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2017高考领航高三一轮理科数学课时规范训练8-4

时间:2016-07-31


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2016· 随州模拟)过坐标原点且与圆 x2-4x+y2+2=0 相切的直线方程为 ( A.x+y=0 C.x-y=0 B.x+y=0 或 x-y=0 D.x+ 3y=0 或 x- 3y=0 )

解析:当斜率 k 不存在时,过原点的直线方程为 x=0,因为圆心(2,0)到此直 线的距离 2> 2(圆的半径)

,此时不合题意;当斜率 k 存在时,过原点的直线方 程为 kx-y=0,要使该直线与圆相切,则有 所以,切线方程为 x+y=0 或 x-y=0. 答案:B 2.若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( A.21 C.9 B.19 D.-11 ) |2k| = 2,解得 k=± 1, k2+1

解析:圆 C2 的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25-m. 又圆 C1:x2+y2=1, ∴|C1C2|=5. 又∵两圆外切,∴5=1+ 25-m,解得 m=9. 答案:C x y 3.(2016· 桂林中学月考)若直线a+b=1(a>0,b>0)始终平分圆 x2+y2-4x- 2y-8=0 的周长,则 ab 的取值范围是( 1? ? A.?-∞,8? ? ? C.(0,8] )

1? ? B.?0,8? ? ? D.[8,+∞)

解析:由 x2+y2-4x-2y-8=0 配方得(x-2)2+(y-1)2=13,所以圆心坐标 x y x y 为(2,1). 若直线a+b=1(a>0, b>0)始终平分圆的周长, 则直线a+b=1(a>0, b>0)

2 1 2 1 必经过点(2,1),所以a+b=1.所以 1=a+b≥2

2 2 1 ab,即 ab≥8,当且仅当a=b=

1 2,即 a=4,b=2 时取等号.故 ab 的取值范围是[8,+∞). 答案:D 4.已知点 A 是圆 C:x2+y2+ax+4y-5=0 上任意一点,A 点关于直线 x+ 2y-1=0 的对称点也在圆 C 上,则实数 a=________. ? a ? 解析:依题意知直线 x+2y-1=0 过圆心 C?-2,-2?, ? ? a ∴-2-4-1=0,即 a=-10. 答案:-10 5.(2016· 西安模拟)已知点 P 是圆 C:x2+y2+4x-6y-3=0 上的一点,直 线 l:3x-4y-5=0.若点 P 到直线 l 的距离为 2,则符合题意的点 P 有________ 个. 解析:由题意知圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=42, ∴圆心到直线 l 的距离 d= |-6-12-5| 23 = 5 >4, 5

故直线与圆相离,则满足题意的点 P 有 2 个. 答案:2 6.(2014· 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x -2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为________. 解析:圆心为(2,-1),半径 r=2. 圆心到直线的距离 d= |2+2×?-1?-3| 3 5 = 5 , 1+4 ?3 5?2 2 55 ?= 22-? 5 . ? 5 ?

所以弦长为 2 r2-d2=2 2 55 答案: 5

7.已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,

则此圆的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切. 则有 |4+2a| 3 =2.解得 a=-4. 2 a +1

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

? ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2.
|CD|=
2

|4+2a| , a2+1
2

2

2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 8.(2016· 如皋模拟)已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点 A、B; (2)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线? → → (3)若定点 P(1,1)分弦 AB 为PB=2AP,求直线 l 的方程. 解:(1)证明:圆心 C(0,1),半径 r= 5,则圆心到直线 l 的距离 d= <1, ∴d<r,∴对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点(或此直线恒过一个 定点,且这个定点在圆内). (2)设中点 M(x,y),因为 l:m(x-1)-(y-1)=0 恒过定点 P(1,1), → → ∴CM· MP=0,∴(x,y-1)· (1-x,1-y)=0, 整理得:x2+y2-x-2y+1=0, 1 1 ? 1? ?1 ? 即:?x-2?2+(y-1)2=4,表示圆心坐标是?2,1?,半径是2的圆, ? ? ? ? ?mx-y+1-m=0 (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),解方程组? 2 2 ?x +?y-1? =5 得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, |-m| 1+m2

2m2 ∴x1+x2= ① 1+m2 → → 又PB=2AP,∴(x2-1,y2-1)=2(1-x1,1-y1), 即:2x1+x2=3② 3+m2 ?m+1?2 联立①②解得:x1= ,则 y1= , 1+m2 1+m2 ?3+m ?m+1? ? ?. 即 A? 2, 1+m2 ? ?1+m 将 A 点的坐标代入圆的方程得:m=± 1, ∴直线 l 的方程为 x-y=0,x+y-2=0. [B 级 能力突破]
2 2

