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数学文卷·2015届河北省衡水中学高三小一调考试(2014.08)


2014-2015 学年度高三年级小一调考试
数学试卷(文科)
【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定,试题难度适中,试题 在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识,突出三基,强化三基的同 时,突出了对学生能力的考查,注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查, 以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质

,考基础,考方法,考潜能的检 测功能。试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的 作用。 突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查; 侧重于 知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,下列每小题所给出选项只有一项是符合题 目题意.请将正确答案的序号填涂在答题卡上)
【题文】1.已知集合 A= ? x ? R | 若A A.

? ?

x?4 ? ? 0? , B ? x ? R | ? x ? 2a ? ? x ? a 2 ? 1? ? 0 , x ?1 ?

?

?

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

( )

? 2, ???

B.

?2, ???

C. ?1?

?2, ???

D. ?1, ?? ?

【知识点】解不等式;集合关系及运算. A1 E3 【答案解析】C 解析:因为 A= ? ?1,4? ,所以 B ? ? 时成立,此时 a ? 1 ; B ? ? 时,即

a ? 1 时 B ? ? 2a, a 2 ? 1? ,要使 A B ? ? ,需使 2a ? 4 ,即 a ? 2 ,综上得实数 a 的取值
范围是 ?1?

?2, ??? ,所以选 C.
B ? ? 知需要讨论 B ? ? 与 B ? ? 两种情况.

【思路点拨】先由已知求得集合 A,再由 A

【题文】2.设集合 A = {2, ln x} , B = {x, y} ,若 A ? B {0} ,则 y 的值为( ) A. e B. 1 C.

1 e

D.0

【知识点】交 集 及 其 运 算 . A1 【答案解析】D 解析:由 A = {2, ln x} , B = {x, y} ,若 A ? B {0} ,说 明 元 素 0 即 在

A 当 中 , 又 在 B 当 中 , 显 然 lnx=0 , 则 x=1 , 所 以 y=0 . 故 选 D. 【思路点拨】根 据 给 出 的 集 合 A 与 集 合 B , 且 A ? B {0}, 说 明 A 中 的 lnx=0 , 由 此 求 出 x=1 , 则 集 合 B 中 只 有 y=0 . 【题文】3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x ? 1, 则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1, 则 x ? 1 ” ;
2 2

( )

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件;
2

C.命题 “ ?x ??1, ??? , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ” 的否定是: “ ?x ??1, ??? , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.命题“已知 x, y ? R, 若 x ? 1 或 y ? 4 ,则 x ? y ? 5 ”为真命题. 【知识点】命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案解析】C A3

解析:对于 A:因为否命题是条件和结果都做否定,即“若 x2≠1,则 x≠1”,

故错误.对于 B:因为 x=-1?x2-5x-6=0,应为充分条件,故错误.对于 D:其逆否命题是 “已知 x, y ? R, 若 x ? y ? 5 ,则 x ? 1 且 y ? 4 ”此命题显然不对,故 D 错误.所以选 C. 【思路点拨】根据命题的否定,否命题,四种命题的关系及充分条件,必要条件判断结论. 【题文】4.设 f ? x ? 是定义在 R 上的函数,则下列叙述一定正确的是 A. f ? x ? f ? ? x ? 是奇函数 C. f ? x ? ? f ? ? x ? 是偶函数 【知识点】函数奇偶性的判定. 【答案解析】D B4 B. f ? x ? f ? ? x ? 是奇函数 D. f ? x ? ? f ? ?x ? 是偶函数 ( )

解析:对于选项 A:设 h ? x ? ? f ? x ? f ? ?x ? ,

则 h ? ?x ? ? f ? ?x ? f ? x ? ? h ? x ? ,所以 f ? x ? f ? ? x ? 是偶函数,所以选项 A 不正确; 同理可判断: f ? x ? f ? ? x ? 奇偶性不确定, f ? x ? ? f ? ? x ? 是奇函数, f ? x ? ? f ? ?x ? 是 偶函数,所以选 D. 【思路点拨】依次设各选项中的函数为 h ? x ? ,再利用 h ? ? x ? 与 h ? x ? 关系确定结论.
2 【题文】5.设 x ? R ,则“x=1”是“ x = x ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【知识点】必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 . A2 【答案解析】A
2

