂练习:
P36 练习1 练习2:求下列函数的周期

3 (1) y ? sin x, x ? R 4 (2) y ? cos4 x, x ? R 1 (3) y ? cos x, x ? R 2 1 ? (4) y ? sin( x ? ), x ? R 3 4

2? 4 8? T? ? 2? ? ? 3 3 3 4

T?

2? ? ? 4 2 2? T? ? 2? 1 2? T? ? 2? ? 3 ? 6? 1 3

当堂检测
1 A、y ? sin x 2 x B、y ? cos 2 D、y ? cos2 x

(1)下列函数中,最小正周期是 ? 的函数是( D )
C、y ? cos x

2 。 (2)函数 y ? sin ?x 的最小正周期为_____
?

? (3)已知函数 y ? sin(?x ? ), ? ? 0 的周期为 3 ,则 3 ? ? ___ 6

练习题.
求下列函数的周期: x ( 2) y ? cos (1) y ? sin 3x 3

x (3) y ? 3 sin 4
T ? 8?

2? T ? 3

T ? 6?

(4) y ? sin( x ?
T ? 2?

?
10

)

(5) y ? cos( 2 x ? ), x ? R 3

?

T ??

课堂小结 ----本节课所学知识方法: (1)周期函数、周期及最小正周期的概念. (2)正(余)弦函数的周期. (3)函数 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ) (其中A ,ω,φ为常数,且 A≠0, ω≠0 )的周 期是:
? (4)求周期的方法:定义法、公式法


T?

2?

(? ? 0)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第二课时

§1.4.2正弦余弦函数的性质(2)
奇偶性、对称性

复习回顾 ? 1.周期函数的意义: ? 若f(x+T)=f(x),则f(x)就是周期函数,T就是它 的周期。 ? 2. y ? sin x与y ? cos x( x ? R)周期是 2??

最小正周期T=2?

? 3.什么是偶函数?偶函数的图像有何特点?
f (? x) ? f(x),偶函数的图像关于y轴对称

? 什么是奇函数?奇函数的图像有何特点? f (? x) ? -f(x),奇函数的图像关于原点对称

探究

一.奇偶性
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数的图象

y

1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

余弦函数的图象

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

问题:它们的图象有何对称性?

(1) f ( x ) ? sin x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? sin( ? x ) ? ? sin x ? ? f ( x )

? f ( x ) ? sin x , x ? R 为奇函数 (2) f ( x ) ? cos x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? cos( ? x ) ? cos x

? f ( x)

? f ( x ) ? cos x , x ? R 为偶函数

二、对称性
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

正弦函数的图象
P
?
2

??

P

? ' 2
?

O

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

5 3 1 1 3 x ?L ? ? ,? ? ,? ? , ? , ? L 对称轴: 2 2 2 2 2

x?

?

2

? k? , k ? Z

对称中心: L ( ?? ,0),(0,0),(? ,0),(2? ,0)L

( k? ,0) k ? Z

y
1

余弦函数的图象
?
2

?3? 5? ? 2

' P ?2? 3? ?? ?

2

? ? 2

O

?

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

对称轴: x ? L ? ? , 0, ? , 2? L
x ? k? , k ? Z
3? 5? 对称中心: L ( ? , 0), ( , 0), ( , 0), ( , 0)L 2 2 2 2 (

?

?

?
2

? k? , 0) k ? Z

例题解析
例1.函数 y ? sin(2 x ? ) 的一条对称轴的是( )
3
4? A. x ? ? 3 B. x ?

?

?
2

C.x ?

?
12

D. x ? 0

y
1
O
?
2

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

解:经验证,当
?x ?

x?

?
12



2x ?

?
3

?

?
2

?
12

为对称轴

? 例2.求函数 y ? sin(2 x ? 解(1)令
z ? 2x ?

?
3

) 的对称轴和对称中心
?

?
3

则 y ? sin(2 x ? ) ? sin z
?
2
3

y ? sin z
2x ?

的对称轴为 z ?
?
3 ?

? k? , k ? Z

?
2

? k?
x?

解得:对称轴为
(2) y ? sin z

?
12

?k

?
2

,k ? Z

的对称中心为 ( k? ,0) , k ? Z
2x ?

z ? k?

?
3

? k?

x??

