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1.3.2函数的奇偶性专题训练

时间:2017-08-16


1.3.2 函数的奇偶性专题训练
一.选择题(共 12 小题) 1.已知函数 f(x)=3x﹣( )x,则 f(x) ( A.是偶函数,且在 R 上是增函数 C.是偶函数,且在 R 上是减函数 )

B.是奇函数,且在 R 上是增函数 D.是奇函数,且在 R 上是减函数 )

2.如果 f(x)是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( A.y=x+f(x) B.y=xf(x) C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x) )

3.下列函数中,为偶函数的是( A.y=x+1 B.y= C.y=x4 D.y=x5

4.定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (2+x )=f (2﹣x) ,且 f (1)=1,则 f (2017) =( A.0 ) B.1 C.﹣1 D.﹣2

5.已知偶函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x﹣1)为奇函数,且 f(2)=3,则 f(5)+f(6) 的值为( ) D.3

A.﹣3 B.﹣2 C.2

6.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=3x﹣1, 则 f(9)=( A.﹣2 B.2 ) C. D.

7.已知函数 f(x)与 g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x3﹣ 2﹣x,则 f(2)+g(2)=( A.4 B.﹣4 C.2 )

D.﹣2 )

8. 已知 y=f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时, f (x) =2x﹣1, 则f (﹣2) 等于 ( A.3 B.﹣3 C.﹣ D.﹣

9.已知奇函数 f(x) 的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(﹣1)=﹣1,则 f(2017) +f(2016)=( ) D.1 )

A.﹣2 B.﹣1 C.0

10.已知函数 F(x)=f(x)+x2 是奇函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=( A.9 B.﹣9 C.﹣7 D.7

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11.函数 f(x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象关于( A.直线 x=1 对称



B.直线 x=﹣1 对称 C.点(1,0)对称 D.点(﹣1,0)对称 )

12.若函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,则 f(2017)=( A.﹣2017 B.0 C.1 D.2017

二.填空题(共 14 小题) 13.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x﹣2) .若当 x∈[﹣3,0]时,f(x) =6﹣x,则 f(919)= .

14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则 f(2) = . .

15.已知函数 f(x)=x2﹣m 是定义在区间[﹣3﹣m,m2﹣m]上的奇函数,则 f(m)= 16.f(x)= 17.设函数 f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 k= 为奇函数,则实数 a= . . . .

18.已知函数 f(x)=ax3+bx+1,若 f(a)=8,则 f(﹣a)= 19.若函数 f(x)=(x﹣a) (x+3)为偶函数,则 f(2)=

20.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2) ,则 实数 a 的取值范围是 . .

21.设函数 f(x)=(x+1) (2x+3a)为偶函数,则 a=

22.已知定义在(﹣1,1)上的奇函数 f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x)=x2﹣1,若 f(x0) = ,则 x0= . . .

23.若函数 f(x)=x(x﹣1) (x+a)为奇函数,则 a= 24.已知函数 f(x)=a﹣

(a 为实数)为奇函数,则 a 的值为 .

25.已知函数 f(x)=ax3+bx,若 f(a)=8,则 f(﹣a)=

26.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2x﹣1,则 f(﹣2)=



三.解答题(共 4 小题) 27.已知函数 f(x)= .

(Ⅰ)求函数 f(x)的定义域;

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(Ⅱ)判定 f(x)的奇偶性并证明; (Ⅲ)用函数单调性定义证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数.

28.对于函数 (Ⅰ)求函数的定义域;



(Ⅱ)当 a 为何值时,f(x)为奇函数; (Ⅲ)写出(Ⅱ)中函数的单调区间,并用定义给出证明.

29.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=﹣x2+2x (1)求函数 f(x)在 R 上的解析式; (2)写出 f(x)单调区间(不必证明)

30.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣x; (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求不等式 f(x)<0 的解集.