解析:当 x=1 时 ,此 时 x = x 一 定 成 立 ,故 “x=1”是“ x = x ”的充
2

2

2

分条 件 ; 当 x = x 时 , x=1 或 0 , 此 时 x=0 不 成 立 ,故 x = x 是 x=1 的 不 必 要 条 件 ; 故 选 A. 【思路点拨】解 方 程 x = x ,易 判 断“ x = x ? x=1 ”与“ x=1 ? x = x ”的 真 假 ,进 而根据充要条件的定义,得到答案.
2 2 2

【题文】 6.定义两种运算:a ? b ? ( ) A. 是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 【知识点】函数奇偶性的判断.

a 2 ? b2 , a ? b ?

? a ? b?

2

, 则函数 f ? x ? ?

2? x 2 ? ? x ? 2?

B. 是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 B4

【答案解析】A 解析:根据题意得: f ? x ? ?

4 ? x2 2?

? x ? 2?

2

2 ,由 4 ? x ? 0 得 ?2 ? x ? 2

这时

? x ? 2? ? x ? 2 ? 2 ? x ,所以 f ? x ? ?
2

4 ? x2 4 ? x2 ? x ???2,0? 2 ? ?2 ? x? x

?0,2?

4 ? x2 4 ? x2 因为 f ? ? x ? ? ?? ? ? f ? x ? , f ? x ? 是奇函数,所以选 A. ?x x
【思路点拨】先利用新定义把 f(x)的表达式找出来,在利用函数的定义域把函数化简,最 后看 f(x)与 f(-x)的关系得结论. 【 题 文 】 7. 已 知 函 数 f ? x ? ? ln x ? x2 ? 1 , 若 实 数 a , b 满 足 f ? a ? ? f ?b ? 2? ? 0 则

?

?

a?b ? ( )
A.-2 B.-1 C.0 【知识点】函数的奇偶性;单调性的判定. D.2 B3 B4

【答案解析】D 解析:因为函数的定义域为 R, 且 f ? ? x ? ? ln ? x ?

?

? ? 1 2 所以 f ? x ? x 2 ? 1 ? ln ? ? = ? ln x ? x ? 1 ? ? f ? x ? , 2 ? x ? x ?1 ?

?

?

?

是 R 上的奇函数.显然 x ? x2 ?1 是 ?0, ??? 的增函数,所以 f ? x ? 是 R 上的增函数.因为

f ? a ? ? f ?b ? 2? ? 0 ,所以 f ?b ? 2? ? ? f ? a ? ? f ? ?a ? ,所以 b ? 2 ? ?a, 从而 a ? b ? 2
所以选 D. 【思路点拨】 先判定函数是奇函数, 再判定此函数是 R 上增函数, 所以 f ? a ? ? f ?b ? 2? ? 0 为 f ?b ? 2? ? f ? ?a ? ,所以 b ? 2 ? ?a, 从而 a ? b ? 2 .
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 【题文】8.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若 f ? ?a ? ? f ? a? ? 2 f ?1? , 则 a 的取值范围 ? ? x ? 2 x, x ? 0

是 ( ) A.

??1,0?

B.? 0 ,?1

C.? ?1,1?

D.?? 2 , ?2

【知识点】函数的奇偶性;解不等式. 【答案解析】C 解析:因为 f ? ? x ? ? ?

