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揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)(试题+答案)

时间:2015-03-14


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揭阳市 2014-2015 学年度高中三年级学业水平考试

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应

题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:样本数据 x1 , x2 , 其中 x 表示样本均值.

, xn 的标准差, s ?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ] ,

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? x x ? 1 ? 0 , B ? x x ? x ? 1? ? 0 ,则 A ? B ?
2

?

?

?

?

A.

??1,1?

B.

?0,1?
2

C. ?0, ?1?

D.

?0, ?1,1?

2.设 i 为虚数单位,复数 z ? ?1 ? i ? ,则 z 的共轭复数为 A. ? 2i B. 2i C. 2 ? 2i D. 2 ? 2i

3.已知命题 p :四边形确定一个平面;命题 q :两两相交的三条直线确定一个平面.则下列命题为 真命题的是 A. p ? q B. p ? q
2

C. (?p) ? q

D . p ? ( ?q )

4.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n ? A.9 B.18

1 2 2 n ,则 a3 的值为 ? a2 2
C.21 D.

11 2

5.已知 |a| ? 6 , |b| ? 4 , a 与 b 的夹角为 120° ,则 (a ? 2b) ? (a ? 3b) 的值是. A.-84 B.144 C.-48 D.-72

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?? x ? y ? 2 ? 0 z ? 6.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,且 z ? 3x ? 5 y ,则 log 3 的最大值为 2 ? x ? 3y ? 3 ? 0 ?
A.18 B.2 C .9 D. log 3

31 4

7.图 1 是某小区 100 户居民月用电量(单位:度)的频率分布直方图,记月用电量在 [50,100) 的 用户数为 A1,用电量在 [100,150) 的用户数为 A2,……,以此类推,用电量在 [300,350] 的用户 数为 A6,图 2 是统计图 1 中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图.根据图 1 提供的信息,则图 2 中输出的 s 值为 A.82 B.70 C.48 D.30

8.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 、 f ( x ? 1) 都是奇函数,则 A. f ( x ) 是奇函数 B. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ? 5) 是偶函数 D. f ( x ? 7) 是奇函数

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.一几何体的三视图如图 3 示, 则该几何体的体积为________. 10.函数 f ( x) ? 1 ? e 的图象与 x 轴相交于点 P ,则曲线在
x

P 处的切线方程是

. . .

6 11.在 ( x ? ) 的二项展开式中,常数项等于

1 x

12.抛物线 y ?

1 2 x 上到焦点的距离等于 6 的点的坐标为 8

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13.在区域 ?

?0 ? x ? 2? , 中随机取一点 P (a, b) ,则满足 b ? sin a ? 1 的概率为 ?0 ? y ? 4.

.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 ( ? ,? )( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? ? 2cos ? 与 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 的交点的极坐标为 15. (几何证明选讲选做题) 如图 4,锐角三角形 ABC 是一块钢板的余料,边 BC=24cm,BC 边上的高 AD=12cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两 个顶点分别在 AB、AC 上,则这个正方形零件的面积为 cm2. .

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 a ? c , 已知 ?ABC 的面积 S ?

3 4 cos B ? , , 2 5

b?3 2.
(1)求 a 和 c 的值; (2)求 cos( B ? C) 的值. 17. (本小题满分 12 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n (n ? 1, 2, 成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

, 6) 的同学所得

(1)求第 6 位同学的成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2)从这 6 位同学中,随机地选 3 位,记成绩落在(70,75)的人数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 如图 5,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,E 为 PD 的中点. (1)证明: PB / / 平面 AEC ; (2)已知 AP ? 1 , AD ? 3 ,设 EC 与平面 ABCD 所成的角为 ? , B 且 tan ? ?

P E A C
图5

D

3 ,求二面角 D ? AE ? C 的大小. 6

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19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

3x 1 3 3 ,f (1) ? 1,f ( ) ? ,数列 {xn } 满足 x1 ? ,xn ?1 ? f ( xn ) . ax ? b 2 4 2

(1)求 x2,x3 的值; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)证明:

x1 x2 ? ? 3 32

?

xn 3 ? . 3n 4

20. (本小题满分 14 分)

C 经过点 P(4 2, 2 7) . 已知双曲线 C 的焦点分别为 F 1 (?2 2,0), F 2 (2 2,0) ,且双曲线
(1)求双曲线 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,若点 A 在双曲线 C 上,点 B 在直线 x ?

