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2013年北京市大兴区高三数学一模文科试题及答案

时间:2013-04-11


北京市大兴区 2013 届高三下学期(4 月)一模数学(理)试卷
2013.4
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. (1)复数 (1 + i)2 的值是 (A)2 (B) - 2 (C) 2i (D) - 2i

/>
2 (2)设集合 A = {x | x > 1} , B = {x | log 2 x > 0 |} ,则 A ? B 等于

(A) {x | x ? 1}

(B) {x | x ? 0} (C) {x | x ? ?1}

,或x ? 1} (D) {x | x ? ?1
开始

(3)执行如图所示的程序框图.若 n ? 4 ,则输出 s 的值是 (A)-42 (B) -21 (C) 11 (D) 43

输入 n
s=1,i=1

(4)设 y1 ? 40.7 , y2 ? 80.45 , y3 ? ( ) ?1.5 ,则 (A) y3 > y1 > y2 (B ) y2 > y1 > y3 (C) y1 > y2 > y3 (D) y1 > y3 > y2

1 2

(5)已知平面 ? , ? ,直线 m, n ,下列命题中不正确的是 . (A)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? (B)若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? (C)若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n (D)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? .

i ? i ?1
s = s + (- 2)i

i≤n ?
否 输出 s



结束

(6)函数 f ( x) ? (A)在 (?

1 ? cos 2 x cos x

π π π π , ) 上递增 (B)在 (? , 0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 2 2 π π π π (C)在 (? , ) 上递减 (D)在 ( ? , 0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2 2 2 2 2 2 (7)若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 ,则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 无实数根的概率为 .
(A)

1 4

(B)

3 4

(C)

3π + 2 4π

(D)

π- 2 4π

(8)抛物线 y = x (- 2 ≤ x ≤ 2) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个
2

正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 (A)1 (B)2 (C) 2 2 (D) 4 共 110 分)

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)函数 f() s xo 的最小正周期是 x?i ncs x (10)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为

3 ,实轴长为 4,则双曲线的方程是 2

(11)已知矩形 ABCD 中, AB = 2 , AD = 1 ,E、F 分别是 BC、CD 的中点,

??? ??? ???? ? ? 则 ( AE + AF ) AC 等于



禳 1 18 镲 (12)已知数列 {an } , an+ 1 = an +2 , a1 =1 ,数列 镲 的前 n 项和为 ,则 n= 睚 镲 n an+ 1 37 a 镲 铪

.

?2 ? x ? 1 x ? 0 (13)已知函数 f ( x) ? ? 1 在区间 [- 1, m] 上的最大值是 1,则 m 的取值范围是 ? 2 x?0 ?x ?
. (14) 已知函数 f ( x) 是定义在 (0, + ; f (4) + f (5) = 三、解答题 (15) (本小题满分 13 分) 在 ? B 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, cos A = AC (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin C 及 ? B 的面积. AC 且 若 f () n ) 上的单调递增函数, x ? N* 时,f ( x) ? N* , f [ n] 3 = , f= 则 2 ) (

π 3 ,B= ,b = 4 5

2.

(16) (本小题满分 13 分) 一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成绩如下表: 学生 数学 物理
A1 A2 A3 A4 A5

89 87

91 89

93 89

95 92

97 93

(Ⅰ)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定; (Ⅱ)从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率.

(17) (本小题满分 13 分) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 A1D⊥B1C1; (Ⅱ)判断 A1B 与平面 ADC1 的位置关系,并证明你的结论.

(18) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = (ax + 1)e x . (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a > 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [- 2,0] 上的最小值.

19.(本小题满分 14 分)

1 已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ? ,点 P 的轨迹为曲线 C。 4
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点, 直线 AQ, 与直线 x=4 分别交于 M、 两点,直线 BM 与椭圆的交点为 D。 BQ N 求线段 MN 长度的最小值。

(20)(本小题满分 13 分) 已知数列 {a n } 的各项均为正整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ,

,或?i ? 0,或?i ? 1} 1≤ k ≤ n) ( 设集合 Ak ? {x | x ? ? ?i ai,?i ? ?1 。
i ?1

n

性质 1 若对于 ?x ? Ak ,存在唯一一组 ?i ( i ? 1,2, ???,k )使 x ? ? ?i ai 成立,则称数列 {a n } 为完备数列,当
i ?1

k

k 取最大值时称数列 {a n } 为 k 阶完备数列。 性质 2 若记 mk ? ? ai ,且对于任意 x ≤ mk , x ?Z ,都有 x ? Ak 成立,则称数列 {a n } 为完整数 (1≤ k ≤ n)
i ?1 k

