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高中理科数学选修2-2测试题及答案


选修 2-2 模块测试题数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1.函数 y=x2cosx 的导数为( (A) y =2xcosx-x sinx ′ (C) y =x2cosx-2xsinx ′ 2.下列结论中正确的是( ) A 导数

为零的点一定是极值点 B 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 C 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极小值 D 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 3.某个命题与正整数有关,若当 n ? k ( k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命题也成
*

) (B) y =2xcosx+x2sinx ′ (D) y =xcosx-x2sinx ′

2

立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立
3

)

(B)当 n ? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立

4 .函 数 f ( x ) ? 3 x ? 4 x ( x ? [ 0 ,1])的 最 大 值 是 ( ( A )1 (B) 1 2 (C )0

) (D ) ? 1

5.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处,则克服 弹力所做的功为( (A)0.28J ) (C)0.26J (D)0.18J

(B)0.12J

6.给出以下命题: ⑴若 ? ⑵?
2? 0 a 0 b a

f ( x )d x ? 0 ,则 f(x)>0; sin x d x ? 4 ; f ( x)dx ?

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 ? 其中正确命题的个数为( (A)1
2

?

a ?T

f ( x )d x ;
T

) (C)3 (D)0 )

(B)2

7.若复数 ( a ? a ? 2 ) ? ( a ? 1 ? 1) i ( a ? R ) 不是纯虚数,则 a 的取值范围是( (A) a ? ? 1 或 a ? 2 (B) a ? ? 1 且 a ? 2 (C) a ? ? 1 (D) a ? 2 ).

8.设 0< a <b,且 f (x)=

1?

1? x x

,则下列大小关系式成立的是(

(A)f ( a )< f ( (C)f (

a ?b 2

)<f (

ab )

(B)f (

a ?b 2

)<f (b)< f (

ab )

)<f ( ab ) 2 2 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上 )<f ( a ) 9.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x= 10.曲线 y=2x -3x 共有____个极值. 11.已知 f ( x ) 为一次函数,且 f ( x ) ? x ? 2 ?
1

ab )< f (

a ?b

(D)f (b)< f (

a ?b

, y=



3

2

f ( t ) d t ,则 f ( x ) =_______.
0

12.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到 命题:“___________________________”这个类比命题的真假性是________ 13.观察下列式子
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wxckt@126.com

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1?

1
2

?

3

,

1?

1
2

?
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1
2

?

5 3

,

1 ?

1 2
2

?

1 3
2

?

1 4
2

2 2 2 3 则可归纳出________________________________
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7 ?, ? ? , 4

14.关于 x 的不等式 m x ? n x ? p ? 0 ( m、 n、 p ? R ) 的解集为 ( ? 1, ,则复数 m ? p i 所对应的点 2)
2

位于复平面内的第________象限. 三、解 题 本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 答 : 15. (本小题满分 12 分)一物体沿直线以速度 v ( t ) ? 2 t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位为:米/秒)的速度作变 速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程?

16. (本小题满分 12 分) 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限,⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线 l ? l1 , 且也过切点 P0 ,求 l 的方程

17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? a x ? ( a ? 1) x ? 4 8( a ? 2 ) x ? b 的图象关于原点成中心对称,
3 2

试判断 f ( x ) 在区间 ? ? 4 , 4 ? 上的单调性,并证明你的结论.

18. (本小题满分 14 分)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的侧棱 BB 1 上一点, PM ? BB 1 交 AA 1 于 点 M , PN ? BB 1 交 CC 1 于点 N . (1) 求证: CC
? MN ;

1

(2) 在任意 ? DEF 中有余弦定理:
DE
2

? DF

2

? EF

2

? 2 DF ? EF cos ? DFE .

拓展到空间,类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.

b 19. (本小题满分 14 分)已知 a 、 ? R , a ? b ? e (其中 e 是自然对数的底数),求证: b
用分析法找思路)

a

? a .(提示:可考虑
b

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ( x ? 0 ) ,函数 g ( x ) ?

1 f ?( x )

? a f ? ( x )( x ? 0 )

⑴当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x ) 的表达式; ⑵若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线 y ?

2 3

x?

7 6

与函数 y ? g ( x ) 的图象所围成图形的面积.

选修 2-2 模块测试数学答案及评分标准 , y=4; 10.两 11. f ( x ) ? x ? 1 2 12.夹在两个平行平面间的平行线段相等;真命题. ABDAD BCD 9.x= 13. 1 ?