2 上,且 OA ? OB ? 0 ,是否

存在以点 O 为圆心的定圆恒与直线 AB 相切?若存在,求出该圆的方程,若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 若实数 x 、 y 、 m 满足 | x ? m |?| y ? m | ,则称 x 比 y 更接近 m . (1)若 x ? 3 比 1 更接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个正数 a 、 b ,试判断 ( (3)当 a ? 2 且 x ? 1 时,证明:

a ? b 2 a 2 ? b2 ) 与 哪一个更接近 ab ?并说明理由; 2 2

e 比 x ? a 更接近 ln x . x

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数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:DACB CBAD 解析:9.由图 2 知,输出的 s ? A2 +A3 ? A4 ? A5 ,由图 1 知 A 1?A 6 ? (0.12 ? 0.06) ?100=18 ,故 s=100-18=82,选 A. 10.由 f ( x ? 1) 、 f ( x ? 1) 都是奇函数得 f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) , f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,从而有

f ( x) ? ? f (2 ? x) , f ( x) ? ? f (? x ? 2) ,故有 f (2 ? x) ? f (? x ? 2) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ? f ( x) ,即 f ( x) 是以 4 为周期的周期函数,因 f ( x+1) 为奇函数,所以 f ( x ? 5) 也是
奇函数.选 D. 二、 填空题: 9. ? ; 10. y ? ? x ; 11. ?20 ; 12. (4 2, 4)或(?4 2, 4) ; 13. 15. 64. 解析:13.如图,满足 b ? sin a ? 1 的点 P (a, b) 落在图中阴影部分,根 据对称性易得其面积为 4? ? 或P ?

3 ? 11? ); ; 14. ( 3, )或( 3, 4 6 6

6? 3 1 ? . ? 4? ? 6? ,故所求概率 P ? 8? 4 2

8? ? ? (sin x ? 1)dx
0

2?

8?

?

6? 3 ? . 8? 4
∴0 ? B ?

三、解答题: 16.解: (1)∵ cos B ?

2 1 3 由 S ? ac sin B ? ,得 ac ? 5 -------------------①-------------------------------3 分 2 2
2 2 2 2 2

4 >0 5

?

∴ sin B ? 1 ? cos B ?
2

3 --------------1 分 5

由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B ,∴ a ? c ? 26 ---------------②-------------5 分 由①②结合 a ? c ,解得 a ? 5, c ? 1 .-----------------------------------------------7 分 (2)由正弦定理知

b c c sin B 2 ? ? ,∴ sin C ? ,---------------------------9 分 sin B sin C b 10

∵ a ? c ,∴ 0 ? C ?
2

?

2

,

∴ cos C ? 1 ? sin C ?

7 2 ,---------------------------------------------------10 分 10

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∴ cos( B ? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C ------------------------------------------11 分

4 7 2 3 2 31 2 .---------------------------------------------------12 分 ? ? ? ? ? 5 10 5 10 50 1 17.解: (1)由 (70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x6 ) ? 75 ,---------------------------------2 分 6 解得 x6 ? 90 ,-------------------------------------------------------------------3 分
这 6 位同学成绩的标准差:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? 6

? ( x6 ? x)2 ] ?

1 2 2 2 2 2 (5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 3 ? 152 ) ? 7 .------6 分 6

(2)这 6 位同学中,成绩落在(70,75)的有编号为 3、5 两位同学, 故 ? 的可能取值为:0,1,2 . -----------------------------------------------------7 分 且 P(? ? 0) ?
3 C4 1 ? ,-----------------------------------------------------------8 分 3 C6 5

P(? ? 1) ?

2 1 C4 C2 3 ? ,-----------------------------------------------------------9 分 3 C6 5 1 2 C4 C2 1 ? ,--------------------------------------------------------10 分 3 C6 5

P(? ? 2) ?