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1.3.2 函数的奇偶性专题训练
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1. (2017?北京)已知函数 f(x)=3x﹣( )x,则 f(x) ( A.是偶函数,且在 R 上是增函数 C.是偶函数,且在 R 上是减函数 )

B.是奇函数,且在 R 上是增函数 D.是奇函数,且在 R 上是减函数

【解答】解:f(x)=3x﹣( )x=3x﹣3﹣x, ∴f(﹣x)=3﹣x﹣3x=﹣f(x) , 即函数 f(x)为奇函数, 又由函数 y=3x 为增函数,y=( )x 为减函数, 故函数 f(x)=3x﹣( )x 为增函数, 故选:B.

2. (2017?杨浦区三模)如果 f(x)是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函 数的是( ) C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x)

A.y=x+f(x) B.y=xf(x)

【解答】解:∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) . 对于 A,g(﹣x)=﹣x+f(﹣x)=﹣x﹣f(x)=﹣g(x) , ∴y=x+f(x)是奇函数. 对于 B,g(﹣x)=﹣xf(﹣x)=xf(x)=g(x) , ∴y=xf(x)是偶函数. 对于 C,g(﹣x)=(﹣x)2+f(﹣x)=x2﹣f(x) , ∴y=x2+f(x)为非奇非偶函数, 对于 D,g(﹣x)=(﹣x)2f(﹣x)=﹣x2f(x)=﹣g(x) , ∴y=x2f(x)是奇函数. 故选 B.

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3. (2017?枣阳市校级模拟)下列函数中,为偶函数的是( A.y=x+1 B.y= C.y=x4 D.y=x5



【解答】解:对于 A,既不是奇函数,也不是偶函数, 对于 B,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,是奇函数, 对于 C,定义域为 R,满足 f(x)=f(﹣x) ,则是偶函数, 对于 D,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,是奇函数, 故选:C.

4. (2017?青岛一模)定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (2+x )=f (2﹣x) ,且 f (1) =1,则 f (2017)=( A.0 B.1 )

C.﹣1 D.﹣2

【解答】解:定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f (2+x )=f (2﹣x) ,且 f (1)=1, 可得 f(x+4)=f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x+8)=f(x) ,T=8, f(2017)=f(1)=1. 故选 B.

5. (2017?全国二模)已知偶函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x﹣1)为奇函数,且 f(2)=3, 则 f(5)+f(6)的值为( A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3 )

【解答】解:∵f(x﹣1)为奇函数, ∴f(﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1) , ∵f(x)是偶函数, ∴f(﹣x﹣1)=f(x+1)=﹣f(x﹣1) , 即 f(x+2)=﹣f(x) , f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x) , 则 f(5)=f(1) , f(6)=f(2)=3, 当 x=﹣1 时,由 f(x+2)=﹣f(x) , 得 f(1)=﹣f(﹣1)=﹣f(1) , 即 f(1)=0, ∴f(5)+f(6)=3,
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故选:D.

6. (2017?渝中区校级三模)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣ 2,0]时,f(x)=3x﹣1,则 f(9)=( A.﹣2 B.2 C. D. )

【解答】解:根据题意,函数 f(x)满足 f(x﹣2)=f(x+2) ,即 f(x)=f(x+4) , 则函数 f(x)的周期为 4, f(9)=f(1) , 又由函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=﹣f(﹣1) , 又由当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=3x﹣1, 则 f(﹣1)=3﹣1﹣1= ﹣1=﹣ ; 则有 f(9)=f(1)=﹣f(﹣1)= ; 故选:D.

7. (2017?腾冲县校级一模)已知函数 f(x)与 g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, 且 f(x)﹣g(x)=x3﹣2﹣x,则 f(2)+g(2)=( A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2 )

【解答】解:f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x3+2﹣
x

,…①

那么:f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x3+2x,…② 由①②可得:f(x)= (2x+2﹣x) ,g(x)= (﹣2x3+2x﹣2﹣x) f(2)+g(2)= (4+ )+ (﹣16+4﹣ )=﹣4 故选:B

8. (2017?常德一模)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x﹣1, 则 f(﹣2)等于( A.3 )

B.﹣3 C.﹣ D.﹣

【解答】解:根据题意,当 x>0 时,f(x)=2x﹣1,则 f(2)=22﹣1=3, 又由函数 f(x)为 R 上的奇函数,

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则 f(﹣2)=﹣f(2)=﹣3; 故选:B.

