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江西省赣中南五校2017届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题


江西赣中南五校 2017 届高三一摸测试 数学试卷(理科)
题号 得分 一、选择题 二、填空题 三、简答题 四、综合题 总分

一、单项选择题(每题 5 分,共 60 分) 1、设集合 ,则集合 等于( )

A.

B.

C. 2、如果函数 A 3 . a≥9 C.a≥5

r />D. ) -

在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( B . a≤

D.a≤-7

3、 函数

的定义域为(



A. (

,1)

B. (

,+



C. ( 1 ,

+



D.

4





函 (

数 ) B.6 D.12

,

A.3 C.9

5 、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸,那么可得这个几何体最长的棱长是
·1·



) A、2 D、 B、 C、

6、已知点 A.

在经过

两点的直线上,则 B.

的最小值为 ( C.

)

D.不存在 7、为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设 定原信息为 a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0⊕a1,h1=h0⊕ a2,⊕运算规则为 0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为 111,则传输信息为 01111, 信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( A . 11 111 010 B . 01 100 D.00 011 ) C . 10

8、如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条 固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致 是( )

9、

中,

分别为

的对边,如果

成等差数列,



的面积为

,那么 为(



·2·

A. D.

B.

C.

10、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若



,则 cosB=( )

A.-

B.

C.-

D.

11、已知双曲线的方程为 支于点 P,且 y 轴平分线段 A. D. 12 、已知函数 ( )

,过左焦点 ,则双曲线的离心率是( B. )

作斜率为

的直线交双曲线的右

C.

的大致图象如图所示,则函数

的解析 式应

A.

B.

C. 二、填空题(每空 5 分,共 20 分)

D.

13、定积分

____________.

14、某城区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 000 户,其中农民家庭 1 800 户,工人家庭 100 户. 现要从中抽取容量为 40 的样本调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法的 是 .(填序号)
·3·

①简单随机抽样;②系统抽样;③分层抽样.

15、 已知命题 p: x2+3x-3>0; 命题 q:

> 1, 若“綈 q 且 p”为真, 则 x 的取值范围是________.

16、已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2) ,且当 x∈时,y=f(x)单调递减,给 出以下四个命题: ①f(2)=0; ②x=﹣4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在单调递增; ④若方程 f(x)=m 在上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣8. 上述命题中所有正确命题的序号为 .

三、综合题:必考题每题 12 分,选考题共 10 分;总分 70 分。 必考题 17、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 足 ( 线; Ⅰ ) . 求 证 : A 、 B 、 C 三 点 共 ;A、B、C 三点满足满

(Ⅱ)已知 A(1,cosx) ,B(1+cosx,cosx) (0≤x≤ 实数 m 的值.

) ,

的最小值为﹣

,求

18、已知数列 (1)若 (2)设

与 ,且 ,

满足 ,求数列 ( ) ,求

, 的通项公式;

.

的取值范围,使得

有最大值

与最小值

,且

·4·

.

19、2016 年里约奥运会在巴西里约举行,为了接待来自国内外的各界人士,需招募一批志愿者,要 求志愿者不仅要有一定的气质,还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识。志愿者的选拔分面试 和知识问答两场,先是面试,面试通过后每人积 60 分,然后进入知识问答。知识问答有 A,B,C,D 四 个题目,答题者必须按 A,B,C,D 顺序依次进行,答对 A,B,C,D 四题分别得 20 分、20 分、40 分、60 分,每答错一道题扣 20 分,总得分在面试 60 分的基础上加或减。答题时每人总分达到 100 分或 100 分以上,直接录用不再继续答题;当四道题答完总分不足 100 分时不予录用。 假设志愿者甲面试已

通过且第二轮对 A,B,C,D 四个题回答正确的概率依次是 有影响.

, 且各题回答正确与否相互之间没

(Ⅰ) 用 X 表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数,求 X 的分布列和数学期 (Ⅱ)求志愿者甲能被录用的概率.

望;

20、四棱锥 S-ABCD 中,侧面 SAD 是正三角形,底面 ABCD 是正方形,且平面 SAD⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、SC 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 SAD; (Ⅱ)求二面角 S-CM-D 的余弦值.

·5·

21、如图,已知抛物线 上的定点,它们到焦点

,其焦点 的距离均为 ,且点

到准线的距离为 ,点

、点

是抛物线

位于第一象限.

(1)求抛物线 (2)若点 三条切线

的方程及点 是抛物线 ,若

、点 异于

的坐标; 、 、 的一动点,分别以点 、 、 为切点作抛物线 的



分别相交于 D、E、H,设

的面积依次



,记

,问:

是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。

22、 (1)当

已知函数 时,求函数 , 的单调区间; 恒成立,求 的取值范围;

(2)若

·6·

(3)若

,证明:

.

选考题 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑。 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,F 为 BA 延长线上一点,且 (1) (2) ; . ,求证:

23. 选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,曲线 的方程为 (为参数) ,曲线 的极坐标方程为 点. (1)求 (2)求点 的值; 到 A、B 两点的距离之积. ,若曲线 与 相交于 A、B 两

24. 选修 4-5:不等式选讲 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 点 ,点 ,
·7·

、 ,

之 间 的 直 角 距 离 为

(1)若 (2)当 时,不等式

,求的取值范围; 恒成立,求 t 的最小值.