∴ ? 的分布列为

?
P (? )

0

1

2

------------------------------11 分

? 的数学期望: 1 3 1 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 .---------------------------------------12 分 5 5 5
18.解:(1)证明:连结 BD 交 AC 于点 O,连接 EO. ∵ABCD 为矩形,∴O 为 BD 的中点-------------------1 分 又 E 为 PD 的中点,∴EO∥PB. ----------------------2 分 ∵EO? 平面 AEC,PB?平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC.----------------------------------3 分 (2)过点 E 作 EF//PA 交 AD 于 F,连结 FC, ∵ PA ? 平面 ABCD ,

1 5

3 5

1 5

P E A O D

1 1 ∴EF⊥平面 ABCD ,且 EF ? PA ? 2 2 ∴ ?ECF ? ? -------------------------------------4 分 EF 3 由 tan ? ? 得 FC ? 3 ---------------------5 分 ? FC 6 3 2 2 则 CD ? FC ? FD ? ,------------------------6 分 2
解法一: 过 D 作 DQ ? AE 交 AE 于点 Q,连结 CQ, ∵ PA ? 面 PAD ,∴面 PAD ? 面 ABCD ,----------7 分 又面 PAD ? 面 ABCD ? AD , CD ? AD ∴ CD ? 面 PAD --------------------------------8 分 AQ ? 面 APD ? CD ? AQ ,且 DQ ? AQ ? Q

B

P

C
E

A O B

F C

D

P E Q

A O B C

D

? AQ ? 面 CDQ ,故 AQ ? CQ -----------------------------------9 分

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∴ ?DQC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角. -------------------10 分 ∵ AP ? 1 , AD ? 3 ,∴ ?PDA ?

?
6

又∵E 为 PD 的中点,∴ ?EAD ? ?EDA ? 在 Rt?AQD 中, DQ ?

?
6

--------------------------------------11 分

1 3 AD ? 2 2 3 CD ∴ tan ?CQD ? ? 2 ? 3 ,-----------------------------------------------13 分 DQ 3 2 ∵ 0 ? ?CQD ? ? ? ? ??CQD ? ,即二面角 D ? AE ? C 的大小为 .---------------------------------14 分 3 3
【解法二: 以 A 为原点,AB、AD、AP 所在的直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,-7 分

0, 0) , D(0,3, 0) , P(0, 0, 0) , B( , 0,1) ,----------------------8 分 则 A(0, 0) , C ( ,3,

3 2

3 2

3 1 2 2 3 3 1 3 0, 0) ,-----------9 分 AE ? (0, , ), AC ? ( ,3, 0) , AB ? ( , 2 2 2 2 3 0, 0) 为平面 ADE 的一个法向量,------10 分 由条件可知, AB ? ( , 2 设平面 AEC 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则由
故 E (0, , ) ,

z P E D A O C y

B ? 3 1 y ? z ? 0 x ? ? ? n ? AE ? 0 ? 2 ,得 ? 2 ,取 x ? 2 ,得 y ? ? 3, z ? 3 , ? 3 n ? AC ? 0 ? ? ? x ? 3y ? 0 ? ?2 ∴ n ? (2, ? 3,3) ---------------------------------------------------------------12 分
设二面角 D ? AE ? C 的大小为 ? ,则 cos ? ? cos AB, n ?

AB ? n 1 ? , | AB | ?| n | 2

?? ?

?
3

,即二面角 D ? AE ? C 的大小为

, 19.解: (1)由 f (1) ? 1 得a ?b ? 3
由 f( )?

? .-------------------------------------14 分】 3

1 2

3 得 a ? 2b ? 4 4

3x ,----------------------------------------------2 分 2x ?1 3 3? 3 2 ? 9 -----------------------------------------------3 分 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( ) ? 2 2? 3 ?1 8 2

, ? f ( x) ? 解得 a ? 2, b ? 1

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9 27 x3 ? f ( x2 ) ? f ( ) ? ---------------------------------------------------------4 分 8 26 3xn 2x ?1 2 1 1 1 (2)解法一:由 xn ?1 ? f ( xn ) ? 且 xn ? 0 得: ? n ? ? ? ,-------5 分 2 xn ? 1 xn?1 3xn 3 3 xn 1 1 1 即 ? 1 ? ( ? 1) ,----------------------------------------------------------7 分 xn ?1 3 xn 1 ?1 xn ?1 1 3 ? ,------------------------------------8 分 ∵ xn ? 1, 否则与x1 = 矛盾 ∴ 1 2 ?1 3 xn 1 1 1 1 ∴数列 { ? 1} 是以 ? 1 ? ? 为首项,公比为 的等比数列, 3 xn x1 3