9. (2017?天河区三模)已知奇函数 f(x) 的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(﹣1) =﹣1,则 f(2017)+f(2016)=( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 )

【解答】解:∵奇函数 f(x) 的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数, ∴f(0)=0,且 f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(x﹣2) , 则 f(x+4)=﹣f(x) ,则 f(x+8)=﹣f(x+4)=f(x) , 则函数 f(x)的周期是 8,且函数关于 x=2 对称, 则 f(2017)=f(252×8+1)=f(1)=﹣f(﹣1)=﹣(﹣1)=1, f(2016)=f(252×8)=f(0)=0, 则 f(2017)+f(2016)=0+1=1, 故选:D

10. (2017?泸州模拟)已知函数 F(x)=f(x)+x2 是奇函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=( A.9 B.﹣9 C.﹣7 D.7



【解答】解:∵F(x)=f(x)+x2 是奇函数,∴F(﹣x)=﹣F(x) , 即 f(﹣x)+x2=﹣f(x)﹣x2,∴f(﹣x)+f(x)=﹣2x2, 即 f(﹣2)+f(2)=﹣2×(﹣2)2=﹣8, ∴f(﹣2)=﹣f(2)﹣8=﹣9, 故选:B.

11. (2017?自贡模拟)函数 f(x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象关于( A.直线 x=1 对称 B.直线 x=﹣1 对称 C.点(1,0)对称 D.点(﹣1,0)对称



【解答】解:因为 y=f(x+1)是偶函数, 所以 y=f(x+1)的图象关于 y 轴对称, 而把 y=f(x+1)右移 1 个单位可得 y=f(x)的图象, 故 y=f(x)的图象关于 x=1 对称, 故选 A.

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12. (2017?台州一模)若函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,则 f(2017)= ( ) C.1 D.2017

A.﹣2017 B.0

【解答】解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, ∴f(1)=f(﹣1) , ∴﹣f(1)=f(﹣1)=f(1) , ∴f(1)=f(﹣1)=0, ∴f(2017)=f(1)=0. 故选:B.

二.填空题(共 14 小题) 13. (2017?山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x﹣2) .若当 x∈[﹣3, 0]时,f(x)=6﹣x,则 f(919)= 6 .

【解答】解:由 f(x+4)=f(x﹣2) .则 f(x+6)=f(x) , ∴f(x)为周期为 6 的周期函数, f(919)=f(153×6+1)=f(1) , 由 f(x)是定义在 R 上的偶函数,则 f(1)=f(﹣1) , 当 x∈[﹣3,0]时,f(x)=6﹣x, f(﹣1)=6﹣(﹣1)=6, ∴f(919)=6, 故答案为:6.

14. (2017?新课标Ⅱ)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(﹣∞,0)时,f(x) =2x3+x2,则 f(2)= 12 .

【解答】解:∵当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2, ∴f(﹣2)=﹣12, 又∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(2)=12, 故答案为:12

15. (2017?山西一模)已知函数 f(x)=x2﹣m 是定义在区间[﹣3﹣m,m2﹣m]上的奇函数,

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则 f(m)=

﹣1



【解答】解:由已知必有 m2﹣m=3+m,即 m2﹣2m﹣3=0,∴m=3,或 m=﹣1; 当 m=3 时,函数即 f(x)=x﹣1,而 x∈[﹣6,6],∴f(x)在 x=0 处无意义,故舍去. 当 m=﹣1 时,函数即 f(x)=x3,此时 x∈[﹣2,2],∴f(m)=f(﹣1)=(﹣1)3=﹣1. 综上可得,f(m)=﹣1, 故答案为﹣1.