列,当 k 取最大值时称数列 {a n } 为 k 阶完整数列。 性质 3 若数列 {a n } 同时具有性质 1 及性质 2,则称此数列 {a n } 为完美数列,当 k 取最大值时 {a n } 称为 k 阶 完美数列; (Ⅰ)若数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 2n ? 1 ,求集合 A2 ,并指出 {a n } 分别为几阶完备数列,几阶完整数列, 几阶完美数列; (Ⅱ)若数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 10 的和 S n 。 (Ⅲ)若数列 {a n } 为 n 阶完美数列,试写出集合 An ,并求数列 {a n } 通项公式。
n ?1

,求证:数列 {a n } 为 n 阶完备数列,并求出集合 An 中所有元素

2013 年大兴区高三一模练习 高三数学(文科)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)C (2)A (6)D (3)C (7)D (4)A (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

(9) π
15 2

(10 )

x2 y2 ? ?1 4 5

(11)

(12) 18

(13) ? ?1,1?

(14) 3 , 15

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 cos A ?

4 3 , A是?ABC内角 ,所以 sin A ? , 5 5 a b ? sin A sin B


由正弦定理:

a 2 ? 4 π sin 5 4

得: a ?

8 5

(Ⅱ)在 ?ABC 中, sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin(A ? B)

4 2 3 2 7 2 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
1 1 8 7 2 28 ?ABC 的面积为: s ? ab sin C ? ? ? 2 ? ? 2 2 5 10 25

(16) (本小题共 13 分) 解: (I) 5 名学生数学成绩的平均分为: (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93 5 名学生数学成绩的方差为:

1 5

1 [(89 ? 93) 2 ? (91 ? 93) 2 ? (93 ? 93) 2 ? (95 ? 93) 2 ? (97 ? 93) 2 ] ? 8 5

5 名学生物理成绩的平均分为: (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5 名学生物理成绩的方差为:

1 5

1 24 [(87 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 5 5
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. (Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分为事件 A 5 名学生中选 2 人包含基本事件有:

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A5 , A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 ,

共 10 个.

事件 A 包含基本事件有: A1 A4 , A1 A5 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 , 共 7 个.

则 P( A) ?

7 10
7 . 10

所以,5 名学生中选 2 人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率为

(17)(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA ? 面ABC ,所以 AA1 ? BC , 1 在等边 ?ABC 中,D 是 BC 中点,所以 AD ? BC 因为 在平面 A1 AD 中, A1 A ? AD ? A ,所以 BC ? 面A1 AD 又因为 A1D ? 面A1AD ,所以, A1 D ? BC 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 BCC1 B1 是平行四边形,所以 B1C1 // BC 所以, A1 D ? B1C1 (Ⅱ) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 ACC1 A1 是平行四边形, 在平行四边形 ACC1 A1 中联结 A1C ,交于 AC1 点 O,联结 DO. 故 O 为 A1C 中点. 在三角形 A1CB 中,D 为 BC 中点,O 为 A1C 中点,故 DO // A1 B . 因为 DO ? 平面DAC1 , A1 B ? 平面DAC1 ,所以, A1 B // 面 ADC1 故, A1 B与面 ADC1 平行 (18) (本小题共 14 分)

解:定义域为 R

f ' ( x) ? (ax ? 1) ' e x ? (ax ? 1)(e x ) ' ? e x (ax ? a ? 1)
(Ⅰ)①当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? 0 ,则 f ( x ) 的单调增区间为 (??,??)
' x

a ?1 a ?1 ' ,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? , a a a ?1 a ?1 则 f ( x ) 的单调增区间为 (? ,??) , f ( x ) 的单调减区间为 (??,? ) a a a ?1 a ?1 ' ' ③当 a ? 0 时,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? ,解 f ( x) ? 0 得, x ? ? , a a a ?1 a ?1 则 f ( x ) 的单调增区间为 (??,? ) , f ( x ) 的单调减区间为 (? ,??) a a
②当 a ? 0 时,解 f ( x) ? 0 得, x ? ?
'

?a ? 0 a ?1 a ?1 ? (Ⅱ) ①当 ? a ? 1 时, 即 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (?2,? ) 上是减函数,在 (? ,0) 上是增函数, a a ? ? a ? ?2 ?

则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为

f (?

