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2016届黑龙江省双鸭山一中高三(上)期末数学试卷(理科)解析版


2015-2016 学年黑龙江省双鸭山一中高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求) 1. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)设全集 U={x|x<4,x∈N},A={0,1,2},B={2, 3},则 B∪?UA 等于( ) A.{3} B.{2,3} C.?

D.{0,1,2,3} 2. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)已知 i 是虚数单位,复数 A.i﹣2 B. + C.﹣2 D.2 =( )

3. (5 分) (2015 春?潍坊期末)已知 x=lnπ,y=log

π,z=e

,则(



A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x 4. (5 分) (2009 秋?宁波期末)执行如图的程序框图,若 p=9,则输出的 S=(



A.

B.

C.

D.

5. (5 分) (2014?东营二模)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积是( )

A.48cm

3

B.98cm

3

C.88cm

3

D.78cm

3

6. (5 分) (2015?甘肃一模)若 x,y 满足约束条件

,且向量 =(3,2) , =(x,

y) ,则 ? 的取值范围(



A.[ ,5] B.[ ,5] C.[ ,4] D.[ ,4] 7. (5 分) (2015?益阳校级模拟)在公差不为零的等差数列{an}中,2a3﹣a7 +2a11=0,数列 {bn}是等比数列,且 b7=a7,则 log2(b6b8)的值为( ) A.2 B.4 C.8 D.1 8. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)若 a,b∈R,命题 p:直线 y=ax+b 与圆 x +y =1 相交; 命题 ,则 p 是 q 的 ( )
2 2 2

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)若先将函数 上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再将所得图象向左平移 函数图象的一条对称轴的方程是( A. B. C. ) D. 图象 个单位,所得

10. (5 分) (2011?武汉模拟)在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 的最小值是( )

A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 11. (5 分) (2014?海口二模)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时, 有 恒成立,则不等式 x f(x)>0 的解集是(
2



A. (﹣2,0)∪(2,+∞) B. (﹣2,0)∪(0,2) C. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) 12. (5 分) (2015?山西三模)过曲线 C1:
2 2 2



=1(a>0,b>0)的左焦点 F1 作曲线
2

C2:x +y =a 的切线,设切点为 M,延长 F1M 交曲线 C3:y =2px(p>0)于点 N,其中曲 线 C1 与 C3 有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线 C1 的离心率为( ) A. B. ﹣1 C. +1 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分) (2015 秋?枣阳市校级期末)二项式 的展开式中的常数项为______.

14. (5 分) (2016?山东校级一模)由曲线 y= ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积 为______. 15. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 且满足 4cos
2

﹣cos2(B+C)= ,若 a=2,则△ABC 的面积的最大值是______.

16. (5 分) (2015?开封模拟)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x ﹣2)=f(x+2)且当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的 方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是______. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)在等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6﹣4,其 前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
x

18. (12 分) (2016?邯郸模拟)甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支 代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相 互之间没有影响,用 ξ 表示甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 19. (12 分) (2015?河南二模)如图,已知长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中 点.将△ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM⊥平面 ABCM. (1)求证:AD⊥BM; (2) 若点 E 是线段 DB 上的一动点, 问点 E 在何位置时, 二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为 .

20. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)设椭圆 C1:

+

=1,F1,F2 分别是椭圆的左

右焦点,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C1 交于 M,N 两点. (I)是否存在直线 l,使得 ? =﹣2,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由; 为定值.

(Ⅱ)若 AB 是椭圆 C1 经过原点 O 的弦,且 MN∥AB,求证:

21. (12 分) (2015?包头校级模拟)已知函数 f(x)=mx﹣ ,g(x)=2lnx. (Ⅰ)当 m=1 时,判断方程 f(x)=g(x)在区间(1,+∞)上有无实根. (Ⅱ)若 x∈(1,e]时,不等式 f(x)﹣g(x)<2 恒成立,求实数 m 的取值范围. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?呼和浩特二模)已知△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外接圆劣弧 的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F (1)求证:∠CDF=∠EDF; (2)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB. 上

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?陕西二模)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系 取相等的长度单位.已知直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数,0<α<π) ,曲线

C 的极坐标方程为 ρsin θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2015 秋?双鸭山校级期末)设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3a|+3a,x∈R. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>7 的解集;

(2)对任意 m∈R ,x∈R 恒有 f(x)≥9﹣m﹣ ,求实数 a 的取值范围.

