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一道吉林预赛题的两种巧解


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数 学 通讯 — — 2 O 1 2年 第 l 1 、 1 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  



道吉林预赛题的两种巧解 
黄兆麟  
( 天 津 水 运 高 级技 工学 校 ,3 0 0 4 5 6 )  

题 目 <

br />
已知 正 数 a, 6, f满 足 2 a+ 4 b+ 7 c≤  

2 a b c , 求 口+b + c的最小值 .  

3 ≥ (  +  +   ) + ( 丢 + 器 + 卷 )  
+ (   +  5 c十  5 a)  

以上题 目是 2 0 0 8 年全 国高 中数学联赛 吉林 省  预赛 第 1 7题 , 文[ 1 3与文 E 2 ]各 给 出了一 种解答 ,  
本 文再给 出其 另两种 巧解 , 供参考 .  
解法 1   设 S— a+ b +c , 则有 

s一  ( 口 +6 +c )   再将 条件不 等式 变形为 

① 

≥ 3 濡 + 3 活 + 3 愿 ,   故 海≥ 7 括+  + 渥  ,  
从 而可 得 S≥  1 5  
2‘  

1 ≥   7 + 去 +  
可 得 

②  

因此 , 口+b +c 的最小 值为  ,当且仅 当 口= 
厶  亡 

① +② , 经整 理 后 再 由三 元 均 值不 等 式 放 缩 
s +1 ≥,   7 +  7 a +万 1 4 b   . _ t   , - .   1十 ,   2 b - t   . . c  

3 , b = 姜, c =2 时取得最小值.  
厶 

说 明  以上 两种解 法 中, 在利 用 均值 不等 式  之 前都对 表达 式 进行 了适 当 的配 凑 , 目的 是 为 了  “ 积为 定值 ” , 配凑 的过程 可用待定 系数 法完成 .  
练习:   ( 1 )已知正数 a , b , c 满足2 口 +4 6 +7 c   ≤2 a b e , 求2 n+ 3 2 b +l l c 的最小 值.   ( 2 )已知正数 口 , b , c 满足2 口 +3 6 +4 c ≤3 a b c ‘ ,   求l l a+ 9 b 十1 6 c的最小值 .  
亡 

+ ( 兰 + 詈 十 号 )  
≥ 3  


+3  

+3  

3,  

所 以 S≥  .  

,  

答案:   ( 1 ) 当 口= 9 , b =1 , c =2 时 取得最 小 

因此 , 口+6 + 的最 小值 为  , 当且仅 当 口= = =  

值7 2 ; ( 2 ) 当口 一2 , b =2 , f =÷ 时取得最小值6 o .  
参考 文献 :  

3 , 6 = 导 , c 一 2 时 取 得 最 小 值 .  


解法 2   设 S— a+b +c , 将 其变形 为 
2 :  2 a
十 

E 1 ]   郭  民.2 0 0 8 年 全 国高 中数学 联赛 吉林赛 
① 

2 b十 ,   2 c  

区预赛 . 中等数 学 , 2 0 0 8 ( 9 ) .  

再将 条件 不等 式变形 为 
1 ≥  +  I十  2   ② 

[ 2 ]   侯 典 峰 .一 道 赛 题 的 简 解 . 中 学 生 数 
学, 2 0 1 0 ( 1 ) .  

① +② , 经 整 理 后 由 三 元 均 值 不 等 式 放 缩 
可 得 

【 收稿 日期 : 2 0 1 2 —0 6一O 1 )  


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