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2015-2016学年高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算练习 新人教A版选修2-2

时间:2015-12-28


2015-2016 学年高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算练习 新人 教 A 版选修 2-2
一、选择题 1.(2014·郑州六校质量检测)设复数 z=a+bi(a、b∈R),若 =2-i 成立,则点 1+i

z

P(a,b)在(

) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象

限 C.第三象限 [答案] A [解析] ∵ 第一象限.

=2-i,∴z=(2-i)(1+i)=3+i,∴a=3,b=1,∴点 P(a,b)在 1+i

z

2.(2014·新课标Ⅱ理,2)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i, 则 z1z2=( A.-5 C.-4+i [答案] B [解析] 本题考查复数的乘法,复数的几何意义. ∵z1=2+i,z1 与 z2 关于虚轴对称,∴z2=-2+i, ∴z1z2=-1-4=-5,故选 B. 3.定义运算? A.3-i C.3+i [答案] A [解析] 由定义得? 4+2i ∴z= =3-i. 1+i 故应选 A. 4.(2014~2015·洛阳市高二期中)已知 i 为虚数单位,z 为复数,下面叙述正确的是 ( ) - A.z- z 为纯虚数
1

) B.5 D.-4-i

?a b? ?1 -1 ? ?=ad-bc,则符合条件? ?=4+2i 的复数 z 为( zi? ?c d? ?z
B.1+3i D.1-3i

)

?1 -1 ? ?=zi+z=z(1+i)=4+2i, zi? ?z

B.任何数的偶数次幂均为非负数 C.i+1 的共轭复数为 i-1 D.2+3i 的虚部为 3 [答案] D [解析] 当 z 为实数时 A 错;由 i =-1 知 B 错;由共轭复数的定义知 1+i 的共轭复 数为 1-i,C 错,故选 D. 5.(2015·泰安市高二期末)设 a,b 为实数,若复数 3 1 A.a= ,b= 2 2 1 3 C.a= ,b= 2 2 [答案] A 1+2i [解析] 由 =1+i 可得 1+2i=(a-b)+(a+b)i, a+bi 所以?
? ?a-b=1, ?a+b=2, ?
2

1+2i =1+i,则( a+bi

)

B.a=3,b=1 D.a=1,b=3

3 1 解得 a= ,b= ,故选 A. 2 2

1 3 2 3 4 5 6 6.(2014·长安一中质检)设 z= + i(i 是数单位),则 z+2z +3z +4z +5z +6z 2 2 =( ) A.6z - C.6 z [答案] C 1 3 1 3 1 3 1 2 3 4 5 6 [解析] z =- + i,z =-1,z =- - i,z = - i,z =1,∴原式=( + 2 2 2 2 2 2 2 3 5 5 3 1 3 i) + ( - 1 + 3i) + ( - 3) + ( - 2 - 2 3i) + ( - i) + 6 = 3 - 3 3i = 6( - i) = 2 2 2 2 2 - 6z. 二、填空题 7.(2015·海南文昌中学高二期中)已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为 1+2i,-2+i,-1-2i,那么第四个顶点对应的复数是________________. [答案] 2-i [解析] 不妨设正方形的三个顶点 A,B,C 对应的复数分别为 1+2i,-2+i,-1- 2i, → → 则 A(1,2),B(-2,1),C(-1,-2),易知AB·BC=0,
2

B.6z

2

D.-6z

设 D(x,y),则 AB∥DC, → → 因此应满足AB=DC,即(-3,-1)=(-1-x,-2-y)
? ?-1-x-=-3, 即? ?-2-y=-1, ?

解得?

? ?x=2, ?y=-1. ?

则 D(2,-1),对应的复数为 2-i, 故答案为 2-i. 8.设复数 z1、z2 在复平面内的对应点分别为 A、B,点 A 与 B 关于 x 轴对称,若 z1(1- i)=3-i,则|z2|=________________. [答案] 5

[解析] ∵z1(1-i)=3-i, 3-i ?3-i??1+i? ∴z1= = =2+i, 1-i ?1-i??1+i? ∵A 与 B 关于 y 轴对称, ∴z1 与 z2 互为共轭复数, - ∴z2= z 1=2-i,∴|z2|= 5. 1+ai 9.设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 的值为________________. 2-i [答案] 2 1+ai ?1+ai??2+i? [解析] ∵ = 2-i ?2-i??2+i? =
? ?2-a=0, ?2-a?+?2a+1?i 为纯虚数,∴? 5 ?2a+1≠0, ?

∴a=2.