+

2015-2016 学年黑龙江省双鸭山一中高三(上)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求) 1. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)设全集 U={x|x<4,x∈N},A={0,1,2},B={2, 3},则 B∪?UA 等于( ) A.{3} B.{2,3} C.? D.{0,1,2,3} 【分析】先求出全集 U={3,2,1,0},然后进行补集、并集的运算即可. 【解答】解:U={3,2,1,0}; ∴?UA={3}; ∴B∪?UA={2,3}. 故选:B. 【点评】考查描述法和列举法表示集合,以及全集的概念,补集、并集的运算. 2. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)已知 i 是虚数单位,复数 A.i﹣2 B. + C.﹣2 D.2 =( )

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解: = ,

故选:B. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.

3. (5 分) (2015 春?潍坊期末)已知 x=lnπ,y=log

π,z=e

,则(



A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性,判断出 x、y、z 与 0、的大小关系即可得到答 案. 【解答】解:∵x=lnπ>1,y=log π<0,z=e ∈(0,1) ,

∴y<z<x, 故选:D. 【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用:比较大小,一般与中间量:0、1 进 行比较,属于基础题. 4. (5 分) (2009 秋?宁波期末)执行如图的程序框图,若 p=9,则输出的 S=( )

A.

B.

C.

D.

【分析】首先根据程序框图,理解其意义,然后按照程序顺序进行执行循环,当满足跳出循 环的条件时输出结果. 分析程序中各变量、 各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知: 该程序的作用是输出满足条件 S═ +… + 的值.

【解答】解:根据题意,本程序框图为求和运算 第 1 次循环:S=0+ 第 2 次循环:S= … 第 8 次循环:S═ +…+ = n=9 + n=2 n=3

此时,n<9,输出 S= ﹣

故选 D. 【点评】 本题考查程序框图, 通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行. 通 过按照循环体的执行,考查运算能力.属于基础题 5. (5 分) (2014?东营二模)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积是( )

A.48cm B.98cm C.88cm D.78cm 【分析】几何体是长方体削去一个三棱锥,画出其直观图,判断长方体的长、 宽、高的数值, 再判断削去的三棱锥的相关几何量的值,代入体积公式计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是长方体削去一个三棱锥,如图:

3

3

3

3

长方体的长、宽、高分别为 6、3、6,∴长方体的体积为 6×6×3=108; 削去的三棱锥的底面直角三角形的两直角边长分别为 3,5,高为 4,∴体积为 × ×3×5 ×4=10; 3 ∴几何体的体积 V=108﹣10=98(cm ) . 故选:B. 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积, 解答此类问题的关键是判断几何体的形状及 相关几何量的数值.

6. (5 分) (2015?甘肃一模)若 x,y 满足约束条件

,且向量 =(3,2) , =(x,

y) ,则 ? 的取值范围(



A.[ ,5] B.[ ,5] C.[ ,4] D.[ ,4] 【分析】由数量积的定义计算出 ? =3x+2y,设 z=3x+2y,作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.

【解答】解:∵向量 =(3,2) , =(x,y) , ∴ ? =3x+2y, 设 z=3x+2y, 作出不等式组对于的平面区域如图: 由 z=3x+2y,则 y= 平移直线 y= 经过点 B 时,直线 y= , ,由图象可知当直线 y= ,

的截距最大,此时 z 最大,



,解得

,即 B(1,1) ,

此时 zmax=3×1+2×1=5, 经过点 A 时,直线 y= 的截距最小,此时 z 最小,



,解得

,即 A( , ) ,

此时 zmin=3× +2× = , 则 ≤z≤5 故选:A.

【点评】本题主要考查线性规划以及向量数量积的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合 是解决本题的关键. 7. (5 分) (2015?益阳校级模拟)在公差不为零的等差数列{an}中,2a3﹣a7 +2a11=0,数列 {bn}是等比数列,且 b7=a7,则 log2(b6b8)的值为( ) A.2 B.4 C.8 D.1
2

【分析】根据数列{an}为等差数列可知 2a7=a3+a11,代入 2a3﹣a7 +2a11=0 中可求得 a7,再根 2 2 据{bn}是等比数列可知 b6b8=b7 =a7 代入 log2(b6b8)即可得到答案. 【解答】解:∵数列{an}为等差数列, ∴2a7=a3+a11, 2 ∵2a3﹣a7 +2a11=0, 2 ∴4a7﹣a7 =0 ∵a7≠0 ∴a7=4 ∵数列{bn}是等比数列, 2 2 ∴b6b8=b7 =a7 =16 ∴log2(b6b8)=log216=4 故选:B 【点评】本题主要考查了等比中项和等差中项的性质.属基础题. 8. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)若 a,b∈R,命题 p:直线 y=ax+b 与圆 x +y =1 相交; 命题 ,则 p 是 q 的 ( )
2 2