3n 1 1 1 n ?1 x ? ∴ .-----------------------------------------------9 分 ?1 ? ? ? ( ) , n 3n ? 1 xn 3 3
【解法二:由 x1 ?

9 27 3n 3 x ? , x ? , x ? (n ? N ? ) .---------------------6 分 , 2 猜想 n 3 2 8 26 3n ? 1

下面用数学归纳法证明. ①当 n = 1 猜想显然成立;

3k , 3k ? 1 3k ?1 k 3xk 3k ?1 则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ? f ( xk ) ? , ? 3 k? 1 ? k ?1 3 2 xk ? 1 3 ?1 2? k ?1 3 ?1 即当 n ? k ? 1 猜想成立. ----------------------------------------------------------8 分 3n (n ? N ? ) -------------------------9 分】 综合①、②可知猜想对 n ? N ? 都成立. 即 xn ? n 3 ?1 xn 1 3n ? n (3)证法一:由 xn ? n 得 n , 3 ?1 3 ?1 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ∵ 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 -------------------------------------11 分 ak 1 1 1 ? k ? ? , (k ? 1, 2,..., n) ----------------------------12 分 ∴ k k ?1 k ?1 3 3 ? 1 2 ? 3 ? 3 ? 1 2 ? 3k ?1 1 1? n an 1 a1 a2 1 1 1 1 3 ? 3 (1 ? 1 ) ? 3 . ∴ ? 2 ? ? n ? (1 ? ? 2 ? ? n ?1 ) ? ? 3 3 3 2 3 3 3 2 1? 1 4 3n 4 3
②假设当 n = k( k ? 1 )结论成立,即 xk ? ∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14 分 以下其它解法请参照给分。 【证法二:

2 2 ? 3n ? xn 1 3n ?1 ? 1 3 3 ? ? ? ? 3n 3n ? 1 (3n ? 1)(3n ?1 ? 1) 2 (3n ? 1)(3n ?1 ? 1)

3 2 ? 3n 3 1 1 ? ? n ? ?( n ? n?1 ) n ?1 2 (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1
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xn 3 x1 x2 1 1 1 1 1 1 ? 2? ? n ? [( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 )? ?( n ? n ?1 )] 3 3 3 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 1 3 ? ? ( ? n ?1 ) ? .】 2 2 3 ?1 4 【证法三:当 n ? 1 时,不等式显然成立, xn 1 1 1 1 1 1 1 ? n , an ? n 当 n ? 2 时,令 an ? n ? ? ? ? n?1 ? ? an?1 1 3 3 ?1 3 ? 1 3 3n?1 ? 3 3 ?1 3 3 1 1 1 1 1 ? an ? ? an ?1 ? 2 ? an ? 2 ? ? n ?1 ? a1 ? ? n ?1 , 3 3 3 2 3 1 1? n xn 1 x x2 1 1 1 1 3 1 3 ? 1? 2 ? ... ? n ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? 3 ? (1 ? n ) ? . 1 3 3 3 2 3 3 3 2 1? 4 3 4 3 ?
综上得命题得证.】 【证法四:令 an ?

①当 n ? 1 时,结论显然成立

xn 1 ? n , 下面用数学归纳法证明, n 3 3 ?1

②假设当 n ? k (k ? 1) 时,结论成立,即 a1 ? a2 ? ??? ? ak ? 当 n ? k ? 1 时, 左边= a1 ? a2

3 , 4

? ??? ? ak ? ak ?1

1 1 1 1 = ? ? ? ? 1 1 1 2 3(3 k ? ) 32( ? 3 ) 3? (3 ) 3 3 3 1 1 1 1 1 ? ? ( ? 2 ? ? k ) 2 3 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 3 3 ? ? ? ? 2 3 4 4 所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立 xn 3 x x2 ? ? n ? 对 n ? N? 都成立.】 综合①、②可知 1 ? 2 3 3 3 4
20.解:(1)解法一:依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴,设其方程为 -------------------------------------------------------------------------------1 分 ∵点 P(4 2, 2 7) 在双曲线 C 上, ∴ 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 | ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1.(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