?
6

?k

?
2

对称中心为 ( ?

?
6

?k

?
2

,0) , k ? Z

1 ? 练习:求函数y ? cos( 2 x ? 4 )的对称轴和对称中心 1 ? 1 ? 解(1)令 z ? x ? 则 y ? cos( x ? ) ? cos z 2 4 2 4 y ? cos z 的对称轴为 z ? k? 1 ? ? ? x ? ? k? x ? 2k? ? , k ? Z 2 4 ? 2 解得:对称轴为 x ? 2k? ? , k ? Z

(2) y ? cos z 的对称中心为 ? 1 ? z ? ? k? ,
2

( ? k? ,0), k ? z 2

?

2

? x ? ? k? ? 2 2 ? 4 ? x ? 2k? ? , k ? Z 2 ? 对称中心为 (2k? ? ,0), k ? Z 2

?

我练我掌握

课堂小结: 1.正弦函数 y ? sin x, x ? R
?
2

(1)对称轴: x ?

? ?? , ? ? Z

(2)对称中心: (?? , 0), ? ? Z (3)奇函数 2.余弦函数 y ? cos x, x ? R (1)对称轴: x ? k? , k ? Z (2)对称中心:( ? k? , 0) k ? Z
2

?

(3)偶函数

作业
? 求下列函数的对称轴、对称中心: ? ? (1) y ? sin(2 x ? ), x ? R
4

1 ? ? (2)y ? cos( 2 x ? 6 ), x ? R

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第三课时

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质
(3)单调性、最值

复习:正弦函数对称性
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

? 对称轴: x ? ? k? , k ? Z 2
对称中心: ( k? ,0)

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

k?Z

复习:余弦函数对称性
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

对称轴:

x ? k? , k ? Z
?
2 ? k? , 0) k ? Z

对称中心: (

复习:函数的单调性
函数 y ? f ( x),若在指定区间任取 x1、x2 , 且 x1 ? x2 ,都有:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则f(x)在这个区间上是增函数. 1、__________ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则f(x)在这个区间上是减函数. 2、__________
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。

增函数:上升

减函数:下降

观察正余弦函数的图象,探究其单调性

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

5? 3? ? ? 3? 5? … … [? , ]、 [ , ] 上时, 当 在区间 [? ,? ]、

x

2

2

2 2

2

2

曲线逐渐上升,sinα的值由 ? 1增大到 1 。
7? 5? 3? ? ? 3? 5? 7? [? , ? ]、 [ , ]、 [ , ]? 当x在区间 … [? , ? ]、 2 2 2 2 2 2 2 2

上时,曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到 ? 1 。

归纳:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

2 2 都是增函数,其值从-1增大到1; ? 3? 而在每个闭区间[ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z )上都是 2 2 减函数,其值从1减小到-1。

正弦函数在每个闭区间[?

?

? 2k? ,

?

? 2k? ]( k ? Z )

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

[??,、 0] [?, 2? ][3? ,4? ]L 上时, 当x在区间L [?3? , ?2? ]、

曲线逐渐上升,cosα的值由? 1 增大到1 。
[0 ? ]、 [2?, 3? ]L 上时, 当x在区间 L [?2? , ?? ]、,

曲线逐渐下降, sinα的值由1 减小到? 1 。

归纳:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由余弦函数的周期性知:
在每个闭区间[?? ? k ? 2? , 2k? ](k ? Z)都是增函数, 其值从-1增大到1 ;

在每个闭区间 [2k? , ? ? 2k? ](k ? Z) 上都是减函数,
其值从1减小到-1。

探究:正弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x?

?
2

有最大值 y ? 1 ? 2k? 时,

最小值:当x 零点: x

??

?
2

? 2k? 时,有最小值 y ? ?1

? k? (k ? Z )

探究:余弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当 最小值:当 零点: x

x ? 0 ? 2k? 时, 有最大值 y ? 1
x ??
有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,

?

?
2

? k? (k ? Z )

单调性的应用 : 一、求最值
例1. 写出下列函数取最大、最小值时的自变量x的集合,并写出 最大、最小值分别是什么.