2

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】分别求出命题 p 和 q 的等价条件,利用充分必要的定义进行判断; 【解答】解:若直线 y=ax+b 与圆 x +y =1 相交, 则圆心到直线的距离 d= <1,即|b|< ,此时 a> 不一定成立,
2 2

若 a>



则等价于

,即 b <a +1,即|b|<

2

2

,成立,

∴p 是 q 必要不充分条件, 故选 A; 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据直线和圆的位置关系求出命题的等 价条件是解决本题的关键.

9. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)若先将函数 上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再将所得图象向左平移 函数图象的一条对称轴的方程是( A. B. C. ) D.

图象 个单位,所得

【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得 y=2sinx,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象变换规律及正弦函数的图象和性质即可得解.

【解答】解:∵

=2sin[(x﹣

)+

]=2sinx,

∴先将函数图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,可得函数为:y=2sin x, 再将所得图象向左平移 ∴由 + =kπ+ 个单位,所得函数为:y=2sin (x+ )=2sin( + ) ,

,k∈Z,可解得对称轴的方程是:x=2kπ+ .

,k∈Z,当 k=0 时,可得

函数图象的一条对称轴的方程是:x=

故选:D. 【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及 正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查. 10. (5 分) (2011?武汉模拟)在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 的最小值是( )

A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 【分析】由题意画出草图分析,由于在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,所以 =2 ,所以 ═ ?2 ,而|OA|+|OM|=2≥2 利用均值

不等式即可求得. 【解答】解:由题意画出草图:

由于点 M 为△ABC 中边 BC 的中点,∴ ∴ ?( )= ?2

=2



=﹣2|OA|?|OM|.

∵O 为中线 AM 上的一个动点,即 A、O、M 三点共线 ∴|AM|=|OA|+|OM|=2≥2 (当且仅当“OA=OM“时取等号) ? |OA|?|OM| ≤1, 又 ?2 =﹣2|OA|?|OM|≥﹣2,所以则 的最小值为﹣2.

故选 B 【点评】此题考查了三角形的中线,两向量的和的平行四边形法则,均值不等式及不等式的 性质. 11. (5 分) (2014?海口二模)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时, 有 恒成立,则不等式 x f(x)>0 的解集是(
2



A. (﹣2,0)∪(2,+∞) B. (﹣2,0)∪(0,2) C. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) 【分析】首先根据商函数求导法则,把 化为[ ]′<0;然后利用导

函数的正负性,可判断函数 y=

在(0,+∞)内单调递减;再由 f(2)=0,易得 f(x)

在(0,+∞)内的正负性;最后结合奇函数的图象特征,可得 f(x)在(﹣∞,0)内的正 2 负性.则 x f(x)>0?f(x)>0 的解集即可求得. 【解答】解:因为当 x>0 时,有 恒成立,即[ ]′<0 恒成立,

所以

在(0,+∞)内单调递减.

因为 f(2)=0, 所以在(0,2)内恒有 f(x)>0;在(2,+∞)内恒有 f(x)<0. 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以在(﹣∞,﹣2)内恒有 f(x)>0;在(﹣2,0)内恒有 f(x)<0. 2 又不等式 x f(x)>0 的解集,即不等式 f(x)>0 的解集. 所以答案为(﹣∞,﹣2)∪(0,2) . 故选 D. 【点评】 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系, 同时考查了奇偶函数的图 象特征.

12. (5 分) (2015?山西三模)过曲线 C1:
2 2 2



=1(a>0,b>0)的左焦点 F1 作曲线
2

C2:x +y =a 的切线,设切点为 M,延长 F1M 交曲线 C3:y =2px(p>0)于点 N,其中曲 线 C1 与 C3 有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线 C1 的离心率为( ) A. B. ﹣1 C. +1 D.