B4

E3

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 是偶函数,所以 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0

f ? ?a ? ? f ? a ? ? 2 f ?1? , 为 f ? a ? ? f ?1? ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 1 ,所以选 C.
【思路点拨】先确定 f ? x ? 是偶函数,所以 f ? ?a ? ? f ? a ? ? 2 f ?1? , 为 f ? a ? ? f ?1? ? 3 , 解得 ?1 ? a ? 1 . 【题文】9.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线

y ? f ? x ? ,另一种平均价格曲线 y ? g ? x ? ,如 f ? 2? ? 3 表示股票开始买卖后 2 小时的即
时价格为 3 元; g ? 2? ? 3 表示 2 小时内的平均价格 3 元,下面给出了四个图像,实线表示

y ? f ? x ? ,虚线表示 y ? g ? x ? ,其中可能正确的是(



. 【知识点】函数的图象与图象变化.B8 【答案解析】C 解析:解:刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,A,D 错误; 开始交易后,平均价格应该跟随即时价格变动,即时价格与平均价格同增同减, 故 A,B,D 均错误.故选 C. 【思路点拨】根据已知中,实线表示即时曲线 y=f(x) ,虚线表示平均价格曲线 y=g(x) , 根据实际中即时价格升高时, 平均价格也随之升高, 价格降低时平均价格也随之减小的原则, 对四个答案进行分析即可得到结论 【题文】10.偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ?1? ? f ? x ? 1? ,且在 x ??0,1? 时, f ? x ? ? x ,则关于

?1? x 的方程 f ? x ? ? ? ? ,在 x ??0, 4? 上解的个数是( ? 10 ?
A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】函数的周期性;奇偶函数图象的对称性.B4

x



【答案解析】 解析:解:∵ f ? x ?1? ? f ? x ? 1? ∴ f ? x ? ? f ? x ? 2? ∴原函数的周期 T=2 又∵ f ? x ? 是偶函数,∴ f ? ?x ? ? f ? x ? .又∵x∈[0,1]时, f ? x ? ? x ,函数的周期为 2,

∴原函数的对称轴是 x=1, 且f (-x) =f (x+2) .y1 ? f ? x ? , y2 ? ?

?1? ?1? ? 方程 f ? x ? ? ? ? 根 ? 10 ? ? 10 ?
x

x

x

的个数,即为函数 y1=f(x)的图象(蓝色部分)与 y2 ? ? 个数.

?1? ? 的图象(红色部分)交点的 ? 10 ?

?1? 由以上条件,可画出 y1=f(x), y2 ? ? ? 的图象: ? 10 ?
又因为当 x=1 时,y1>y2,∴在(0,1)内有一个交点. ∴结合图象可知,在[0,4]上 y1=f(x), y2 ? ? ∴在[0,4]上,原方程有 4 个根.

x

?1? ? 共有 4 个交点. ? 10 ?

x

故选 D. 【思路点拨】根据已知条件推导函数 f(x)的周期,再利用函数与方程思想把问题转化, 画出函数的图象,即可求解. 【题文】11.直线 y ? x 与函数 f ? x ? ? ? m 的取值范围是( ) A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [2, ??) D. (??, ?1]

2, x ? m 的图像恰有三个公共点,则实数 2 ? x ? 4 x ? 2, x ? m ?

【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9 【答案解析】A 解析:解:根据题意,直线 y=x 与射线 y=2(x>m)有一个交点 A(2,2),

并且与抛物线 y=x +4x+2 在(-∞,m]上的部分有两个交点 B、C 由?

2

y?x ,联解得 B(-1,-1),C(-2,-2) 2 ? y ? x ? 4x ? 2 ?
2

∵抛物线 y=x +4x+2 在(-∞,m]上的部分必须包含 B、C 两点, 且点 A(2,2)一定在射线 y=2(x>m)上,才能使 y=f(x)图象与 y=x 有 3 个交点 ∴实数 m 的取值范围是-1≤m<2 故答案为:-1≤m<2 【思路点拨】根据题意,求出直线 y=x 与射线 y=2(x>m) 、抛物线 y=x +4x+2 在(-∞,m] 上的部分的三个交点 A、B、C,且三个交点必须都在 y=f(x)图象上,由此不难得到实数 m 的取值范围 【题文】12.用 min ?a, b? 表示 a , b 两数中的最小值,若函数 f ( x) ? min x , x ? t 的图像 关于直线 x ? ?
2

?

?

1 对称,则 t 的值为( 2

) D.1

A. ?2 B. 2 C. ?1 【知识点】函数的图像.B8 【答案解析】D 解析:由题意可知:函数图像如下图:

y

-1

-

1 2

O

x

关于直线 x ? ?