(1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2 x, x ? R. 解: (1)使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最大值的x的集合,

使函数 y ? cos x, x ? R 取得最小值的x的集合

{x | x ? 2k? , k ? Z} 使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最小值的x的集合,就是

就是使函数 y ? cos x, x ? R 取得最大值的x的集合

{x | x ? (2k ? 1)? , k ? Z} 函数 y ? cos x ? 1, x ? R的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.

例1.下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小值分别是什么.

(1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2 x, x ? R.
解: (2)令t=2x,因为使函数y ? ?3sin t , t ? R 取最大值的t的集合是 ? {t | t ? ? ? 2k? , k ? Z } 2 ? ? 由 2 x ? t ? ? ? 2k? 得 x ? ? ? k? 2 4 所以使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R取最大值的x的集合是

4 同理,使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R 取最小值的x的集合是 4 函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R取最大值是3,最小值是-3。 {x | x ?

{x | x ? ?

?

? k? , k ? Z }

?

? k? , k ? Z }

练习1:求使下列函数取得最大值、最小值的自变 量X的集合,并写出最大值、最小值各是多少?
(1)

y ? 2sin x, x ? R

(2)

x y ? 2 ? cos , x ? R 3

解:(1) 函数 取得最大值的自 变量X的集合是
{x | x ?

(2)使函数

?

取得最大值的自变量 X的集合是

2 函数 的最大值是2

? 2k? , k ? Z }

{x | x ? 3? ? 6k? , k ? Z }
函数 的最大值是3 使函数 取得最小值的自变量 X的集合是

使函数 取得最小值的自变量 X的集合是 ? {x | x ? ? ? 2k? , k ? Z }
2

{x | x ? 6k? , k ? Z }
函数 的最小值是1

函数 的最小值是2

练习2:观察正弦曲线、余弦曲线,写出满足下列条件的区间

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

(1)sinx > 0 : (0 ?2k? , ? ?2k? )

k?Z k?Z

(2)sin x ? 0 :( ?? ?2k? , 0 ?2k? )

y

1

(1)cos x ? 0 : (2)cos x ? 0 :

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

(?

?
2

? 2

O

?

?2k?

?1

,

?
2

2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

x

?2k? ) ?2k? )

k?Z k?Z

3? ( ?2k? , 2 2

?

练习3:

观察函数 y ? 4sinx,x ? [?? , ? ] 40页4题
y
4

的图像,完成课本

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?4

3? 2

2?

5? 2

3?

x

选B

二、比较大小
例2:利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:
(1) sin( ?

?

18

)与 sin( ?

?

10

) (2) cos( ?

23? 17? )与 cos( ? ) 5 4

? ? ? ? ? ? 分析:比较同名函数值的大小,往往可以利用函数的 (1) Q ? ? ? ? ? ? , 且y ? sin x在[? , ]上增函数。 解: 2 10 18 2 2 2 单调性,但需要考虑自变量是否在同一单调区间上, ? ? 若是,即可判断,若不是,需化成同一单调区间后再 ? sin(? ) ? sin(? ) 10 18 作判断。 23? 23? 3?
(2) Q cos(? 5 ) ? cos 5 ? cos 5 , cos( ? 17? 17? ? ) ? cos ? cos 4 4 4

还有其他方法来比较吗?

作单位圆用三角函数线

3? Q0? ? ? ? , 且y ? cos x在[0,? ]上是减函数 4 5 3? ? 23? 17? ? cos ? cos , ? cos(? ) ? cos(? ) 5 4 5 4

?

1 ? 例3、求函数y ? sin( x ? ), x ? [?2? ,2? ]的单调递增区间 . 2 3
解:令 z? [? 1 ? x ? , 函 数y ? si nz的 单 调 递 增 区 间 是 2 3

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2 k? ] 1 ? ? x ? ? ? 2 k? 2 3 2

由?

?

2 5? ? 得? ? 4 k? ? x ? ? 4 k ? , k ? Z 3 3 由x ? [?2? ,2? ]可 知, 5? ? ? 2? ? ? ? 4k?且 ? 4k? ? 2? 3 3 1 5 于 是? ?k? .由 于k ? Z , 所 以k ? 0, 12 12 1 ? 即函数 y ? si n ( x ? ), x ? [?2? ,2? ]的 单 调 递 增 区 间 是 2 3 5? ? [? , ]. 3 3

? 2 k? ?


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