【分析】双曲线的右焦点的坐标为(c,0) ,利用 O 为 F1F2 的中点,M 为 F1N 的中点,可 得 OM 为△NF1F2 的中位线,从而可求|NF1|,再设 N(x,y) 过点 F 作 x 轴的垂线,由 勾股定理得出关于 a,c 的关系式,最后即可求得离心率. 【解答】解:设双曲线的右焦点为 F2,则 F2 的坐标为(c,0) 2 因为曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点,所以 y =4cx 因为 O 为 F1F2 的中点,M 为 F1N 的中点,所以 OM 为△NF1F2 的中位线, 所以 OM∥NF2, 因为|OM|=a,所以|NF2|=2a 又 NF2⊥NF1,|FF2|=2c 所以|NF1|=2b 设 N(x,y) ,则由抛物线的定义可得 x+c=2a, ∴x=2a﹣c 过点 F1 作 x 轴的垂线,点 N 到该垂线的距离为 2a 2 2 2 2 2 2 由勾股定理 y +4a =4b ,即 4c(2a﹣c)+4a =4(c ﹣a )

得 e ﹣e﹣1=0, ∴e= .

2

故选:D 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,考查抛物线的定 义,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分) (2015 秋?枣阳市校级期末) 二项式 【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项式 0 求出 r,将 r 的值代入通项求出展开式的常数项. 【解答】解:展开式的通项为 Tr+1=(﹣2) C8 令 =0 得 r=2,
2 2 r r

的展开式中的常数项为 112 . 展开式的通项,令 x 的指数为



所以展开式中的常数项为(﹣2) C8 =112. 故答案为:112. 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 14. (5 分) (2016?山东校级一模)由曲线 y= 为 . ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积

【分析】利用微积分基本定理即可求出. 【解答】解:如图所示: 联立 解得 ,∴M(4,2) .由曲线 y= ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形

的面积 S= 故答案为 .

=

=



【点评】熟练掌握微积分基本定理是解题的关键. 15. (5 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 且满足 4cos
2

﹣cos2(B+C)= ,若 a=2,则△ABC 的面积的最大值是



【分析】利用三角形的内角和,结合已知条件等式,可得关于 A 的三角方程,从而可以求 得 A 的大小,利用余弦定理及基本不等式,可求得 bc,从而可求△ABC 的面积的最大值. 【解答】 (本题满分为 10 分) 解:∵A+B+C=π, ∴4cos
2

﹣cos (B+C)=2(1+cosA)﹣cos2A=﹣2cos A+2cosA+3= , …(4 分)

2

2

∴2cos A﹣2cosA+ =0. ∴cosA= . ∵0<A<π,∴A=

2

°.…(6 分)
2 2

∵a=2,由余弦定理可得:4=b +c ﹣bc≥2bc﹣bc=bc, (当且仅当 b=c=2,不等式等号成立) . ∴bc≤4. ∴S△ ABC= bcsinA≤ × = .…(10 分)

故答案为: . 【点评】本题的考点是解三角形,主要考查三角形的内角和,考查二倍角公式的运用,考查 三角形的面积公式,基本不等式的运用,知识点多,计算需要细心,属于中档题. 16. (5 分) (2015?开封模拟)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x ﹣2)=f(x+2)且当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的 方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是 ( 2) . ,
x

【分析】 由已知中可以得到函数 f (x) 是一个周期函数, 且周期为 4, 将方程 f (x) ﹣loga =0 x+2 恰有 3 个不同的实数解,转化为函数 f(x)的与函数 y=﹣loga 的图象恰有 3 个不同的交 点,数形结合即可得到实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵对于任意的 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(2+x) ,∴函数 f(x)是一个周期函数, 且 T=4. 又∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0 恰有 3 个不同的实数解, 则函数 y=f(x)与 y=loga(x+2)在区间(﹣2,6]上有三个不同的交点,如下图所示:
x

x+2

又 f(﹣2)=f(2)=3, 则对于函数 y=loga(x+2) ,由题意可得,当 x=2 时的函数值小于 3,当 x=6 时的函数值大于 3, 即 loga4<3,且 loga8>3,由此解得: 故答案为: ( ,2) . <a<2,

【点评】 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 指数函数与对数函数的图象与性 质,其中根据方程的解与函数的零点之间的关系,将方程根的问题转化为函数零点问题,是 解答本题的关键,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)在等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6﹣4,其 前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知列方程组求得首项和公差,代入等差数列 的通项公式得答案; (2)求出等差数列的前 n 项和 Sn=n ,代入 bn= 消法数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由 2a1+3a2=11,2a3=a2+a6﹣4,得 2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11 ①, 2a3=a2+a6﹣4,即 2(a1+2d)=a1+d+a1+5d﹣4 ②, 联立①②解得 d=2,a1=1, ∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×2=2n﹣1;
2

=

=

,然后利用裂项相

(2)Sn=na1+ n(n﹣1)d=n×1+ n(n﹣1)×2=n , bn= = = = ﹣ , )=1﹣ = .