1 对称,则可得 t =1,故选 D. 2

【思路点拨】结合函数的图像可得 t 的值. 第ⅠⅠ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸的横线上) 【题文】 13.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 当 x ??0,1? 时, f ( x) ? x ? 1 , 则 f( )?

3 2



【知识点】函数的周期;函数的奇偶性.B3 B4 【答案解析】

3 解析:因为函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,所以 2

3 3 ? 1? ?1? f ( ) ? f ( ? 2) ? f ? ? ? ? f ? ? ,而当 x ??0,1? 时, f ( x) ? x ? 1 , 2 2 ? 2? ?2?
故f?

3 3 3 3 ?1? 1 ? ? ? 1 ? ,所以 f ( 2 ) ? 2 ,故答案为 2 . 2 ?2? 2

【思路点拨】先由函数的周期得到 f ( ) ? f ?

3 2

?1? ? ,再结合题意得到结果. ?2?

【题文】14.设 p : 2x2 ? 3x ?1 ? 0, q : x2 ? ? 2a ?1? x ? a ? a ?1? ? 0 ,若 ? q 是 ? p 的充分不 必要条件,则实数 a 的取值范围为 【知识点】命题及其关系.A2 【答案解析】 0 ? a ? .

1 1 1 2 解析:解: 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ? ? x ? 1 ,??p : x ? 或x>1 , 2 2 2

x2 ? ? 2a ?1? x ? a ? a ?1? ? 0 ? a ? x ? a ?1 ,??q : x ? a或x ? a ? 1 ,??q是?p 的充
1 ? 1 ? a? 分不必要条件,只需满足 ? 2 ?0?a? 2 ? ?a ? 1 ? 1
【思路点拨】根据题意求出 p 与 q,再求出 ?p, ?q ,利用条件可求出 a 的范围. 【题文】15.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比,药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y ? ?

?1? ? ? 16 ?

t ?a

(a 为常数) ,如图所示,据测定,当空气中每立方米的含药量 小

降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开始,至少需要经过 时后,学生才能回到教室.

【知识点】根据实际问题选择函数类型;指数函数.B6 B10

?1? 【答案解析】 解析:解:当 t>0.1 时,可得 1 ? ? ? ? 16 ?
1 ?1? 由题意可得 y ? 0.25 ? ,即 ? ? 4 ? 16 ?
t ?0.1

0.1? a

∴0.1-a=0,a=0.1

?

1 , 4

即 t ? 0.1 ?

1 ? t ? 0.6 2

解得 t≥0.6,由题意至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. 故答案为:0.6

?1? 【思路点拨】 。当 t>0.1 时,把点(0.1,1)代入 y ? ? ? ? 16 ?
据题意可知 y≤0.25,代入即可求得 t 的范围. 【 题 文 】 16. 设 函 数 f ? x ?

t ?a

求得 a,曲线方程可得.根

? x ? 1? ?

? sin x 的最大值为 M,最小值为 m,则 x ?1
2

2

M+m= . 【知识点】函数的最值及其几何意义.B3 【 答 案 解 析 】 2 解 析 : f ? x?

? x ? 1? ?

? sin x 2 x ? sin x 2 x ? sin x 设 g ? x? ? 则 ? 1? 2 x2 ? 1 x ?1 x ?1
2

2

g ??x? ?

?2 x ? sin x ? ? g ? x ? ∴g(x)是 R 上的奇函数,∴如果 g(x)的最大值是 W,则 x2 ? 1

g(x)的最小值是-W,从而函数 f(x)的最大值是 1+W,f(x)的最小值是 1-W, 即:M=1+W,m=1-W,∴M+m=2.故答案为:2. 【思路点拨】首先由已知条件推导出函数是奇函数,再根据图像的移动求出最大最小值. 三、解答题(本题满分 70 分,其中 17 题 10 分,其余题 12 分,将必要的文字说明、证明过 程或演算步骤写在答题卡的相应位置) . 【题文】 17.设关于 x 的不等式 x x - a - 1 < 0 a 的解集为 N . (1)当 a = 4 时,求集合 M ? N ; (2)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围. 【知识点】一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 ; 集 合 关 系 中 的 参 数 取 值 问 题 . A1 E3 【答案解析】 (1) M ? N ? {x | ?1 ? x<5} 解析: ( 1) 当 a = 4 时 , 解 得 0< x< 5. 即 M ? {x | 0<x<5} , N ? {x | ?1 ? x ? 3} (2) ? ?2, 2?

