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2012高考题


2012 圆锥曲线客观题
一、选择题
1. (2012 湖南理 5 文 6)已知双曲线 C : 线上, 则 C 的方程为( )A

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在双曲线 C 的渐近 a 2 b2

x2 y 2 A. ? =1 20 5
1. 【解析】 设双曲线 C :

/>
x2 y 2 B. ? =1 5 20

x2 y 2 C. ? =1 80 20

x2 y 2 D. ? =1 20 80

x2 y2 b - 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 .又点 P(2,1) 在渐近线 y ? ? x 2 a b a

上, ?1 ?

x2 y 2 b ? ? 1. ? 2 , 即 a ? 2b .又 c 2 ? a 2 ? b2 ,? a ? 2 5,b ? 5 , ?C 的方程为 20 5 a

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基 本运算能力,是近年来常考题型.
2 y2 3 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的 x 2.(2012 山东理 10)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b

渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 ( )
2 y A. x ? ?1 2

8

2

2 y B. x ? ?1

2

12

6

C. x ?

2

16

y2 ?1 4

2 y D. x ? ?1

2

20

5

x x 2. 【解析】 b ? 1 ? e2 ? 1 ? a ? 2b ,双曲线的渐近线为 y ? ? x ,代入椭圆得 2 ? 2 ? 1 ,

2

2

a

2

a

b



4 2 2 x2 x 2 5x 2 4 b , y 2 ? b2 , y ? ? ? ? 2 ? 1 ,所以 x 2 ? b 2 , x ? ? b ,则第一象限的 2 2 5 5 4b b 4b 5 5

交点坐标为 (

2 5

b,

2 5

b) ,所以四边形的面积为 4 ?

2 5

b?

2 5

b?

16 2 b ? 16 ,所以 b 2 ? 5 ,所 5

以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,选 D. 20 5
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 .若抛物线 a 2 b2

3. 【 2012 高考山东文 11 】已知双曲线 C1 :

C2 : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( D

)

A. x 2 ?

8 3 y 3

B. x 2 ?

16 3 y 3

C. x 2 ? 8 y

D. x 2 ? 16 y

1

3. 【解析】 抛物线的焦点 (0,

b b p 双曲线的渐近线为 y ? ? x , 不妨取 y ? x , 即 bx ? ay ? 0 , ), a a 2

a?
焦点到渐近线的距离为

p 2

a2 ? b2

? 2 ,即 ap ? 4 a 2 ? b 2 ? 4c ,所以

c p ? .又双曲线的 a 4

离心率为

c c p ? 2 ,所以 ? ? 2 ,所以 p ? 8 ,所以抛物线方程为 x 2 ? 16 y ,选 D. a a 4
2 2

4.(2012 上海文 16) 对于常数 m , n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( B ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4. 【解析】∵ mn >0,∴ ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?m ? 0, ?m ? 0, 2 2 或? .方程 mx ? ny =1 表示的曲线是椭圆,则一定有 ?n ? 0, ?n ? 0,
2 2

?m ? 0, ? ?n ? 0,

故“ mn >0”是“方程 mx ? ny =1 表示的是椭圆”的必要不充分条件。

2 y 5.(2102 福建文 5)已知双曲线 x 2 ? ,则该双曲线的离心率等于( ? 1 的右焦点为(3,0)

2

a

5

)C

A.

3 14 14
2

B.

3 2 4

C.

3 2

D.

4 3

5. 【解析】 c ? 3 , a ? 5 ? 9 ,所以 a ? 2 ,因此 e ?

3 . 故选 C. 2

6. 【2012 江西文 8】椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点分别是 a 2 b2
)B

F1 , F2 .若 | AF1 |,| F1F2 |,| F2 B | 成等比数列,则此椭圆的离心率为(
A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D. 5-2

6 .【 解 析 】 椭 圆 的 顶 点 A(?a,0), B(a,0) , 焦 点 坐 标 为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 所 以

AF1 ? a ? c, F1B ? a ? c , F1F2 ? 2c , 又 因 为 AF1 , F1 F2 , F1 B 成 等 比 数 列 , 所 以 有
4c 2 ? (a ? c)( a ? c) ? a 2 ? c 2 ,即 5c 2 ? a 2 ,所以 a ? 5c ,离心率为 e ?
c 5 ,选 B. ? a 5

2

7.(2012 新课标理 4 文 4)设 F1 , F2 是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 a 2 b2
)C

x?