2

∴Tn=( ﹣ )+(

)+( ﹣ )+…+( ﹣

【点评】 本题考查了等差数列的通项公式, 训练了裂项相消法求数列的前 n 项和, 是中档题. 18. (12 分) (2016?邯郸模拟)甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支 代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相 互之间没有影响,用 ξ 表示甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 【分析】 (Ⅰ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出 P(ξ=0) ,P(ξ=1) ,P(ξ=2) , P(ξ=3) ,由此能求出随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ) . (Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B,分别求出 P (A) ,P(AB) ,再由 P(B/A)= ,能求出结果.

【解答】解: (Ⅰ)由题设知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)=(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )= ,

P(ξ=1)= (1﹣ ) (1﹣ )+(1﹣ )× ×(1﹣ )+(1﹣ ) (1﹣ )× = , P(ξ=2)= P(ξ=3)= = , + + = ,

∴随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 P 数学期望 E(ξ)=0× +1× +2×

1

2

3

+3× =



(Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B, 则 P(A) = P(AB)= + = , + = ,

P(B|A)=

=

= .

【点评】本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望,考查条件概率的求法,是历年高 考的必考题型之一,解题时要注意排列组合知识的合理运用. 19. (12 分) (2015?河南二模)如图,已知长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中 点.将△ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM⊥平面 ABCM. (1)求证:AD⊥BM; (2) 若点 E 是线段 DB 上的一动点, 问点 E 在何位置时, 二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为 .

【分析】 (1)先证明 BM⊥AM,再利用平面 ADM⊥平面 ABCM,证明 BM⊥平面 ADM, 从而可得 AD⊥BM; (2)建立直角坐标系,设 ,求出平面 AMD、平面 AME 的一个法向量,利用向 ,即可得出结论.

量的夹角公式,结合二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为

【解答】 (1)证明:∵长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,M 为 DC 的中点, ∴AM=BM= , ∴BM⊥AM, ∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM? 平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD? 平面 ADM ∴AD⊥BM; (2)建立如图所示的直角坐标系,设 ,

则平面 AMD 的一个法向量



=(





) ,

设平面 AME 的一个法向量为 取 y=1,得 x=0,y=1,z=



,所以 =(0,1,

) ,

因为

求得

,所以 E 为 BD 的中点.

【点评】本题考查线面垂直,考查面面角,正确运用面面垂直的性质,掌握线面垂直的判定 方法,正确运用向量法是关键.

20. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级期末)设椭圆 C1:

+

=1,F1,F2 分别是椭圆的左

右焦点,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C1 交于 M,N 两点. (I)是否存在直线 l,使得 ? =﹣2,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由; 为定值.

(Ⅱ)若 AB 是椭圆 C1 经过原点 O 的弦,且 MN∥AB,求证:

【分析】 (Ⅰ)由题意设存在直线 l 为 y=k(x﹣1) , (k≠0) ,由
2 2 2

,得(3+4k )

2

x ﹣8k x+4k ﹣12=0,由此利用韦达定理、向量的数量积公式能求出直线 l 的方程.

(Ⅱ)利用弦长公式求出|MN|,由

,消去 y,并整理得:

,从而

求出|AB|,由此能证明

为定值.

【解答】解: (Ⅰ)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意. ②当直线斜率存在时,设存在直线 l 为 y=k(x﹣1) , (k≠0) ,且 M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 由 ,得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2





=x1x2+y1y2=
2

=

+k (



=

=﹣2.

解得 k= , 故直线 l 的方程为 y= (x﹣1)或 y=﹣ (x﹣1) .…(8 分) 证明: (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,A(x3,y3) ,B(x4,y4) , 由(Ⅰ)得:|MN|= |x1﹣

x2|=

=

=





,消去 y,并整理得:



|AB|=

=4





=

=4 为定值…(15 分)

【点评】 本题考查直线方程的求法, 考查比值为定值的证明, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用.

