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2.4.1《平面向量的数量积》导学案(第一课时)1


鹿邑二高导学案
班级 小组 姓名 本期总课时:

高一年级数学学科 编写人:紫气东来审核人:-----备课组长签字:
课题:2.4.1 平面向量的数量积 课时:2

I、 (1)课标考纲解读:1.平面向量数量积及其几何意义;2. 向量的数量积的性质;3. 向
量数量积的运算律 (2)状元学习方案:通过具体实例让

学生自己归纳、总结数量积的概念和特点,感受向 量思想;

II、1.学习目标:
1)知识与技能: (1)正确理解数量积的意义; (2)利用数量积知识正确理解现实生活中的 实际问题; 2)过程与方法:通过对现实生活中的“做功”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学 问题的方法。 3)情感态度与价值观:通过对平面向量数量积的实际意义的理解,体会知识来源于实践并 应用于实践的辩证唯物主义观,进而体会数学与现实世界的联系。 2.重点与难点: 重点:平面向量数量积的定义 难点:平面向量数量积几何意义

3 学法指导:试验观察,自主探究 4 知识链接:平面向量相关的知识 III、学习过程
一.预习导引

? ? 1.平面向量数量积 (内积) 的定义: 已知两个非零向量 a 与 b , 我们把数量 ? ? 做 a 与 b 的数量积(或内积) ,记作
? 与 b 的夹角.
规定:零向量与任一向量的数量积均为 2.向量的数量积的几何意义 . ,即

叫 ,其中 ? 是 a

?

(1)投影的概念:如图所示: OA ? a , OB ? b ,过 B 作 BB1 垂直 OA ,垂足为 B1 ,则

??? ?

?

??? ?

?

OB1 =

.

叫做向量 b 在 a 方向上的投影.

?

?

叫做向量 a 在

?

? b 方向上的投影.

(2)数量积的几何意义: a ? b

? ?

的几何意义是

与 b 在 a 方向上的投影

?

?

的乘积. 3.向量的数量积的性质: ? ? ? ? 设 a 与 b 都是非零向量, ? 为 a 与 b 的夹角. (1) a ? b ?

?

?



? ? ? ? (2)当 a 与 b 同向时, a ? b =
(3) a ? a = (4) cos ? =

? ? ? ? ,当 a 与 b 反向时, a ? b =

.

? ?

或a ?

?

? ? ?2 a?a ? a ;


? ? (5) a ? b

? ? 、 “ a b .(填“=”“ ? ” ? ”)
? ? ?

4.向量数量积的运算律 已知向量 a , b , c 和实数 ? ,则 (1) a ? b = (2) (? a ) ? b = (3) ( a ? b ) ? c =

? ?
?

; (交换律)

?

=

; (与数乘的结合律) .(分配律) 3>b≠0,ab=bc 可得 a=c,

?

?

?

思考:a,b.c 为实数,1>ab=o 可得 a=0 或 b=0; 2>、<ab>c=a<bc> 对于向量上述三式还成立吗?《不满足结合律和消去律》 二.基础训练 1.若 m =4, n =6, m 与 n 的夹角为 135 ,则 m ? n =
?

??

?

??

?

?? ?

.

? ? ? ? 2.若 a ? b <0,则 a 与 b 的夹角 ? 的取值范围是(
A. ? 0, ? ? 2?

) D. ?

? ??

B. ? , ? ? ?2 ? ( ③

??

?

C. ?

?? ? ,? ? ?2 ?

?? ? ,? ? ?2 ?
?2 ? ? ?2

3.下列等式中,其中正确的是 ① a ?a A.1 个



?2

?2

? ? ? a ?b b ② ?2 = ? a a
B.2 个

?

? ? 2 ?2 ?2 a ?b = a ?b

?

④ a?b

?

? ?

?

2

= a ? 2a ? b ? b

C.3 个

D.4 个

4. a ? 4, a 与 b 的夹角为 30 ,则 a 在 b 方向上的投影为
?

?

?

?

?

?

.

5.已知 a ? 4, b ? 3,当(1) a / / b ; (2) a ? b 时,求 a ? b . 三.典型例题 例 1:已知正三角形 ABC 的边长为 1,求:(1) AB ? AC (2) AB ? BC (3) BC ? AC

?

?

?

?

?

?

? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

练习:已知 a ? 5, b ? 2, a 与 b 的夹角为 120 ,求 a ? 2b ? a ? 3b 的值.
?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

例 2:已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? 4, b ? 2,求:
?

?

?

?

?

(1) a ? b ;(2) 3a ? 4b ;(3)

? ?

?

?

?

? ? ? ? a ? b ? a ? 2b

? ?

?

例 3:已知非零向量 a , b ,满足 a ? b ? a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角.

?

?

?

?

? ?

?

? ?

例 4:已知非零向量 a 和 b 满足 a ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? 2 b ,且 a ? b 与 a ? 2b 垂直,求证: a ? b .

四.课堂演练 1.下列命题中正确的个数是( )

① a ? b ? a ? b ; a ? b =0 ? a ? 0 或 b ? 0 ; ② ③ A.1 B.2 C.3 D.4

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

④ ? a ? ? ? a ; ? a ? 0 ? ? =0 或 a ? 0

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? 2. 已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 ,则向量 a 与 b 的夹角是(

?

?



A.

3.若 e1 、 e2 是两个互相平行的单位向量,则下列判断正确的是( A. e1 ? e2 =1

??

? 6

B.

?? ?

? 4
?? ?? ?

C.

? 3

D.

? 2


?? ?? ?

B. e1 ? e2 ? ?1

C. e1 ? e2 ? ?1

?? ?? ?

D. e1 ? e2 ? 1

?? ?? ?

4.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c , a ? b ? c ,则向量 a 与 b 的夹角是( A. 150
?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?



B. 120

?

C. 60

?

D. 30

?

5.若向量 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a ? 3 , b ? 1 , c ? 4 ,则 a ? b + b ? c +

?

?

?

? ? ?

?

?

?

?

? ? ? ?

? ? a?c= . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6. 已知 a ? 1, b ? 2,且 ? a ? b ? 2a ? ?b , a 与 b 的夹角为 60 ,则 ? =

?

? ?

?

.

7. 已知 a ? b ? 5,向量 a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

? ? ? ? ? .求 a ? b , a ? b . 3

8. 已知 a ? 5, b ? 4,且向量 a 与 b 的夹角为 60 ,则当 k 为何值时,向量 ka ? b 与
?

?

?

?

?

? ?

? ? a ? 2b 垂直?

9.已知 a ? b ,且 a ? 2, b ? 1,若对两个不同时为零的实数 k , t ,使得 a ? (t ? 3)b 与

?

?

?

?

?

?

? ? ?ka ? tb 垂直,试求 k 的最小值.

五.小结与反思


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