3a 上一点, △F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 2 ? ? A. B. C. D. 2 3 ? ?

0 7. 【解析】因为 △F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则有 F2 F1 ? F2 P ,因为 ?PF1 F2 ? 30 ,

1 1 3a 1 PF2 ? F1 F2 ,即 ? c ? ? 2c ? c ,所以 3a ? 2c , 2 2 2 2 2 即 c ? 3 ,所以椭圆的离心率为 e ? 3 ,选 C. 4 a 4 8.(2012 浙江文 8)如 图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,
所以 ?PF2 D ? 60 ,所以 F2 D ?
0

M , N 是双曲线的两顶点.若 M , O, N 将椭圆长轴四等分,则双曲
线与椭圆的离心率的比值是( )B

A.3 8.B

B.2

C. 3

D. 2

【解析】设椭圆的长轴为 2a ,双曲线的长轴为 2a? ,由 M , O, N 将椭圆长轴四等分,则

2a ? 2 ? 2a? ,即 a ? 2a? ,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c,则双曲线的离心率 c c e? a 为 e? ? , e ? , ? ? 2. a? a e a?
x y2 9.(2012 浙江理 8)如图, F1 , F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)的左、右焦点,B 是虚 a b
轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P, Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若 | MF2 |?| F1F2 | ,则 C 的离心率是( )
2

A.

2 3 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

b 9. 【 解 析 】 由 题 意 知 直 线 F1B 的 方 程 为 : y ? x ? b , 联 立 方 程 组 c

? y ? b x ? b, c ? 得点 ? ?x ? y ? 0 ?a b

b ? y ? x ? b, ? ? c 得 点 P(? ac , bc ) , 所 以 PQ 的 中 点 坐 标 为 Q( a c , b c ), 联 立 方 程 组 ? c ? a c? a c ? a c? a x y ? ? ?0 ? ?a b
3

2 2 2 2 a2 ( a 2c , c ) ,所以 PQ 的垂直平分线方程为: y ? c ? ? c ( x ? a 2c ) ,令 y ? 0 ,得 x ? c(1 ? 2 ) , b b b b b b

所以 c(1 ?

a2 6 .故选 B ) ? 3c ,所以 a 2 ? 2b2 ? 2c 2 ? 2a 2 ,即 3a 2 ? 2c 2 ,所以 e ? 2 2 b
2

10. (2012 新课标理 8 文 10)等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16 x 的 准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( A. 2 B. 2 2 C. ? ) D. ?

2 2 10. 【解析】设等轴双曲线方程为 x ? y ? m(m ? 0) ,抛物线的准线为 x ? ?4 ,由 AB ? 4 3 , 2 2 则 y A ? 2 3 ,把坐标 (?4,2 3 ) 代入双曲线方程得 m ? x ? y ? 16 ? 12 ? 4 ,所以双曲线方程

为 x ? y ? 4 ,即
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a 2 ? 4, a ? 2 ,所以实轴长 2a ? 4 ,选 C. 4 4

x2 y 2 11.(2012 福建理 8)已知双曲线 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该双曲线 4 b
的焦点到其渐近线的距离等于( A. 5 B. 4 2
2

) D.5

C.3

11 . 【解析】由抛物线方程 y ? 12 x 易知其焦点坐标为 (3,0) ,又根据双曲线的几何性质可知

4 ? b 2 ? 32 , 所 以 b ? 5 , 从 而 可 得 渐 进 线 方 程 为 y ? ?

5 x , 即 ? 5x ? 2 y ? 0 , 所 以 2

d?

| ? 5 ?3 ? 2? 0 | ? 5 ,故选A. 5?4

12 . (2012 四川理 8 文 9) 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点

M (2, y0 ) .若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? (
A. 2 2 B. 2 3 C. 4

) D. 2 5

2 12. 【解析】设抛物线方程为 y ? 2 px ,则点 M (2, ?2 p ) , Q 焦点 (

p ,0) ,点 M 到该抛物线 2

焦点的距离为 3 ,? (2 ?

p 2 ) ? 4 P ? 9 ,解得 p ? 2 ,所以 OM ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 3 . 2
2

13.(2012 安徽理 9)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若
4

AF ? 3 ,则 △AOB 的面积为(
A.