理科数学参考答案 一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、C 5、A 6、B 7、C 8、A 9、C 10、B 11、C
·8·

12、A 二、填空题 13、 【解析】

试题分析: 考点:定积分 14、①②③ 【解析】由于各家庭有明显差异,所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三 类家庭中抽出若干户,即 36 户、2 户、2 户.又由于农民家庭户数较多,那么在农民家庭这一层宜采 用系统抽样;而工人、知识分子家庭户数较少,宜采用简单随机抽样法.故整个抽样过程三种抽样方 法都要用到. 15、 (-∞,-3)∪(1,2]∪∪时,y=f(x)单调递减,结合函数的奇偶性画出函数 f(x)的简图, 如图所示. 从图中可以得出: ②x=﹣4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在单调递减; ④若方程 f(x)=m 在上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣8. 故答案为:①②④.

·9·

【点评】本题考查函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断,考查学生的综合分析与转化能力,属于 难题. 三、简答题

17、 【分析】 (Ⅰ)根据向量减法的几何意义,在 进行向量的数乘运算便可得出 线;

两边同减去



,这样便可得出三点 A,B,C 共

(Ⅱ)根据上面容易求出点 C 的坐标,并求出向量

的坐标,从而得出 f(x)=(cosx﹣m)2+1

﹣ m2 , 这 样 根 据 配 方 的式 子 , 讨 论 m 的 取 值 : m < 0 , 0≤m≤1 , m > 1 ,这 样 即 可 求 出 m 的 值. 【 解 答 】 解 : ( ; Ⅰ ) 由 已 知 得

即 ;

∴ A ;















·10·

∴ 线;

A



B



C







( ;





∴ ;

∵ ;



=

= m2 ;



cosx



m



2+1



·11·

∵ ∈;





cosx

① 当 去)

m < 0 , 当 且 仅 当

cosx=0

时 , f ( x ) 取 得 最 小 值 为

1 ( 舍

②当 0≤m≤1 时,当且仅当 cosx=m 时,f(x)取得最小值为 1﹣m2, 去)

(舍

③ 当 m > 1 时 , 当 且 仅 当 cosx=1 时 , f ( x ) 取 得 最 小 值 2 ﹣ 2m , 2 ﹣ 2m= ∴ ;

综 m= .



【点评】考查向量减法的几何意义,向量的数乘运算,以及共线向量基本定理,根据点的坐标求向 量 法. 的 坐 标 , 以 及 配 方 求 二 次 函 数 最 值 的 方

·12·

四、综合题

18、 (1)

( 2) ”

19、解:设某题 M 答对记为“M”,答错记为“ (Ⅰ) X 的可能取值为 2,3,4



X 的分布列为: X P 2 3 4

-------6 分 (Ⅱ) 志愿者甲能被录用的概率

-------12 分 或

20、 【解析】 (Ⅰ)如图, 取 所以 面 (Ⅱ)取 , ,且 平面 的中点 ,连结

的中点

, 连结

, 则

, 且

, ,由于

, 平

,所以四边形 外,所以 ,过 作 平面

是平行四边形,则 . 于 ,分别以 ,

的垂线交





·13·

轴,建立坐标系,











设面

的法向量为

,则







,取面

ABCD 的法向量

,则

,所以二面角

的余弦值



.

:如图,取 ,所以

的中点

,连结

、 ,易得 ,所以

,连结 SH,由 ,所以 ,则有

,且面

⊥面 ,则

平面

,所以



二面角

的平面角,设

,则









,则

,所以二面角

的余弦值为

. 21、 设 因为抛物线的焦点到准线的距离为 ,所以 ,则 ,即 ,所以所求抛物线的方程为 , 同理 ;

,代入抛 物线方程 可得所

;···············4 分

(2)

,∴
·14·

∴ l1:

;l2:

;l3:

∴ D(0,-1) , ∴ ;









22、解: (Ⅰ)

时,



.

函数

的定义域为

,则由



,由





所以函数

的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

??????????4 分

(Ⅱ)由已知得

.

①若



上恒成立,则

恒成立,所以



.



时,



单调递减,
·15·

,与

恒成立矛盾.

??????????6 分

②当

时,令

,得

.

所以当 递增.

时,



单调递减;当

时,



单调

所以

.



得,

,所以

.

综上,所求 的取值范围是 分

.

??????????9

(Ⅲ)

时,由(Ⅱ)得

.

??????11 分

令 所以当 所

,则 时, ,

. 单增;当 时, , 单减. 以

. ?13 分 所以 ,即 .

?????????

22.(1)证明:连接 AD,在



·16·

又 则



(2)在 又

中,

四点共圆;



是⊙

的直径,则



23.(1)曲线

的普通方程为 , ,

, 则 的 普 通 方 程 为



的参数方程为:

为参数) ,代入





.
·17·

(2) 24.(1)由定义得 解得 (2)当 ; 时,不等式 ,即

. ,两边平方得 ,

恒成立,也就是

恒成立,

法一:函数

令 即可,故 因为

,所以 .



要使原不等式恒成立只要 法二:三角不等式性质

,所以



.

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·18·


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