5

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 ( n ? 1)
2

?

2n ? 1 n?1

(n∈N*)

14.二

15.解:∵当 0 ≤ t ≤

3

时, v ( t ) ? 2 t ? 3 ≤ 0 ; 当

3 2

≤ t ≤ 5 时, v ( t ) ? 2 t ? 3 ≥ 0 .

2 ∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程
3

S ?

?

2 0

(3 ? 2 t ) d x ?

?

5 3 2

( 2 t ? 3) d x =

9 4

? (1 0 ?

9 4

)?

29 2

(米)

16.解:⑴由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知得 3x2+1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4). ⑵∵直线 l ? l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 ? ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4)

1 4

,

∴直线 l 的方程为 y ? 4 ? ?

( x ? 1) 即 x ? 4 y ? 1 7 ? 0 . 4 17.解: 答 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
证明:∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则 f(x)是奇函数,所以 a=1,b=0,于是 f(x)= x ? 4 8 x .
3

1

2 ? f ? ( x ) ? 3 x ? 4 8, ∴当 x ? ( ? 4, 4 ) ? f ? ( x ) ? 0

又∵函数 f ( x ) 在 ? ? 4 , 4 ? 上连续 所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 18.(1) 证: ? CC 1 // BB 1 (2) 解: 在斜三棱柱 ABC
? CC 1 ? PM , CC 1 ? PN , ? CC 1 ? 平面 PMN ? CC 1 ? MN ? A1 B 1 C 1


1 A1

中, S ABB 1 A1 有 2

? S BCC

2

1 B1

? S ACC

2

1 A1

? 2 S BCC

1 B1

? S ACC

cos ?

, 其中 ? 为 平

面 CC 1 B1 B 与平面 CC 1 A1 A 所组成的二面角.
? CC 1 ? 平面 PMN , ?

上述的二面角为 ? MNP ,在 ? PMN 中, PM
2 2
1

2

? PN

2

? MN

2

? 2 PN ? MN cos ? MNP ?

PM

2

CC

2
1

? PN CC

2

2
1

? MN CC

? 2 ( PN ? CC
1

) ? ( MN ? CC
1

) cos ? MNP



由于 S BCC 1 B

1

? PN ? CC
1

, S ACC

1 A1

? MN ? CC
1

, S ABB

1 A1

? PM ? BB 1



2 ∴有 S ABB 1 A1

? S BCC

2

1 B1

? S ACC

2

1 A1

? 2 S BCC

1 B1

? S ACC

1 A1

cos ?

.

19.证明:∵ b

a

? 0, a ? 0 ∴要证: b ? a
b
a

b

只要证: a ln b ? b ln a 只要证

ln b b

?

ln a a ln x x

.(∵ a ? b ? e ) ,∵ f ? ( x ) ?

取函数 f ( x ) ?

1 ? ln x x
2

∴当 x ? e 时, f ? ( x ) ? 0 ,∴函数 f ( x ) 在 ( e , ? ? ) 上是单调递减. ∴当 a ? b ? e 时,有 f ( b ) ? f ( a ) 即 20.解:⑴∵ f ( x ) ? ln x , ∴当 x ? 0 时, f ( x ) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ln ( ? x ) ∴当 x ? 0 时, f ? ( x ) ?

ln b b

?

ln a a

.得证

1 x

; 当 x ? 0 时, f ? ( x ) ?

1 ?x

? ( ? 1) ?

1 x

.

∴当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x ) ? x ?

a x

.

⑵∵由⑴知当 x ? 0 时, g ( x ) ? x ? ∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x ) ≥ 2

a x

,

a 当且仅当 x ?

a 时取等号.

∴函数 y ? g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上的最小值是 2

a ,∴依题意得 2

a ? 2 ∴a ? 1.

2 7 3 ? ? x ? 2 y ? x? x ? ? ? 1 2 ? 2 ? ? ? 3 6 ⑶由 ? 解得 ? ,? 5 13 ? y2 ? 1 ?y ? x? ?y ? ? 2 ? 1 ? 6 x ? ?
∴直线 y ?

2 3

x?

7 6

与函数 y ? g ( x ) 的图象所围成图形的面积

S ?

?

2 3 2

7 7 1 ? ? 2 ? ln 3 ( x ? ) ? ( x ? ) dx = ? 3 ? 6 x ? 24 ?


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