)C

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2

13. 【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 , 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? ? , 3 1 ? cos ? 2

1 1 3 2 2 3 2 ? . △AOB 的面积为 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? 2 2 2 3 2
14.(2012 辽宁文 12)已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过
2

P, Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为(
A. 1 B. 3 C. ?4 D. ?8

)C

? 2, 14. 【解析】 因为点 P, Q 的横坐标分别为 4, 代人抛物线方程得 P, Q 的纵坐标分别为 8, 2. 由

x 2 ? 2 y, 则y ?

1 2 ? 2, Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, 所以过点 P, Q x ,? y? ? x, 所以过点 P, 2
? x ? 1, ? y ? ?4.

的抛物线的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联立方程组解得 ?
2 2

15. (2012 大纲理 8 文 10)已知 F1 , F2 为双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,

| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1 PF2 ? (
A.

)C C.

1 4

B.

3 5

3 4

D.

4 5

15 .【 解 析 】 解 : 由 题 意 可 知 , a ?

2 ? b,? c ? 2 , 设 | PF1 |? 2 x,| PF2 |? x , 则

| PF1 | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 , 故 | PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1 F2 ? 4 , 利 用 余 弦 定 理 可 得
cos ?F1 PF2 ? PF12 ? PF 2 2 ? F 1 F 22 (4 2) 2 ? (2 2) 2 ? 4 2 3 ? ? . 2 PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2

二 、填空题
1.(2012 陕西理 13 文 14)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,

水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽
5

米.

1.【解析】设水面与桥的一个交点为 A,如图建立直角坐标系则,

A 的坐标为 (2, ?2) .设抛物线方程为 x ? ?2 py ,代入点 A 得 p ? 1 ,
2

设水位下降 1 米后水面与桥的交点坐标为 ( x0 ,?3) , 则 x0 ? ?2 ? ?3, x0 ? ? 6 ,所以水面宽度为 2 6 米. 2.(2012 天津文 11)已知双曲线 C1 :
2

x2 y2 x2 y2 与双曲线 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) C : ? ? 1 有相同 2 4 16 a2 b2
, b? .1,2

的渐近线,且 C1 的右焦点为 F ( 5, 0) ,则 a ? 2. 【解析】双曲线的

x2 y2 x2 y2 b ? ? 1 渐近线为 y ? ?2 x ,而 2 ? 2 ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,所 4 16 a a b

以有

b ? 2 , b ? 2a ,又 c ? 5 ,所以 a 2 ? 1, a ? 1, b ? 2 . a
x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值 m m ?4

3.(2012 江苏 8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 为 ____ .

c m ? m2 ? 4 = 5 , 即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m=2 . 3. 【解析】 e= = a m
4.(2012 安徽文 14)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若 | AF |? 3 ,则
2

| BF | =______.

3 2

4. 【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 , 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? ? . 3 1 ? cos ? 2

2 5.(2012 重庆理 14)过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若 AB ? 25 ,

12

5 6 2 5. 【解析】抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标为 ( 1 ,0) ,准线方程为 x ? ? 1 ,设 A,B 的坐标分别为的 2 2
AF ? BF ,则 AF =


( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则 x1 x2 ?
1 1 1 ? (m ? )( n ? ) ? ? ? 2 2 4 ? 25 ?m ? n ? ? 12 ?
6

p2 1 ? ,设 AF ? m, BF ? n ,则 x1 ? m ? 1 , x2 ? n ? 1 ,所以有 4 4 2 2
5 5 或 n ? ,所以 AF ? 5 . 6 6 4

,解得 m ?

6. (2012 天津理 12)己知抛物线方程为 y =2 px( p ? 0) , 焦点为 F , 准线为 l , 过抛物线上一点 M
2

作 l 的垂线,垂足为 E ,若 |EF|=|MF | ,点 M 的横坐标是 3,则 p= 6. 【解析】焦点 F (

.

p p ,0) ,∵点 M 的横坐标是 3,则 M (3, ? 6 p ) ,所以点 E ( ? , ? 6 p ) , 2 2 p p p 1 | EF |2 =( ? )2 +(0 ? 6 p ) 2 ,又 | MF | = +3 ,∵ | EF | =|MF | ,∴ p 2 +6 p = p 2 +3 p +9 , 2 2 2 4
2

即 p +4 p ? 12 ? 0 ,解得 p =2 (舍去负值). 7.(2012 北京理 12)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F ,且与该抛物线相交
2