? a ?1 ) ? ?ae a

a ?1 a

?a ? 0 ? ②当 ? a ? 1 时, 即 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [?2,0] 上是增函数, ? ? ?2 ? a ?
则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为 f (?2) ?

1 ? 2a e2
? a ?1 a

综上: 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为 ? ae

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为

1 ? 2a e2

(19) (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)设 P( x, y ) ,由题意知

y y 1 1 k AP ? k BP ? ? ,即 ? ? ? ( x ? ?2) 4 x?2 x?2 4

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2) 化简得曲线 C 方程为: 4

(Ⅱ)思路一 满足题意的直线 AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为 y ? k ( x ? 2) ,

?1 ?1 ,所以,设直线 QB 方程为 y ? ( x ? 2) , 4k 4 ?1 当 x ? 4 时得 N 点坐标为 N (4, ) ,易求 M 点坐标为 M (4,6k ) 2k
由(Ⅰ)知 k QB ? k ? 所以 | MN |? 6k ?

1 1 1 ? 2 | 6k | ? ?2 3, = | 6k | ? | 2k | 2k | 2k |

当且仅当 k ? ?

3 时,线段 MN 的长度有最小值 2 3 . 6

思路二:满足题意的直线 AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? x2 2 ? ? y ?1 联立方程: ? 4 ? y ? k ( x ? 2) ?
2 2 2 2 消元得 (4k ? 1) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 ,

设 Q ( x 0 , y 0 ) , M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) , 由韦达定理得: ? 2 ? x 0 ?

16 k 2 ? 4 , 4k 2 ? 1

所以 x 0 ? 所以 Q(

? 8k 2 ? 2 4k ,代入直线方程得 y 0 ? , 2 4k ? 1 4k 2 ? 1

2 ? 8k 2 4k , ) ,又 B(2,0) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

4k ?0 1 1 ? 4k 2 ?? 所以直线 BQ 的斜率为 , 2 4k 2 ? 8k ?2 1 ? 4k 2

以下同思路一 思路三:设 Q ( x 0 , y 0 ) ,则直线 AQ 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) x0 ? 2

直线 BQ 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) x0 ? 2

当 x ? 4 ,得 yM ? 当 x ? 4 ,得 yN ? 则 MN ?

6 y0 6 y0 ,即 M (4, ) x0 ? 2 x0 ? 2 2 y0 2 y0 ,即 N (4, ) x0 ? 2 x0 ? 2

6 y0 2 y0 2x ? 8 ? ? 2 y0 ? 20 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

MN ? 4 y0 2 ? (
2

2 x0 ? 8 2 ) x0 2 ? 4

又 x0 2 ? 4 y0 2 ? 4 所以 MN ?
2

4( x0 ? 4)2 4 ? x0 2

利用导数,或变形为二次函数求其最小值。 (20) (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ) A2 ? {?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4} ;

{a n } 为 2 阶完备数列, n 阶完整数列,2 阶完美数列;
(Ⅱ)若对于 ?x ? An ,假设存在 2 组 ? i 及 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ?

?? a
i ?1 i

n

i

成立,则有

?110 0 ? ?2 10 2 ? ? ? ?n 10 n?1 ? ?110 0 ? ? 2 10 2 ? ? ? ? n 10 n?1 ,即
(?1 ? ?1 )10 0 ? (?2 ? ? 2 )101 ? ? ? (?n ? ? n )10 n?1 ? 0
, 其 中

?i , ? i ? {?1,0,1}







?1 ? ?1 , ?2 ? ? 2 ??n ? ? n ,
所以仅存在唯一一组 ? i ( i ? 1,2?, n )使 x ? 即数列 {a n } 为 n 阶完备数列;

?? a
i ?1 i

n

i

成立,

S n ? 0 , ?x ? An ,x ? ? ?i ai , ? x ? ?? ?i ai ?? (??i )ai , 对 则 因为 ?i ? {?1,0,1} , ? ?i ? {?1,0,1} , 则
i ?1

n

n

n

i ?1

i ?1

所以 ? x ? An ,即 S n ? 0 (Ⅲ)若存在 n 阶完美数列,则由性质 1 易知 An 中必有 3 个元素,由(Ⅱ)知 An 中元素成对出现(互为相 反数) ,且 0 ? An ,又 {a n } 具有性质 2,则 An 中 3 个元素必为
n n

An ? {?

3n ? 1 3n ? 3 3n ? 3 3n ? 1 ,? ,? ? 1,0,1,? , }。 2 2 2 2

an ? 3n ?1


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