21. (12 分) (2015?包头校级模拟)已知函数 f(x)=mx﹣ ,g(x)=2lnx. (Ⅰ)当 m=1 时,判断方程 f(x)=g(x)在区间(1,+∞)上有无实根. (Ⅱ)若 x∈(1,e]时,不等式 f(x)﹣g(x)<2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)m=1 时,令 +∞)上为增函数,利用 h(1)=0,可得结论; ,求导数,证明 h(x)在(0,

(Ⅱ)

恒成立,即 m(x ﹣1)<2x+2xlnx 恒成立,又 x ﹣1>0,则当 x 恒成立,构造函数 ,只需 m 小于 G(x)的

2

2

∈(1,e]时, 最小值.

【解答】解: (Ⅰ)m=1 时,令

,…(1 分)

,…(4 分) ∴h(x)在(0,+∞)上为增函数…(5 分) 又 h(1)=0,∴f(x)=g(x)在(1,+∞)内无实数根…(6 分) (Ⅱ)
2

恒成立,即 m(x ﹣1)<2x+2xlnx 恒成立, 恒成立,…(8 分)

2

又 x ﹣1>0,则当 x∈(1,e]时,



,只需 m 小于 G(x)的最小值,

,…(10 分) ∵1<x≤e,∴lnx>0, ∴当 x∈(1,e]时,G′(x)<0,∴G(x)在(1,e]上单调递减, ∴G(x)在(1,e]的最小值为 ,

则 m 的取值范围是

…(12 分)

【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,正确分离参 数,构造函数求最值是关键. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?呼和浩特二模)已知△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外接圆劣弧 的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F (1)求证:∠CDF=∠EDF; (2)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB. 上

【分析】 (I)根据 A,B,C,D 四点共圆,可得∠ABC=∠CDF,AB=AC 可得∠ABC=∠ ACB,从而得解. 2 (II)证明△BAD∽△FAB,可得 AB =AD?AF,因为 AB=AC,所以 AB?AC=AD?AF,再 根据割线定理即可得到结论. 【解答】证明: (I)∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠ABC=∠CDF 又 AB=AC∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF; (II)由(I)得∠ADB=∠ABF, ∵∠BAD=∠FAB, ∴△BAD∽△FAB, ∴ =
2



∴AB =AD?AF, ∵AB=AC, ∴AB?AC=AD?AF, ∴AB?AC?DF=AD?AF?DF, 根据割线定理 DF?AF=FC?FB, ∴AB?AC?DF=AD?FC?FB. 【点评】本题以圆为载体,考查圆的内接四边形的性质,考查等腰三角形的性质,考查三角 形的相似,属于基础题. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?陕西二模)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系 取相等的长度单位.已知直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数,0<α<π) ,曲线

C 的极坐标方程为 ρsin θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值. 【分析】 (1)利用 即可化为直角坐标方程;
2

(2)将直线 l 的参数方程代入 y =4x,利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即 可得出. 2 2 【解答】解: (I)由 ρsin θ=4cosθ,得(ρsinθ) =4ρcosθ, 2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x. 2 2 2 (II)将直线 l 的参数方程代入 y =4x,得 t sin α﹣4tcosα﹣4=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,

则 t1+t2=

,t1t2=﹣



∴|AB|=|t1﹣t2|=

=

=



当 α=

时,|AB|的最小值为 4.

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程 的根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法,属于基础题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2015 秋?双鸭山校级期末)设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3a|+3a,x∈R. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>7 的解集; (2)对任意 m∈R ,x∈R 恒有 f(x)≥9﹣m﹣ ,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)由不等式 f(x)>7,可得 ①、②的解集,再取并集,即得所求. (2)由题意可得 f(x)min≥9﹣m﹣ ,即|3a﹣1|+3a≥5,可得 ③,或 ①,或 ②.分别求得
+

④,分别求得③、④的解集,再取并集,即得所求.

【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=

,由不等式 f(x)>7,

可得

①,或

②.

解①求得 x<0,解②求得 x>4,故不等式 f(x)>7 的解集为{x|x<0 或 x>4}. (2)对任意 m∈R ,x∈R 恒有 f(x)≥9﹣m﹣ ,∴f(x)min≥9﹣m﹣ ,∴|(x﹣1) ﹣(x﹣3a)|+3a≥9﹣m﹣ ,
+

即|3a﹣1|+3a≥5,∴

③,或

④.

解③求得 a≥1,解④求得 a 无解. 综上可得,实数 a 的取值范围为[1,+∞) . 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式,函数的恒成立问题,体现 了分类讨论的数学思想,属于中档题.


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