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三角函数公式变形及其应用


对数函数及其性质
【课题】 :对数函数及其性质(平行班) 【学情分析】 : (适用于平行班) 本节课介绍对数函数的概念、对数函数的图像与性质、对数函数与指数函数的联系,并能够运用这 些知识解决简单的问题。学生先明确对数函数的概念,再结合图像学习函数性质,并通过例题、练习加深 性质的理解,学会运用相关知识,解决实际中的计算和说理问题。引导学生积极参与数学问题的解决,在 探

究过程中,巩固知识,也学会多角度思考问题,通过渗透类比思想,探究知识间的联系,发展思维,培 养数学能力。 【教学目标】 : (1)了解对数函数模型所刻画的数量关系,理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通 过的特殊点. (2)知道对数函数是一类重要的函数模型; (3)了解指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga

x 互为反函数 (a ? 0, a ? 1) 。

(4)培养学生从实际归纳知识的能力,逐步渗透类比的数学思想。 【教学重点】 :对数函数的图像与性质 【教学难点】 :对数函数的图像与性质的应用. 【课前准备】 :课件 【教学过程设计】 : 教学环节 一、 知识引 入 教学活动 1、 回 顾 上 节 课 的 问 题 : 将 指 数 式 P ? ( ) 5730 转 化 为 等 价 的 对 数 式 设计意图

t ? log

5730

2、 归纳对数函数的概念: 我们把函数 y ? loga 3、 研究函数 y ? log2 x 和 y ? log 1 ①描点:

1 2

P ,可以解决求幂中指数部分的未知数的问题。

1 2

t

函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 (0,??)

x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数

x

2

联系前面的 内容,引出对 数函数的概 念,通过特殊 函数的图像 特点,归纳一 般对数函数 的图象特征。

画图:

②观察两个函数的图像特点,初步认识底数 a 的变化对函数图像的影响。 函数 y ? log2 x 和 y ? log 1
2

x 的图像关于_______对称。

简述底数 a 的变化对函数图像的影响:

1

二、 知识归 纳:

对数函数 y ? loga

x (a ? 0且a ? 1) 的图像和性质
0<a<1 a>1

通过观察图 象特征归纳 函数性质。

图象

定义域 值域 性质 三、 例题讲 解 ① ② 例 7:求下列函数的定义域: ① y ? loga 解: ② ② y ? loga (4 ? x ) 解: 根据函数性 质学会求函 数定义域、比 较数的大小, 同时会运用 对数性质解 决的简单实 际问题。

x2

例 8:比较下列各组数中两个值的大小: ① log2 3.4 , log2 8.5 解:∵函数___________在_________上是____(增/减)函数且 3.4____8.5, ∴ log2 3.4 ______ log2 8.5 ② log0.3 1.8 , log0.3 2.7 解: ③ loga 5.1 , loga 5.9 (a ? 0且a ? 1)

例 9:溶液酸碱度的测量 + + 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的。PH 的计算公式为 pH=-lg[H ],其中[H ] 表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。 ①根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式, 说明溶液酸碱度与溶液中氢离子 的浓度之间的变化关系;
2

② 已知纯净水中氢离子的浓度为[H ]=10 摩尔/升,计算纯净水的 pH。 解:

+

-7

四、 探究思 考

① 思考:函数 y=2 中如果把 y 看成自变量,x 看成因变量,那么 x 是 y 的函 数吗?

x

②小结:对数函数 y ? loga

x (a ? 0, a ? 1) 与

指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 互为______

渗透类比的 数学思想,通 过比较将知 识进行拓展, 培养学生良 好的数学学 习习惯。

练习与测试
1、 画出函数 y ? log3 x 和 y ? log 1
3

x 的图象,并说明这两个函数的相同点和不同点.

2、 求下列函数的定义域: ① y ? log5 (1 ? x ) ③ y ? log 7 ②y ? ④y ?

1 log2 x

1 1 ? 3x

log3 x

3、比较下列各题中两个值的大小: ① log10 6 , log10 8 ③ log2 0.5 , log2 0.6
3 3

② log0.5 6 , log0.5 4 ④ log1.5 1.6 , log1.5 1.4

答案
1、 画出函数 y ? log3 x 和 y ? log 1
3

x 的图象,并说明这两个函数的相同点和不同点.

解:列表: (略)
3

函数 y ? log3 x 的图象:
6

4

2

-5

5

10

-2

-4

-6

解:列表: (略) 函数 y ? log 1
3
6

x 的图象

4

2

-5

5

-2

-4

-6

3、 求下列函数的定义域: ① y ? log5 (1 ? x ) 解:当 1-x>0 即 x<1 时,原函数有意义 ∴所求函数的定义域是(-∞,1) ②y ?

1 log2 x

解:当 log2 x ? 0 时,原函数有意义 即 log2 x ? log2 1 ? x ? 1 ∴所求函数的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞) ③ y ? log 7 解:当

1 ? 0 时,原函数有意义 1 ? 3x 1 即 1 ? 3x ? 0 ? x ? 3
4

1 1 ? 3x

∴所求函数的定义域是(-∞, ④y ?

1 ) 3

log3 x

解:当 log3 x ? 0 时,原函数有意义 即 log3 x ? log3 1 ? x ? 1 ∴所求函数的定义域是[1,+∞] 3、比较下列各题中两个值的大小: ① log10 6 , log10 8 解:∵函数 y= log10 x 在 (0,??) 上是增函数且 6<8 ∴ log10 6 < log10 8 ② log0.5 6 , log0.5 4 解:∵函数 y= log0.5 x 在 (0,??) 上是减函数且 6>4 ∴ log0.5 6 < log0.5 4 ③ log2 0.5 , log2 0.6
3 3

解:∵函数 y= log 2
3

x 在 (0,??) 上是减函数且 0.5<0.6

∴ log2 0.5 > log2 0.6
3 3

④ log1.5 1.6 , log1.5 1.4 解:∵函数 y= log1.5 x 在 (0,??) 上是增函数且 1.6>1.4 ∴ log1.5 1.6 > log1.5 1.4

5


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