16. (2017?宛城区校级四模)f(x)=

在定义域上为奇函数,则实数 k=

±1



【解答】解:若 f(x)= 则 f(﹣x)=﹣f(x) , 即 =﹣ ,

在定义域上为奇函数,



=﹣



则(k?2x﹣1) (1+k?2x)=﹣(k﹣2x) (k+2x) , 即 k2?22x﹣1=﹣(k2﹣22x, 则 k2?22x﹣1+k2﹣22x=0, 即 k2﹣1=0,解得 k=±1, 故答案为:±1

17. (2017?河北区模拟)设函数 f(x)= 【解答】解:∵函数 ∴f(x)+f(﹣x)=0, ∴f(1)+f(﹣1)=0, 即 2(1+a)+0=0, ∴a=﹣1. 故答案为:﹣1. 为奇函数,

为奇函数,则实数 a=

﹣1 .

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18. (2017?蚌埠三模)已知函数 f(x)=ax3+bx+1,若 f(a)=8,则 f(﹣a)= 【解答】解:∵函数 f(x)=ax3+bx+1, ∴f(﹣x)=a(﹣x)3+b(﹣x)+1=﹣ax3﹣bx+1, ∴f(﹣x)+f(x)=2, ∴f(﹣a)+f(a)=2. ∵f(a)=8, ∴f(a)=﹣6. 故答案为﹣6.

﹣6



19. (2017?贵州模拟)若函数 f(x)=(x﹣a) (x+3)为偶函数,则 f(2)= 【解答】解:因为函数 f(x)=(x﹣a) (x+3)是偶函数, 所以? x∈R,都有 f(﹣x)=f(x) , 所以? x∈R,都有(﹣x﹣a)?(﹣x+3)=(x﹣a) (x+3) , 即 x2+(a﹣3)x﹣3a=x2﹣(a﹣3)x﹣3a, 所以 a=3, 所以 f(2)=(2﹣3) (2+3)=﹣5. 故答案为:﹣5.

﹣5



20. (2017?重庆模拟)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数,若 f (a)≥f(2) ,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) .

【解答】解:∵函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是减函数, ∴函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∵f(a)≥f(2) ,即 f(|a|)≥f(2) , ∴|a|≥2, 解得 a≥2 或 a≤﹣2. ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) .

21. (2017?乐山一模)设函数 f(x)=(x+1) (2x+3a)为偶函数,则 a= 【解答】解:函数 f(x)=(x+1) (2x+3a)=2x2+(3a+2)x+3a ∵函数 f(x)=(x+1) (2x+3a)为偶函数,
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∴2x2﹣(3a+2)x+3a=2x2+(3a+2)x+3a ∴3a+2=0 ∴a=﹣ , 故答案为:

22. (2017?市中区校级模拟)已知定义在(﹣1,1)上的奇函数 f(x) ,当 x∈(0,1)时, f(x)=x2﹣1,若 f(x0)= ,则 x0= ﹣ .

【解答】解:因为 f(x)是奇函数,由 x∈(0,1)时,f(x)=x2﹣1,当 x∈(﹣1,0)时, f(x)=﹣x2+1, 所以 故答案为:﹣ 时, . .

23. (2017?福州一模)若函数 f(x)=x(x﹣1) (x+a)为奇函数,则 a=

1



【解答】解:由题意,f(﹣1)=﹣f(1) ,即﹣1×(﹣2)×(﹣1+a)=0,∴a=1, 故答案为 1.

24. (2017?红桥区模拟) 已知函数 f (x) =a﹣ 【解答】解:由题意,f(0)=a﹣ =0, ∴a= . 故答案为; .