(

)

(

2 不等式 x - 2 x - 3 0 R) 的解集为 M ,

M ? N ? {x | ?1 ? x<5} ? 4 分 <x<0} . ( 2 ) ① 当 a ? ?1 时 , 因 为 a ? 1<0 , 所 以 M ? {x | a ? 1
< 0, 解 得 ?2 ? a ? ?1 ; ? 6 分 因 为 M ? N , 所 以 ?1 ? a ?1 ② 若 a ? ?1 时 , M ? ? , 显 然 有 M ? N , 所 以 a ? ?1 成 立 ; ? 8 分

③ 若 a ? ?1 时 , 因 为 a ? 1 ? 0 , 所 以 M ? {x | 0 ? x ? a ? 1} . 又 N ? {x | ?1 ? x ? 3} , 因 为 M ? N , 所 以 0 ? a ? 1 ? 3, 解 得 ?1<a ? 2 . ? 10 分 综 上 所 述 , a 的 取 值 范 围 是 ? ?2, 2 ? . ? 12 分 【思路点拨】 (1)当 a = 4 时 , 由 已 知 解 得 集 合 M 、 N , 再 求 并 集 即 可 . ( 2 )对 字 母 a 进 行 分 类 讨 论 :① a ? ?1 ,② a ? ?1 ,③ a ? ?1 ,分 别 表 示 出 集 合 M , 又 N ? {x | ?1 ? x ? 3} , 利 用 M ? N , 即 可 求 得 a 的 取 值 范 围 .
2 【题文】18.已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 ,集合 B 为函数 y ? x2 ? 2x ? a 的值域,集 2 合 C ? x | x ? ax ? 4 ? 0 ,命题 p: A ? B ? ? ;命题 q: A ? C .

?

?

?

?

(1)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围. (2)若命题 p∧q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 【知识点】命题及其关系.A2 【答案解析】(1)a>3(2)0≤a≤3
2 解析:∵ y ? x ? 2 x ? a ? ? x ? 1? ? a ? 1 ? a ? 1 2

A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? ? ? x |1 ? x ? 2? ,B={y|y≥a-1}, C ? ? x | x 2 ? ax ? 4 ? 0?
(1)由命题 p 为假命题可得 A ? B ? ? ,∴a-1>2∴a>3 (2)∵命题 p∧q 为真命题命题 ∴p,q 都为真命题 即 A ? B ? ? 且 A?C.

? a ?1 ? 2 ? ∴ ? 1 ? a ? 4 ? 0 解可得 0≤a≤3 ? 4 ? 2a ? 4 ? 0 ?
【思路点拨】(1)根据命题之间的关系列出关系式,直接求出值. (2)命题 p∧q 为真命 题命题∴p,q 都为真命题,即 A ? B ? ? 且 A?C.然后转化为不等式组求解.
m 【题文】 19.已知幂函数 f ? x ? ? x
2

? 2 m ?3

? m ? Z ? 为偶函数,且在区间 (0, ??) 上是单调减函
b

数. (1) 求函数 f ? x ? ; (2)讨论 F ? x ? ? a

f ? x? ?

xf ? x ?

的奇偶性.

【知识点】幂函数在区间 (0, ??) 上是单调减函数的条件,函数奇偶性的条件. B4 B8 【答案解析】 (1) f ? x ? ? x?4 ; (2)① a ? 0 且 b ? 0, F ? x ? 非奇非偶 ② a ? 0 且 b ? 0, F ? x ? 为偶函数 ③ a ? 0 且 b ? 0, F ? x ? 为奇函数 ④ a ? 0 且 b ? 0, F ? x ? 既是奇函数又是偶函数 解析: (1)

f ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递减,

?m2 ? 2m ? 3 ? 0 ? ? m ? 3?? m ?1? ? 0 ? ?1 ? m ? 3
m ? Z ? m ? 0,1, 2
当 m ? 0, 2 时 f ? x ? ? x?3 不合题意,当 m ? 1 时 f ? x ? ? x?4 合乎题意

? f ? x ? ? x?4
(2) F ? x ? ?