于 A, B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60? ,则△ OAF 的面积为 7. 【解析】由 y ? 4 x 可求得焦点坐标 F(1,0),因为倾斜角为 60? ,所以直线的斜率为
2



k ? tan 60? ? 3 ,利用点斜式,直线方程为 y ? 3 x ? 3 ,将直线和曲线联立
? ? y ? 3x ? 3 ? A(3, 2 3), B( 1 , ? 2 3 ) ,因此 S△OAF ? 1 ? | OF | ? yA ? 1 ?1? 2 3 ? 3 . ? 2 3 3 2 2 ? ? y ? 4x
2 y2 x 8. (2012 四川理 15)椭圆 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 当 △FAB ? ? 1 的左焦点为 F , B, 4 3

的周长最大时, △FAB 的面积是__________. 3 8. 【解析】当直线 x ? m 过右焦点时 ?FAB 的周长最大,? m ? 1 ; 将 x ? 1 代入解得 y ? ?

3 1 3 ;所以 S△ FAB ? ? 2 ? ? 3 . 2 2 2
2

9. (2012 辽宁理 15)已知 P, Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点, 点 P, Q 的横坐标分别为 4,? 2, 过 P, Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________. 9. 【解析】 因为点 P, Q 的横坐标分别为 4,? 2, 代人抛物线方程得 P, Q 的纵坐标分别为 8, 2. 由

x 2 ? 2 y, 则y ?

1 2 ? 2, Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, 所以过点 P, Q x ,? y? ? x, 所以过点 P, 2
?x ? 1 , 故 A(1, ?4) . ? y ? ?4

的抛物线的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联立方程组解得 ?

x2 y2 10.(2012 江西理 13)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点分别是 a b
F1 , F2 .若 AF1 , F1 F2 , F1 B 成等比数列,则此椭圆的离心率为______________.

7

10. 【 解 析 】 椭 圆 的 顶 点 A(?a,0), B( A,0) , 焦 点 坐 标 为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 所 以

AF1 ? a ? c, F1B ? a ? c , F1F2 ? 2c , 又 因 为 AF1 , F1 F2 , F1 B 成 等 比 数 列 , 所 以 有
4c 2 ? (a ? c)( a ? c) ? a 2 ? c 2 ,即 5c 2 ? a 2 ,所以 a ? 5c ,离心率为 e ?
2 y 11.(2012 四川文 15)椭圆 x 2 ? ? 1 ( a 为定值,且 a ? 2

c 5 . ? a 5

a

5

5) 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆

3 11. 【解析】当直线 x ? m 过右焦点时 △FAB 的周长最大,最大周长为 4a ? 12,? a ? 3 ;
? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 ,即 c ? 2 ,? e ? 2 3
2 y 12. (2012 重庆文 14)设 P 为直线 y ? b x 与双曲线 x 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 左支的交点,F1 是 2

相交于点 A , B , △FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______. 2

3a

a

b

左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ? _______.

3 2 4

? b ? 3 2 y? x a ?x ? ? ? 3 2 3a ? ? 4 12. 【解析】由 ? 2 得 ,又 PF1 垂直于 x 轴,所以 a ? c ,即离心率 ? 2 4 x y 2 ? ? ? 1 ?y ? ? b ? ? ?a2 b2 4 ?
为e ?

c 3 2 ? . a 4

13.(2012 湖北理 14)如图,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 , a 2 b2 虚轴两端点为 B1 , B2 ,两焦点为 F1 , F2 .若以 A1 A2 为直径的圆内切于

菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则 (Ⅰ)双曲线的离心率 e ? ; (Ⅱ)菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值
S1 ? S2



13. 【解析】 (Ⅰ)由于以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,因此点 O 到直线 F2 B2 的距离为

a ,又由于虚轴两端点为 B1 , B2 ,因此 OB 2 的长为 b ,那么在 ?F2 OB2 中,由三角形的面积公式
知,

1 1 1 bc ? a | B2 F2 |? a (b ? c) 2 , 又 由 双 曲 线 中 存 在 关 系 c 2 ? a 2 ? b 2 联 立 可 得 出 2 2 2
5 ?1 ; 2

(e 2 ? 1) 2 ? e 2 ,根据 e ? (1,??) 解出 e ?
8

(Ⅱ)设 ?F2 OB 2 ? ? ,很显然知道 ?F2 A2 O ? ?AOB2 ? ? , 因此 S 2 ? 2a sin(2? ) .在
2

?F2 OB2 中求得 sin ? ?

b b2 ? c2

, cos? ?

c b2 ? c2

, 故 S 2 ? 4a 2 sin ? cos? ?

4a 2 bc ; b2 ? c2

菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 ? 2bc ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出

S1 2 ? 5 ? . S2 2

9


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