(6 2) 2 ? (2 7) 2 ? (2 2) 2 ? (2 7) 2 ? 4
2

∴ a ? 2 ----------------------------------------------------------------------3 分 又 c ? 2 2 ,∴ b ? c ? a ? 4 ,

x2 y2 ? ? 1. ----------------------------------------------4 分 4 4 x2 y 2 解法二:依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴,设其方程为 2 ? 2 ? 1.(a ? 0, b ? 0) ---------1 分 a b ∵点 P(4 2, 2 7) 在双曲线 C 上,
∴所求双曲线 C 的方程为 揭阳市 2014-2015 学年度第一学期高三学业水平考试数学(理科)答案 第 5 页(共 8 页)

32 28 ? ? 1 ,--------------------------------------------① a 2 b2 2 2 又 b ? 8 ? a ,---------------------------------------------② 4 2 2 ②代入①去分母整理得: a ? 68a ? 32 ? 8 ? 0 ,又 a ? c ,解得 a 2 ? 4, b ? 4 ----------3 分
∴ ∴所求双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. ---------------------------------------------4 分 4 4

(2) 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , ( 2, t ) ,其中 x0 ? 2 或 x0 ? ?2 .-----------------5 分 当 y0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? t ?

y0 ? t x0 ? 2

( x ? 2) ,

即 ( y0 ? t ) x ? ( x0 ? 2) y ? tx0 ? 2 y0 ? 0 -------------------------------------------6 分 若存在以点 O 为圆心的定圆与 AB 相切,则点 O 到直线 AB 的距离必为定值, 设圆心 O 到直线 AB 的距离为 d ,则 d ? ∵ OA ? OB ? 0 , ∴ 2x0 ? ty0 ? 0 , ∵ y0 ? 0
2 2 又 x0 ? y0 ?4,

| tx0 ? 2 y0 | ( y0 ? t )2 ? ( x0 ? 2) 2

.----------------------7 分

∴t ? ?

2 x0 ,------------------------------------------------8 分 y0
2 y0 ?2 | y0

|?
故d ?

2 2 x0 ? 2 y0 | y0

2 2| ?

2 x0 2 2 2 ( y0 ? ) ? x0 ? 2 2 x0 ?2 y0
2 y0 ?2 2 2| | y0 2 2( y0 ? 2) 2 2 y0

4 2 2 y0 ? 8 y0 ?8 2 2 y0

=

2 y0 ?2 2 2| | y0 ? ? 2 ----------------------------------------------11 分 2 y0 ?2 2| | y0

此时直线 AB 与圆 x ? y ? 4 相切,-----------------------------------------------12 分
2 2

t2 4 2 ,代入双曲线 C 的方程并整理得 t ? 2t ? 8 ? 0 , 2 2 2 即 (t ? 4)(t ? 2) ? 0 ,解得 t ? ?2 , 此时直线 AB: y ? ?2 .也与圆 x2 ? y 2 ? 4 也相切.----------------------------------13 分 2 2 综上得存在定圆 x ? y ? 4 与直线 AB 相切.--------------------------------------14 分
当 y0 ? t 时, x0 ? ? 21.解: (1)依题意可得 | x ? 3|? 1 ------------------------------------------------1 分
2

? ?1 ? x 2 ? 3 ? 1 ? ?2 ? x ? ? 2 或 2 ? x ? 2 ∴ x 的取值范围为 [?2, ? 2] ?[ 2, 2].---------------------------------------------3 分
(2)解法一:∵ | (

a?b 2 a 2 ? b2 ( a ? b) ( a ? b) 2 ) ? ab | ? | ? ab | ?| |?| | ---------------5 分 2 2 4 2