1.(2016· 洛阳三校联考)已知圆 C:(x+1)2+(y-1)2=1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切与 B 点,设劣弧 AB 的中点为 M,则过点 M 的圆 C 的切线方程是( A.y=x+2- 2 C.y=x-2+ 2 B.y=x+1- 1 2 )

D.y=x+1- 2

? 2 2 ? 解析:由已知得 A(-1,0),B(0,1),则易得 kAB=1,M? -1,- +1?, 2 2 ? ? 2 2 所以切线斜率为 1,故切线方程为 y+ 2 -1=x- 2 +1,即 y=x+2- 2. 答案:A 2.(2014· 高考江西卷)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动 点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为 ( 4 A.5π C.(6-2 5)π 3 B.4π 5 D.4π )

解析:∵∠AOB=90° ,∴点 O 在圆 C 上. 设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D,则点 C 与点 O 间的距离等于它到 直线 2x+y-4=0 的距离, ∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上,

∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为|OD|. 又|OD|= |2×0+0-4| 4 2 = ,∴圆 C 的最小半径为 , 5 5 5

?2? 4 ∴圆 C 面积的最小值为 π? ?2=5π. ? 5? 答案:A 3.已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,N,M 分 别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17 )

2 2 解析:作圆 C1 关于 x 轴的对称圆 C′ 1 :(x-2) +(y+3) =1,则|PM|+|PN|=

|PM|+|PN′|,由图可知当 C2,M,P,N′,C′ 1 在同一直线上时,|PM|+|PN|= |PM|+|PN′|取得最小值,即为|C′ 1 C2|-1-3=5 2-4.故选 A.

答案:A 4.(2016· 山东青岛期中检测)已知点 P(-2,-3),圆 C:(x-4)2+(y-2)2 =9,过 P 点作圆 C 的两条切线,切点分别为 A,B,过 P,A,C 三点的圆的方 程为________. 解析:圆 C 的圆心 C(4,2),∵PA⊥AC,PB⊥BC,∴P,A,B,C 四点共圆, 1? ? 所求圆的圆心 O′ 在 PC 的中点,即 O′ ?1,-2? ,所求圆的半径 r′ = ? ? ? 1 ? ?1+2?2+?-2+3?2= ? ?
2

61 ? 1? 2 ?y+2? ,∴过 P , A , B 三点的圆的方程为 ( x - 1) + 4 ? ?

61 =4. ? 1? 61 答案:(x-1)2+?y+2?2= 4 ? ?

5.(2014· 高考湖北卷)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2 =1 分成长度相等的四段弧,则 a2+b2=________. 解析:作出图像,数形结合解答. 依题意,不妨设直线 y=x+a 与单位圆相交于 A,B 两点,则∠AOB=90° . 如图,此时 a=1,b=-1,满足题意,所以 a2+b2=2.

答案:2 6.(2015· 高考山东卷)过点 P(1, 3)作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点分别 → → 为 A,B,则PA· PB=________. 解析:如图所示,可知 OA⊥AP,OB⊥BP,OP= 1+3=2,又 OA=OB= → → 3 1,可以求得 AP=BP= 3,∠APB=60° ,故PA· PB= 3× 3×cos 60° =2.

3 答案:2 7.已知过点 A(-1,0)的动直线 l 与圆 C:x2+(y-3)2=4 相交于 P,Q 两点, M 是 PQ 中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N.

(1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程;

→ → (3)探索AM· AN是否与直线 l 的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关, 请说明理由. 1 解:(1)证明:∵l 与 m 垂直,且 km=-3,∴kl=3, 故直线 l 的方程为 y=3(x+1)即 3x-y+3=0 ∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 的方程, ∴当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意, ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 即 kx-y+k=0,∵PQ=2 3,∴CM= 4-3=1, 则由 CM= |-3+k| 4 ,得 k=3,∴直线 l:4x-3y+4=0, 2 k +1

故直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. → → → → → (3)∵CM⊥MN,∴AM· AN=(AC+CM)· AN → → → → → → =AC· AN+CM· AN=AC· AN. 5? ? ①当 l 与 x 轴垂直时,易得 N?-1,-3?, ? ? → ? 5? 则AN=?0,-3?, ? ? → → → → → 又AC=(1,3),∴AM· AN=AC· AN=-5. ②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1), ?y=k?x+1?, ?-3k-6 -5k ? , ?, 则由? 得 N? ? 1+3k 1+3k? ?x+3y+6=0, → ? -5 -5k ? , ?, 则AN=? ?1+3k 1+3k? → → → → -5 -15k ∴AM· AN=AC· AN= + =-5. 1+3k 1+3k → → → → 综上所述,AM· AN与直线 l 的倾斜角无关,且AM· AN=-5.


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