-------6 分

a ? bx 3 2 x

① a ? 0 且 b ? 0, F ? x ? 非奇非偶 ② a ? 0 且 b ? 0, F ? x ? 为偶函数 ③ a ? 0 且 b ? 0, F ? x ? 为奇函数 ④ a ? 0 且 b ? 0, F ? x ? 既是奇函数又是偶函数 -------12 分
2

【思路点拨】 (1)由 f ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递减可得: m ? 2m ? 3 ? 0 ,解出 m 进行检验可 得结果.(2)由(1)得 F ? x ? ?

a ? bx 3 ,所以可得结果. 2 x
2

【题文】20.已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ?1(a, b 为实数, a ? 0, x ? R) . (1)当函数 f ? x ? 的图像过点 (-1, 0) ,且方程 f ? x ? ? 0 有且只有一个根.求 f ? x ? 的表达式; (2)若 F ? x ? ? ?

? ? f ? x?, x ? 0 当 mn ? 0, m ? n ? 0, a ? 0 且函数 f ? x ? 为偶函数时, 试判断 ? ?? f ? x ? , x ? 0

F ? m? ? F ? n ? 能否大于 0?

【知识点】二次函数、函数是偶函数的条件、函数的综合应用. 【答案解析】 (1) f ? x ? ? ? x ? 1? . (2) F ? m? ? F ? n? ? 0.
2

B4

B5

解析: (1)因为 f ? ?1? ? 0 ,所以 a ? b ? 1 ? 0 因为方程 f ? x ? ? 0 有且只有一个根.所以 ? ? b ? 4a ? 0
2

所以 b2 ? 4 ?b ?1? ? 0 .即 b ? 2, a ? 1. 所以 f ? x ? ? ? x ? 1? .
2

-------4 分

(2) f ? x ? 为偶函数,所以 b ? 0 ,所以 f ? x ? ? ax2 ? 1

? ax 2 ? 1, x ? 0 ? 所以 F ? x ? ? ? 2 ? ? ? ax ? 1, x ? 0

--------6 分

因为 mn ? 0, 不妨设 m ? 0 ,则 n ? 0. 又因为 m ? n ? 0 ,所以 m ? ?n ? 0 .所以 m ? ?n .
2 2 此时 F ? m? ? F ? n? ? f ? m? ? f ? n? ? am2 ?1? an2 ?1 ? a m ? n ? 0

?

?

所以 F ? m? ? F ? n? ? 0.

------------12 分

【思路点拨】(1)由已知条件得 f ? ?1? ? 0, ? ? 0 ,进而得关于 a , b 的方程组求得 a , b 值.
2 ? ? ax ? 1, x ? 0 (2)由 f ? x ? 是偶函数得 b ? 0 ,从而 F ? x ? ? ? 2 ? ? ? ax ? 1, x ? 0

因为 mn ? 0, 不妨设 m ? 0 ,则 n ? 0. 又因为 m ? n ? 0 ,所以 m ? ?n ? 0 .所以 m ? ?n .
2 2 2 2 此时 F ? m? ? F ? n? ? f ? m? ? f ? n? ? am ?1? an ?1 ? a m ? n ? 0

?

?