2

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( a ? b) 2 ( a ? b ) 2 ( a ? b) 2 ? ?? ? 0, ---------------------------------------------6 分 4 2 4 a?b 2 a 2 ? b2 ) ? ab |?| ? ab |, 即| ( 2 2 a ? b 2 a 2 ? b2 ) 比 ∴( 更接近 ab ;--------------------------------------------------7 分 2 2 a?b 2 a 2 ? b2 ( ) ? ab , ? ab ,------------------4 分 【解法二:∵对任意两个正数 a、b,有 2 2 a?b 2 a 2 ? b2 a ? b 2 a 2 ? b2 (a ? b ) 2 ) ? ab | ? | ? ab |? ( ) ? ?? ? 0, ∴| ( 2 2 2 2 4 a?b 2 a 2 ? b2 ) ? ab |?| ? ab |, ------------------------------------------------6 分 即| ( 2 2 a ? b 2 a 2 ? b2 ) 比 ∴( 更接近 ab ;-------------------------------------------------7 分】 2 2 e (3)令 p ( x) ? ? ln x, q( x) ? x ? a ? ln x, x 则 p ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,且 p(e) ? 0, 1 x ?1 , 得当 x ? 1 时, q?( x) ? 0, 由 q?( x) ? 1 ? ? x x ∴ q( x) 在 [1, ??) 上单调递增,且当 x ? 1 时,有 q( x) ? q(1) ? 0. -----------------------8 分 ①当 1 ? x ? e 时,∵ p ( x) ≥0, a ? 2 , e e ∴ | p( x) | ? | q( x) |? ? ln x ? ( x ? a ? ln x) ? ? x ? a ? e ? 1 ? 2 ? 0. x x e ∴ 比 x ? a 更接近 ln x .--------------------------------------------------------10 分 x ②当 x ? e 时, 解法一:∵ p ( x) <0, q( x) ? 0. , e e ∴ | p( x) | ? | q( x) |? ln x ? ? ( x ? a ? ln x) ? 2 ln x ? ? x ? a ? 2 ln x ? x ? 2. ----------12 分 x x 2 2? x . 当 x ? e 时, f ?( x) ? 0. 令 f ( x) ? 2ln x ? x ? 2, 则 f ?( x) ? ? 1 ? x x ∴ f ( x ) 在区间 (e, ??) 单调递减,当 x ? e 时, f ( x) ? f (e) ? ?e ? 0. ------------------13 分 e e 综上可知,当 x ? 1 时, | ? ln x | ? | x ? a ? ln x |? 0. 即 | ? ln x |?| x ? a ? ln x | . x x e ∴ 比 x ? a 更接近 ln x .--------------------------------------------------------14 分 x 【解法二:当 x ? e 时,∵ p ( x) <0, q( x) ? 0. e e ∴ | p ( x) | ? | q( x) |? ln x ? ? ( x ? a ? ln x) ? 2 ln x ? ? x ? a. -----------------------11 分 x x e 2 e x2 ? 2 x ? e ? . 令 f ( x) ? 2 ln x ? ? x ? a ,则 f ( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x x2 令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1 ? 1 ? e , x2 ? 1 ? 1 ? e , ?
∵x?e ∴ x2 ? 1 ? 1 ? e 不合舍去,-------------------------------------------12 分 揭阳市 2014-2015 学年度第一学期高三学业水平考试数学(理科)答案 第 7 页(共 8 页)

∵ (e ? 1)2 ? 1 ? e,

∴ e ?1 ? 1 ? e

∴ x1 ? e

∵当 e ? x ? x1 时, f ?( x) ? 0. 当 x ? x1 时, f ?( x) ? 0. ∴ f ( x ) 在区间 (e, x1 ) 单调递增,在 ( x1 , ??) 单调递减,又 e ? x1 ? 3

e ? x1 ? a ? 2ln 3 ? e ? 2 ? 0. ------------------13 分 x1 e e 综上可知,当 x ? 1 时, | ? ln x | ? | x ? a ? ln x |? 0. 即 | ? ln x |?| x ? a ? ln x | . x x e ∴ 比 x ? a 更接近 ln x .-------------------------------------------------------14 分】 x
∴当 x ? e 时, f ( x) ? f ( x1 ) ? 2ln x1 ? 其它解法请参照给分.

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