三、解答题 10.把复数 z 的共轭复数记作 z ,已知(1+2i) z =4+3i,求 z 及

z z

.

[解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi, 由已知得: (1 + 2i)(a - bi) = (a + 2b) + (2a - b)i = 4 + 3i ,由复数相等的定义知,
?a+2b=4, ? ? ? ?2a-b=3.

得 a=2,b=1,

∴z=2+i. ∴

z

2+i ?2+i? 3+4i 3 4 = = = = + i. 5 5 5 z 2-i ?2-i??2+i?

2

3

一、选择题 11.(2015·北京市东城区高二期末)已知复数 z1=a+i,z2=1+i,其中 a∈R, 是纯 虚数,则实数 a 的值为( A.-1 C.-2 [答案] A ) B.1 D.2

z1 z2

z1 a+i ?a+i??1-i? ?a+1?+?1-a?i [解析] ∵ = = = 为纯虚数, z2 1+i ?1+i??1-i? 2
∴?
?a+1=0, ? ?1-a≠0. ?

∴a=-1,故选 A.

1+2i - - 12. (2014·洛阳市期末)i 为虚数单位, 若复数 z= , z 的共轭复数为 z , 则 z· z 2-i =( ) A.1 C. 25 9 B.-1 25 D.- 9

[答案] A 1+2i ?1+2i??2+i? 5i [解析] ∵z= = = =i, 2-i ?2-i?·?2+i? 5 - - ∴ z =-i,∴z· z =1. 1-z 13.设复数 z 满足 =i,则|1+z|=( 1+z A.0 C. 2 [答案] C 1-z 1-i [解析] ∵ =i,∴z= , 1+z 1+i 1-i 2 ∴z+1= +1= =1-i,∴|z+1|= 2. 1+i 1+i 2 2 14.(2014·石家庄质检)设 z=1+i(i 是虚数单位),则 +z 等于( B.1 D.2 )

z

)

A.-1+i C.1+i [答案] C

B.-1-i D.1-i

4

[解析]

2

2 2 2 +z = +(1+i) =1-i+2i=1+i. z 1+i

二、填空题

x y 5 15.设 x、y 为实数,且 + = ,则 x+y=________________. 1-i 1-2i 1-3i
[答案] 4 [解析]

x y 5 + = 可化为, 1-i 1-2i 1-3i
+ 5 = 10 ,

x?1+i? y?1+2i? 5?1+3i?
2

?x y? ?x 2 ? 1 3 即? + ?+? + y?i= + i, ?2 5? ?2 5 ? 2 2
x y 1 ? ?2+5=2, 由复数相等的充要条件知? x 2 3 ? ?2+5y=2.
?x=-1, ? ? ?y=5,

∴?

∴x+y=4.

3+i 16.若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=________________. i [答案] 17

3+i [解析] ∵z= -i=-3i+1-i=1-4i, i ∴|z|= 17. 三、解答题 17.设存在复数 z 同时满足下列条件: (1)复数 z 在复平面内对应点位于第二象限; (2)z· z +2iz=8+ai(a∈R). 试求 a 的取值范围. [解析] 设 z=x+yi(x,y∈R),由(1)得 x<0,y>0, 由(2)得,x +y +2i(x+yi)=8+ai, 即 x +y -2y+2xi=8+ai.
? ?x +y -2y=8, 由复数相等的定义得,? ?2x=a, ② ?
2 2 2 2 2 2 2 2



由①得 x +(y-1) =9,∵x<0,y>0,∴-3≤x<0,∴-6≤a<0. 18.设关于 x 的方程是 x -(tanθ +i)x-(2+i)=0. (1)若方程有实数根,求锐角 θ 和实数根;
2

5

(2)证明:对任意 θ ≠kπ +

π (k∈Z),方程无纯虚数根. 2
2 2

[解析] (1)设实数根是 a,则 a -(tanθ +i)a-(2+i)=0,即 a -atanθ -2-(a+ 1)i=0,
? ?a -atanθ -2=0, ∵a、tanθ ∈R,∴? ?a+1=0; ?
2

π π ∴a=-1,且 tanθ =1,又 0<θ < ,∴θ = . 2 4 (2)若方程存在纯虚数根,设为 bi(b∈R,b≠0), 则(bi) -(tanθ +i)bi-(2+i)=0, 化简整理得-b +b-2-(btanθ +1)i=0.
? ?-b +b-2=0 即? ?btanθ +1=0 ?
2 2 2

此方程组无实数解,

π ∴对任意 θ ≠kπ + (k∈Z),方程无纯虚数根. 2

6


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