(a 为实数) 为奇函数, 则 a 的值为



25. (2017?谯城区校级模拟)已知函数 f(x)=ax3+bx,若 f(a)=8,则 f(﹣a)= 【解答】解:根据题意,对于函数 f(x)=ax3+bx, 则有 f(﹣x)=a(﹣x)3+b(﹣x)=﹣(ax3+bx)=﹣f(x) , 即函数 f(x)为奇函数, 若若 f(a)=8,则 f(﹣a)=﹣f(a)=﹣8; 故答案为:﹣8.

﹣8



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26. (2017?常德一模)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2x﹣1,则 f(﹣2)= ﹣3 .

【解答】解:根据题意,当 x>0 时,f(x)=2x﹣1, 则 f(2)=22﹣1=3, 又由 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 则 f(﹣2)=﹣f(2)=﹣3; 故答案为:﹣3.

三.解答题(共 4 小题) 27. (2017 春?雅安期末)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)判定 f(x)的奇偶性并证明; (Ⅲ)用函数单调性定义证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数. 【解答】解: (Ⅰ)由 1﹣x2≠0,得 x≠±1,即 f(x)的定义域{x|x≠±1}…(4 分) ; (Ⅱ)f(x)为偶函数. ∵f(x)定义域关于原点对称,且 f(﹣x)=f(x) ∴f(x)为偶函数;…(8 分) (III)证明:f(x)= = = ﹣1, .

设 1<x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=



=2( ∵1<x1<x2,





∴x1﹣x2<0,1﹣x2<0,1﹣x1<0, 则 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , 则函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数.

28. (2016 秋?商丘期末)对于函数



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(Ⅰ)求函数的定义域; (Ⅱ)当 a 为何值时,f(x)为奇函数; (Ⅲ)写出(Ⅱ)中函数的单调区间,并用定义给出证明. 【解答】 (1)解:由题意可得,2x﹣1≠0 即 x≠0 ∴定义域为{x|x≠0} (2)解:由 f(x)是奇函数,则对任意 x∈{x|x≠0}

化简得(a﹣1)2x=a﹣1∴a=1 ∴a=1 时,f(x)是奇函数 (3)当 a=1 时, 的单调递减区间为(﹣∞,0)和(0,+∞) .

证明: 任取 x1, x2∈ (0, +∞) 且 x1<x2 则 ∵0<x1<x2 y=2x 在 R 上递增∴ ∴ , ,

∴f(x1)﹣f(x2)>0∴f(x) 在(0,+∞) 上单调递减.同理:f(x) 在(﹣∞,0)上 单调递减. 综上: 在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞) 上单调递减.

29. (2016 秋?历下区校级期末)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=﹣x2+2x (1)求函数 f(x)在 R 上的解析式; (2)写出 f(x)单调区间(不必证明) 【解答】解: (1)设 x<0,则﹣x>0,f(﹣x)=﹣(﹣x)2+2(﹣x)=﹣x2﹣2x. (3 分) 又 f(x)为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x) . 于是 x<0 时 f(x)=x2+2x(5 分) 所以 f(x)= (6 分)

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(2)由 f(x)= 可知 f(x)在[﹣1,1]上单调递增,在(﹣∞,﹣1) 、 (1,+∞)上单调递减 分) (12

30. (2016 秋?虹口区校级期末)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2 ﹣x; (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求不等式 f(x)<0 的解集. 【解答】解: (1)设 x<0,则﹣x>0,∵当 x≥0 时,f(x)=x2﹣x,∴f(﹣x)=x2+x, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2﹣x, ∴当 x<0 时,f(x)=﹣x2﹣x, 综上所述,f(x)= ;

(2)当 x≥0 时,f(x)=x2﹣x<0,∴0<x<1; 当 x<0 时,f(x)=﹣x2﹣x<0,∴x<﹣1 或 x>0,∴x<﹣1, 综上所述,不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 0<x<1}.

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函数的奇偶性练习题[(附答案)

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1.3.2《函数的奇偶性》教案

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1-3-2-1函数的奇偶性

1.3.2.1 函数的奇偶性一、选择题 1.下列命题中错误的是( ) ①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与 y ...