所以 F ? m? ? F ? n? ? 0. 【题文】21.设函数 f ? x ? ? ? x ? a ? x ? b . (1)当 a ? 2, b ? 3 ,画出函数 f ? x ? 的图像,并求出函数 y ? f ? x ? 的零点; (2)设 b ? ?2 ,且对任意 x ???1,1? , f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】函数的图像;分类讨论思想;B8, 【答案解析】(1)函数的零点为 x=-1(2) a>-1. 解析:(1)当 a=2,b=3 时

函数 f(x)=(x-2)|x|+3 的解析式可化为: f ? x ? ? ? 故函数的图象如下图所示:

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0
2 ?2 x ? x ? 3, x ? 0



当 x≥0 时,由 f(x)=0,得 x -2x+3=0,此时无实根; 当 x<0 时,由 f(x)=0,得 x -2x-3=0,得 x=-1,x=3(舍). 所以函数的零点为 x=-1. (2)当 b=-2 时,由 f(x)<0 得,(x-a)|x|<2. 当 x=0 时,a 取任意实数,不等式恒成立; 当 0<x≤1 时, a ? x ?
2

2

2 2 ,令 g ? x ? ? x ? ,则 g(x)在 0<x≤1 上单调递增, x x

∴a>gmax(x)=g(1)=-1; 当 x<0 时,a ? x ?

2 2 ,令 h ?x ? ?x ? ,则 h(x)在 [? 2,0) 上单调递减,(??, ? 2] 单 x x

调递增;∴a > h m a x ( x ) ? h

? 2 ? ? ?2
x

2 ,综合 a>-1.

【思路点拨】(1)根据条件化成分段函数,画出图像,再分类讨论,(2)分情况讨论求解. 【题文】22.设函数 f ( x) = a - k - 1 a (1)求 k 的值; (2)若 f (1) =

(

)

-x

( a > 0且a

1) 是定义域为 R 的奇函数.

3 2x - 2x ,且 g ( x) = a + a - 2m f ( x) 在 [1, + 2

) 上的最小值为 - 2 ,求 m 的

值. 【知识点】指 数 函 数 综 合 题 ; 函 数 奇 偶 性 的 性 质 . B4 B6 【答案解析】( 1 ) k = 2 ( 2 ) m ? 2 解析:( 1 ) 由 题 意 , 对 任 意 x ? R, f 即a
-x

( x) = - f ( x) ,

- ( k - 1) ax = - ax +( k - 1) a- x ,

即 k-1

(

)(a

x

+ a - x - a x + a - x = 0 , ( k - 2) a x + a - x = 0 ,
x -x

) (

)

(

)

∵ x 为 任 意 实 数 , a +a

> 0, ∴ k = 2 .

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , f x = a x - a- x , ∵ f (1) =

( )

3 1 3 ,∴ a - = ,解得 a = 2 . 2 a 2

故 f x = 2x - 2- x , g ( x) = 22 x + 2- 2 x - 2m(2x - 2- x ) , 令 t =2 - 2
x -x

( )

,则 2

2x

+ 2- 2x = t 2+ 2, 由 x ? [1,
2

, ) ,得 t ? ê ê 2 滕
3 2

轹 3

÷ ÷,

2 2 ? ?) , ∴ g ? x ? ? h ? t ? ? t ? 2mt ? 2 ? ? t ? m ? ? 2 ? m , t ? [ ,

当m?

3 3 9 ?3? ? ? ) 上 是 增 函 数 , 则 h ? ? ? ?2 , ? 3m ? 2 ? ?2 , 时 , h ?t ? 在 [ , 2 4 2 ?2? 25 (舍去). 12

解得 m ? 当m?

3 2 时 , 则 f ? m? ? ?2 , 2 ? m ? ?2 , 解 得 m ? 2 , 或 m ? ?2 ( 舍 去 ) . 2

综 上 , m 的 值 是 2. 【思路点拨】( 1 ) 依 题 意 , 由 f ? ? x ? ? ? f ? x ? , 即 可 求 得 k 的 值 ; ( 2 ) 由 f (1)=

3 x -x , 可 解 得 a = 2 , 于 是 可 得 f ( x) = 2 - 2 , 2

g ( x) = 22 x + 2- 2 x - 2m(2x - 2- x ) , 令 t = 2x - 2- x ,
2 2 ? ?) ,,通 过 对 m 范 围 的 讨 则 g ? x ? ? h ? t ? ? t ? 2mt ? 2 ? ? t ? m ? ? 2 ? m , t ? [ , 2

3 2

论 , 结 合 题 意 h ? t ? m i n =-2 , 即 可 求 得 m 的 值 .


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